domingo, 7 de junho de 2009

PLANO CARTESIANO - RELAÇÕES E FUNÇÕES










Ensino Médio:
Relações e Funções


* Aplicações de relações e funções
* O Plano Cartesiano
* Produto Cartesiano
* Relações no plano Cartesiano
* Domínio e Contradomínio
* Relações inversas
* Propriedades de Relações
* Relações de equivalência
* Funções no plano Cartesiano
* Relações que não são funções
* Funções afim e lineares
* Função identidade



* Funções constantes
* Funções quadráticas
* Funções cúbicas
* Domínio, Contradomínio, Imagem
* Funções injetoras
* Funções sobrejetoras
* Funções bijetoras
* Funções pares e ímpares
* Funções crescentes
* Funções compostas e Inversas
* Operações com funções
* Funções polinomiais e Aplicações


Aplicações das relações e funções no cotidiano

Ao lermos um jornal ou uma revista, diariamente nos deparamos com gráficos, tabelas e ilustrações. Estes, são instrumentos muito utilizados nos meios de comunicação. Um texto com ilustrações, é muito mais interessante, chamativo, agradável e de fácil compreensão. Não é só nos jornais ou revistas que encontramos gráficos. Os gráficos estão presentes nos exames laboratoriais, nos rótulos de produtos alimentícios, nas informações de composição química de cosméticos, nas bulas de remédios, enfim em todos os lugares. Ao interpretarmos estes gráficos, verificamos a necessidade dos conceitos de plano cartesiano.


O Sistema ABO dos grupos sangüíneos é explicado pela recombinação genética dos alelos (a,b,o) e este é um bom exemplo de uma aplicação do conceito de produto cartesiano. Uma aplicação prática do conceito de relação é a discussão sobre a interação de neurônios (células nervosas do cérebro).

Ao relacionarmos espaço em função do tempo, número do sapato em função do tamanho dos pés, intensidade da fotossíntese realizada por uma planta em função da intensidade de luz a que ela é exposta ou pessoa em função da impressão digital,




Produto Cartesiano
Dados dois conjuntos A e B não vazios, definimos o produto cartesiano entre A e B, denotado por AxB, como o conjunto de todos os pares ordenados da forma (x,y) onde x pertence ao primeiro conjunto A e y pertence ao segundo conjunto B.
AxB = { (x,y): x A e y B }
Observe que AxB BxA, se A é não vazio ou B é não vazio. Se A=Ø ou B=Ø, por definição: AxØ=Ø=ØxB.
Se A possui m elementos e B possui n elementos, então AxB possui mxn elementos.
Exemplo: Dados A={a,b,c,d} e B={1,2,3}, o produto cartesiano AxB, terá 12 pares ordenados e será dado por:
AxB = {(a,1),(a,2),(a,3),(b,1),(b,2),(b,3),(c,1),(c,2),(c,3),(d,1),(d,2),(d,3)}

Dados A = {1,2,3} e B = {4,5}
AxB = {(1,4),(1,5),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5)}



Relações no Plano Cartesiano
Sejam A e B conjuntos não vazios. Uma relação em AxB é qualquer subconjunto R de AxB.


A relação mostrada na figura acima é:
R = { (a,3), (b,3), (c,2), (c,3), (d,2), (d,3) }
Uma relação R de A em B pode ser denotada por R:A B.
Exemplo: Se A={1,2} e B={3,4}, o produto cartesiano é AxB={(1,3),(1,4),(2,3),(2,4)} e neste caso, temos algumas relações em AxB:
1. R1={(1,3),(1,4)}
2. R2={(1,3)}
3. R3={(2,3),(2,4)}

Domínio e Contradomínio de uma Relação
As relações mais importantes são aquelas definidas sobre conjuntos de números reais e nem sempre uma relação está definida sobre todo o conjunto dos números reais. Para evitar problemas como estes, costuma-se definir uma relação R:A B, onde A e B são subconjuntos de R, da seguinte forma:
O conjunto A é o domínio da relação R, denotado por Dom(R) e B é o contradomínio da relação, denotado por CoDom(R).
Dom(R) = { x A: existe y em B tal que (x,y) R}
Im(R)={y B: existe x A tal que (x,y) R}



Representações gráficas de relações em AxB:
R1={(a,1),(a,2),(a,3),(b,1),(b,2),(b,3),(c,1),(d,1),(d,2),(d,3)}

R2={(a,1),(b,2),(c,3),(d,1)}

R3={(a,1),(b,1),(b,2),(c,3),(d,3)}


Relações Inversas
Seja R uma relação de A em B. A relação inversa de R, denotada por R-1, é definida de B em A por:
R-1 = { (y,x) BxA: (x,y) R }

Exemplo: Sejam A={a,b,c}, B={d,e,f} e R uma relação em AxB, definida por
R = {(a,d),(a,e),(a,f),(b,d),(b,e),(b,f),(c,d),(c.e),(c,f)}
Então:
R-1 = {(d,a),(e,a),(f,a),(d,b),(e,b),(f,b),(d,c),(e,c),(f,c)}

Observação: O gráfico da relação inversa R-1 é simétrico ao gráfico da relação R, em relação à reta y=x (identidade).

Propriedades de Relações
Reflexiva: Uma relação R é reflexiva se todo elemento de A está relacionado consigo mesmo, ou seja, para todo x A: (x,x) R, isto é, para todo x A: xRx.
Exemplo: Uma relação reflexiva em A={a,b,c}, é dada por:
R = {(a,a),(b,b),(c,c)}

Simétrica: Uma relação R é simétrica se o fato que x está relacionado com y, implicar necessariamente que y está relacionado com x, ou seja: quaisquer que sejam x A e y A tal que (x,y) R, segue que (y,x) R.
Exemplo: Uma relação simétrica em A={a,b,c}, é:
R = {(a,a),(b,b),(a,b),(b,a)}

Transitiva: Uma relação R é transitiva, se x está relacionado com y e y está relacionado com z, implicar que x deve estar relacionado com z, ou seja: quaisquer que sejam x A, y A e z A, se (x,y) R e (y,z) R então (x,z) R.
Exemplo: Uma relação transitiva em A={a,b,c}, é:
R = {(a,a),(a,c),(c,b),(a,b)}

Anti-simétrica: Sejam x A e y A. Uma relação R é anti-simétrica se (x,y) R e (y,x) R implica que x=y. Alternativamente, uma relação é anti-simétrica: Se x e y são elementos distintos do conjunto A então x não tem relação com y ou (exclusivo) y não tem relação com x, o que significa que o par de elementos distintos (x,y) do conjunto A poderá estar na relação desde que o par (y,x) não esteja.
Exemplo: Uma relação anti-simétrica em A={a,b,c}, é:
R = {(a,a),(b,b),(a,b),(a,c) }

Relação de equivalência
Uma relação R sobre um conjunto A não vazio é chamada relação de equivalência sobre A se, e somente se, R é reflexiva, simétrica e transitiva.
Exemplo: Se A={a,b,c} então a relação R em AxA, definida abaixo, é de equivalência:
R = {(a,a),(b,b),(c,c),(a,c),(c,a) }

Funções no Plano Cartesiano
Referência histórica: Leonhard Euler (1707-1783), médico, teólogo, astrônomo e matemático suíço, desenvolveu trabalhos em quase todos os ramos da Matemática Pura e Aplicada, com destaque para a Análise - estudo dos processos infinitos - desenvolvendo a idéia de função. Foi o responsável também pela adoção do símbolo f(x) para representar uma função de x. Hoje, função é uma das idéias essenciais em Matemática.
Uma função f de A em B é uma relação em AxB, que associa a cada variável x em A, um único y em B. Uma das notações mais usadas para uma função de A em B, é:
f:A B
Quatro aspectos chamam a atenção na definição apresentada:
 O domínio A da relação.
 O contradomínio B da relação.
 Todo elemento de A deve ter correspondente em B.
 Cada elemento de A só poderá ter no máximo um correspondente no contradomínio B.
Estas características nos informam que uma função pode ser vista geometricamente como uma linha no plano, contida em AxB, que só pode ser "cortada" uma única vez por uma reta vertical, qualquer que seja esta reta.
Exemplo: A circunferência definida por
R={(x,y) R²: x²+y²=a²}
é uma relação que não é uma função, pois tomando a reta vertical x=0, obtemos ordenadas diferentes para a mesma abscissa x.

Um comentário:

  1. o texto é otimo mais eu acho que só devia tira essa cor preta do fundo, porque se alguem tiver problema na vista não exergara direito rsrsrs conselhoss

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