REVISÃO DE CONTEÚDOS /PRIMEIRA SÉRIE

* Trigonometria e aplicações * Triângulo Retângulo
* Lados de um triângulo retângulo
* Nomenclatura dos catetos
* Propr. do triângulo retângulo

• * A hipotenusa (base) do triângulo

* Projeções de segmentos
* Projeções no triângulo retângulo
* Relações Métricas
* Funções trigonométricas básicas

• Trigonometria e aplicações

Introduzimos aqui alguns conceitos relacionados com a Trigonometria no triângulo retângulo, assunto comum na oitava série do Ensino Fundamental.

A trigonometria possui uma infinidade de aplicações práticas. Desde a antiguidade já se usava da trigonometria para obter distâncias impossíveis de serem calculadas por métodos comuns.

1. Algumas aplicações da trigonometria são:
2. Determinação da altura de um certo prédio.
3. Os gregos determinaram a medida do raio de terra, por um processo muito simples.
4. Seria impossível se medir a distância da Terra à Lua, porém com a trigonometria se torna simples.
5. Um engenheiro precisa saber a largura de um rio para construir uma ponte, o trabalho dele é mais fácil quando ele usa dos recursos trigonométricos.
6. Um cartógrafo (desenhista de mapas) precisa saber a altura de uma montanha, o comprimento de um rio, etc. Sem a trigonometria ele demoraria anos para desenhar um mapa.
7. Tudo isto é possível calcular com o uso da trigonometria do triângulo retângulo.
8. Triângulo Retângulo
9. É um triângulo que possui um ângulo reto, isto é, um dos seus ângulos mede noventa graus, daí o nome triângulo retângulo. Como a soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180°, então os outros dois ângulos medirão 90°.
10. Observação: Se a soma de dois ângulos mede 90°, estes ângulos são denominados complementares, portanto podemos dizer que o triângulo retângulo possui dois ângulos complementares.
11. Lados de um triângulo retângulo
12. Os lados de um triângulo retângulo recebem nomes especiais. Estes nomes são dados de acordo com a posição em relação ao ângulo reto. O lado oposto ao ângulo reto é a hipotenusa. Os lados que formam o ângulo reto (adjacentes a ele) são os catetos.
13. Termo Origem da palavra
14. Cateto Cathetós:
15. (perpendicular)
16. Hipotenusa Hypoteinusa:
17. Hypó(por baixo) + teino(eu estendo)
18. Para padronizar o estudo da Trigonometria, adotaremos as seguintes notações:
19. Letra Lado Triângulo Vértice = Ângulo Medida
20. a Hipotenusa A = Ângulo reto A=90°
21. b Cateto B = Ângulo agudo B<90°
22. c Cateto C = Ângulo agudo C<90°

• Nomenclatura dos catetos

1. Os catetos recebem nomes especiais de acordo com a sua posição em relação ao ângulo sob análise. Se estivermos operando com o ângulo C, então o lado oposto, indicado por c, é o cateto oposto ao ângulo C e o lado adjacente ao ângulo C, indicado por b, é o cateto adjacente ao ângulo C.
2. Ângulo Lado oposto Lado adjacente
3. C c cateto oposto b cateto adjacente
4. B b cateto oposto c cateto adjacente
5. Um dos objetivos da trigonometria é mostrar a utilidade do conceitos matemáticos no nosso cotidiano. Iniciaremos estudando as propriedades geométricas e trigonométricas no triângulo retângulo. O estudo da trigonometria é extenso e minucioso.
6. Propriedades do triângulo retângulo
7. 1.
8. Ângulos: Um triângulo retângulo possui um ângulo reto e dois ângulos agudos complementares.
9. 2.
10. Lados: Um triângulo retângulo é formado por três lados, uma hipotenusa (lado maior) e outros dois lados que são os catetos.
11. 3.
12. Altura: A altura de um triângulo é um segmento que tem uma extremidade num vértice e a outra extremidade no lado oposto ao vértice, sendo que este segmento é perpendicular ao lado oposto ao vértice. Existem 3 alturas no triângulo retângulo, sendo que duas delas são os catetos. A outra altura (ver gráfico acima) é obtida tomando a base como a hipotenusa, a altura relativa a este lado será o segmento AD, denotado por h e perpendicular à base.
13. A hipotenusa como base de um triângulo retângulo
14. Tomando informações da mesma figura acima, obtemos:
15. 1.
16. o segmento AD, denotado por h, é a altura relativa à hipotenusa CB, indicada por a.
17. 2.
18. o segmento BD, denotado por m, é a projeção ortogonal do cateto c sobre a hipotenusa CB, indicada por a.
19. 3.
20. o segmento DC, denotado por n, é a projeção ortogonal do cateto b sobre a hipotenusa CB, indicada por a.

Projeções de segmentos

Introduziremos algumas idéias básicas sobre projeção. a luz do Sol ao incidir sobre um prédio, determina uma sombra que é a projeção oblíqua do prédio sobre o solo.

Tomando alguns segmentos de reta e uma reta não coincidentes é possível obter as projeções destes segmentos sobre a reta.

Nas quatro situações apresentadas, as projeções dos segmentos AB são indicadas por A'B', sendo que no último caso A'=B' é um ponto.


Projeções no triângulo retângulo

Agora iremos indicar as projeções dos catetos no triângulo retângulo.

1.

m = projeção de c sobre a hipotenusa.
2.

n = projeção de b sobre a hipotenusa.
3.

a = m+n.
4.

h = média geométrica entre m e n. Para saber mais, clique sobre média geométrica.


Relações Métricas no triângulo retângulo

Para extrair algumas propriedades, faremos a decomposição do triângulo retângulo ABC em dois triângulos retângulos menores: ACD e ADB. Dessa forma, o ângulo A será decomposto na soma dos ângulos CÂD=B e DÂB=C.

Observamos que os triângulos retângulos ABC, ADC e ADB são semelhantes.
Triângulo hipotenusa cateto maior cateto menor
ABC a b c
ADC b n h
ADB c h m

Assim:

• 
  

a/b = b/n = c/h

a/c = b/h = c/m

b/c = n/h = h/m

logo:

• 
  

a/c = c/m equivale a c² = a.m
a/b = b/n equivale a b² = a.n
a/c = b/h equivale a a.h = b.c
h/m = n/h equivale a h² = m.n

• 
  

Existem também outras relações do triângulo inicial ABC. Como a=m+n, somando c² com b², obtemos:

• 
  

c² + b² = a.m + a.n = a.(m+n) = a.a = a²

• 
  

que resulta no Teorema de Pitágoras:

• 
  

a² = b² + c²

A demonstração acima, é uma das várias demonstr ações do Teorema de Pitágoras.
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ATIVIDADES DE FIXAÇÃO
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a²= b² + c² > a² = 6² + 8² > a² = 100 > a =10
b.c= a.h > 8.6 = 10 . h > h= 48/10 = 4,8

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132 = 122 + x2
169 = 144 + x2
X2 = 25
X= y
5 .12 = 13 .y
Y= 60/13 = 4,61

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