domingo, 28 de junho de 2009

POLIGONOS INSCRITOS E CIRCUNSCRITOS NA CIRCUNFERÊNCIA

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ESCOLA ESTADUAL DE ENSINO MÉDIO 9 DE MAIO – IMBÉ /RS/BRASIL
TURMAS 21 - 22 - 23 -24 MÊS DE JUNHO 2° TRIMESTRE

CONTEÚDO A SER DESENVOLVIDO PARA AS SEGUNDAS SÉRIES
REVISÃO:
POLÍGONOS INSCRITOS E POLÍGONOS CIRCUNSCRITOS
As figuras inscritas e circunscritas deverão ser desenvolvidas em sala de aula com os alunos,

Dizemos que um polígono está inscrito numa circunferência quando todos os seus vértices pertencem a essa circunferência.
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Centro do polígono é o centro comum às circunferências inscrita e circunscrita.
#

Raio da circunferência circunscrita é a distância do centro do polígono até um dos vértices.
#
Apótema do polígono,é a distância do centro do polígono ao ponto médio de um dos lados.
#
Ângulo central é o ângulo cujo vértice é o centro do polígono e cujos lados contém vértices consecutivos do polígono.







O Triangulo TRS está inscrito na circunferência.





O quadrilátero ABCD está inscrito na circunferência


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A fórmula do apótema do quadrado inscrito: Apotema do quadrado é igual a Raio* Raiz quadrada de dois dividido por 2


...

A fórmula do lado do quadrado inscrito: lado do quadrado é igual a Raio * Raiz quadrada de dois





O hexágono está inscrito na circunferência.



Quando todos os lados de um polígono são segmentos tangentes a uma circunferência, dizemos que esse polígono está circunscrito à circunferência.
O Triângulo ABC está circunscrito O quadrilátero ABCD está circunscrito à circunferência, o hexágono está circunscrito à circunferência



POLIGONOS CIRCUNSCRITOS SERÃO APRESENTADOS NO PROXIMO CONTEÚDO

quarta-feira, 24 de junho de 2009

ORAÇÃO DA MATEMÁTICA


Oração Matemática

Mestre Matemático que estais na sala,

Santificada seja a Vossa prova,

Seja de Álgebra ou de Geometria,

O zero de cada dia não nos dai hoje,

Perdoai as nossas bagunças,

Assim como perdoamos os Vossos Teoremas,

Não nos deixeis cair em recuperação,

Mas nos livrai da reprovação,

Amém

Mais Uma

Ave Matemático cheio de malícias,

O temor esteja convosco,

Bendita seja a prova de vossa cabeça,

Socorro!!!

Santa cola, Mãe do aluno,

Rogai por nós agora

E no choro da má sorte,

Amém

Última

Ave Matemática cheia de teorias e definições

Bendita sois vós entre as disciplinas,

Bendito os alunos que enlouquecem nas aulas.

Santa Matemática Mãe das negativas

Rezai pelas nossas cabulas

Agora e na hora dos pontos e provas

Amém
oBS. desconheço o autor.

A VIDA COMO ELA É



"A vida é como jogar uma bola na parede :
Se for jogada uma bola azul, ela voltará azul;
Se for jogada uma bola verde, ela voltará verde;
Se a bola for jogada fraca, ela voltará fraca;
Se a bola for jogada com força, ela voltará com força.
Por isso, nunca "jogue uma bola na vida" de forma que você não esteja pronto a recebê-la. "A vida não dá nem empresta; não se comove nem se apieda. Tudo quanto ela faz é retribuir e transferir aquilo que nós lhe oferecemos"
Albert Einstein)

UMA MENSAGEM DE OTIMISMO

MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO


A palavra matemática nos faz pensar em quê? Certamente, em números, contas ou medidas. Mas será que Matemática é fazer contas, escrever números, tomar medidas? Não! Matemática não é simplesmente saber trabalhar com os números. Quem sabe Matemática sabe raciocinar. Sabe ler um problema, pensar sobre ele, elaborar uma resolução e, o que mais interessa, consegue chegar a uma resposta. Os números são apenas um instrumento que o matemático utiliza para ajudá-lo a raciocinar.
As gotas de chuva não são redondinhas? E as zebras, elas não têm sempre listras? E um ano, ele não tem sempre 365 dias, aproximadamente? Nós vivemos em uma natureza cheia de padrões.

Você sabia que não existem dois flocos de neve exatamente iguais? Que o número de pétalas das flores é, em sua grande maioria, igual a um dos números da seqüência 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, e que, nessa seqüência, um número é sempre igual à soma de outros dois? ( 3 + 5 = 8 5 + 8 = 13 13 + 8 = 21 ...)vide Fibonacci.
Se pararmos para pensar, vamos descobrir uma série de coisas na natureza que obedecem a certas “regras”. Analisando e estudando essas regras, vamos descobrir que elas não existem apenas para serem admiradas. É nessa hora que a Matemática vai nos ajudar.

Estudando Matemática você será capaz de usar o seu raciocínio para estudar os padrões e as regras da natureza, resolver questões cada vez mais difíceis e, assim, compreender melhor tudo o que acontece ao seu redor. Estudem sempre, pois, o conhecimento é a única coisa que ninguém poderá tirar de nós.

segunda-feira, 22 de junho de 2009

GEOMETRIA PLANA conteúdo sendo organizado conforme as aulas dadas

Descrição

A Geometria foi desenvolvida a partir da necessidade de medir terras,construir casas, templos e monumentos, navegar, calcular distâncias.Através dos tempos, os seus registros estão presentes nos legados de todas as civilizações: babilônios, egípcios, gregos, chineses, romanos,hindus, árabes utilizaram as formas geométricas no seu dia-a-dia.

Os conceitos, propriedades e resultados que estudaremos são muito antigos, começaram a adquirir a forma que os conhecemos hoje com as investigações de Tales, que viveu por volta de 600 anos antes de Cristo,ganharam força nas escolas de Pitágoras, Aristóteles e Platão, e foram organizados, pela primeira vez, por Euclides, um matemático da escola de Alexandria que viveu por volta de 300 anos antes de Cristo. Por essa razão, a Geometria que estudaremos, muito freqüentemente denominada de “Geometria Euclidiana“, foi aperfeiçoada pelos sucessores de Euclides e, até o ano500 da era cristã, já tinha sua forma atual.

Nesse jogo fascinante, desafiador e já muito antigo, as peças são os pontos, as retas, os planos e os muitos objetos geométricos que podemos definir a partir deles.A régua e o compasso sempre foram os instrumentos utilizados na construção das figuras que os representam. Como tais estarão presentes em nossas atividades,sendo também possível substitui-los, nos dias de hoje, por recursos computacionais desenvolvidos para esse fim. As regras do jogo geométrico são dadas pelos chamados Postulados da Geometria e, a partir dessas regras, com o uso da lógica dedutiva, são provadas as proposições e os teoremas que vão estabelecendo as propriedades das figuras geométricas que utilizamos freqüentemente.

Os padrões da natureza e suas simetrias e muitos problemas práticos do nosso cotidiano podem ser traduzidos e transformados num diagrama geométrico. Análise e interpretação desse modelo trazem um melhor entendimento, novas informações ou respostas para o problema original, e constituem a rotina de trabalho quando estudamos Geometria.

O estudo dos principais tópicos de Geometria se fará em três etapas, que compreenderão a Geometria Plana, a Geometria Espacial e a Geometria Analítica.A Geometria Plana será desenvolvida com base em dois conceitos fundamentais,que vemos exemplificados na ilustração acima: temos uma figura geométrica que aparece repetidas vezes, em diferentes posições, ampliada ou reduzida. A congruência é ilustrada pelos pares que diferem somente pela posição, e que podem ser superpostos; já a semelhança é exemplificada pelos pares que se relacionam por uma ampliação ou uma redução. Sobre esses dois pilares vamos construir o conhecimento geométrico necessário para o estudo da Geometria Espacial e da Geometria Analítica.

GEOMETRIA PLANA


Introdução
A Geometria está apoiada sobre alguns postulados, axiomas, definições e teoremas, sendo que essas definições e postulados são usados para demonstrar a validade de cada teorema. Alguns desses objetos são aceitos sem demonstração, isto é, você deve aceitar tais conceitos porque os mesmos parecem funcionar na prática!

A Geometria permite que façamos uso dos conceitos elementares para construir outros objetos mais complexos como: pontos especiais, retas especiais, planos dos mais variados tipos, ângulos, médias, centros de gravidade de objetos, etc.


Algumas definições


Polígono: É uma figura plana formada por três ou mais segmentos chamados lados de modo que cada lado tem interseção com somente outros dois lados próximos, sendo que tais interseções são denominadas vértices do polígono e os lados próximos não são paralelos. A região interior ao polígono é muitas vezes tratada como se fosse o próprio polígono

Polígono convexo: É um polígono construído de modo que os prolongamentos dos lados nunca ficarão no interior da figura original. Se dois pontos pertencem a um polígono convexo, então todo o segmento tendo estes dois pontos como extremidades, estará inteiramente contido no polígono. Um polígono é dito não convexo se dados dois pontos do polígono, o segmento que tem estes pontos como extremidades, contiver pontos que estão fora do polígono. (decágono)



Polígono não convexo: Um polígono é dito não convexo se dados dois pontos do polígono, o segmento que tem estes pontos como extremidades, contiver pontos que estão fora do polígono.



Segmentos congruentes: Dois segmentos ou ângulos são congruentes quando têm as mesmas medidas.

Paralelogramo: É um quadrilátero cujos lados opostos são paralelos. Pode-se mostrar que num paralelogramo:

Os lados opostos são congruentes;
Os ângulos opostos são congruentes;
A soma de dois ângulos consecutivos vale 180o;
As diagonais cortam-se ao meio.

Losango: Paralelogramo que tem todos os quatro lados congruentes. As diagonais de um losango formam um ângulo de 90o.

Retângulo: É um paralelogramo com quatro ângulos retos e dois pares de lados paralelos.

Quadrado: É um paralelogramo que é ao mesmo tempo um losango e um retângulo. O quadrado possui quatro lados com a mesma medida e também quatro ângulos retos.

Trapézio: Quadrilátero que só possui dois lados opostos paralelos com comprimentos distintos, denominados base menor e base maior. Pode-se mostrar que o segmento que liga os pontos médios dos lados não paralelos de um trapézio é paralelo às bases e o seu comprimento é a média aritmética das somas das medidas das bases maior e menor do trapézio.

Trapézio isósceles: Trapézio cujos lados não paralelos são congruentes. Neste caso, existem dois ângulos congruentes e dois lados congruentes. Este quadrilátero é obtido pela retirada de um triângulo isósceles menor superior (amarelo) do triângulo isósceles maior.

Pipa ou papagaio: É um quadrilátero que tem dois pares de lados consecutivos congruentes, mas os seus lados opostos não são congruentes. Neste caso, pode-se mostrar que as diagonais são perpendiculares e que os ângulos opostos ligados pela diagonal menor são congruentes.

CONHEÇA A GEOMETRIA PLANA

Para se chegar à compreensão da necessidade de classificação de figuras, da forma como é usual na Geometria Euclidiana, é necessário obter compreendido as suas vantagens matemáticas. Sem esta compreensão, parece um jogo de palavras ter ouvido o professor afirmar que um triângulo isósceles é o que tem os lados iguais, e depois ver o professor permitir que um triângulo com os três lados iguais seja também isósceles. Só após o conhecimento de algumas propriedades das figuras é que os alunos compreenderão as vantagens de optar por uma classificação.
Vamos optar por apresentar os diversos tipos de figuras em separado apenas por uma razão de "arrumação".
Chamamos polígonos a qualquer porção do plano limitada por segmentos de reta que forma uma linha poligonal fechada.


TRIÂNGULOS
Os triângulos são polígonos de três lados. Iremos classificar os triângulos de duas maneiras: quanto aos lados e quanto aos ângulos.

Quanto aos lados:
Equiláteros Todos os lados iguais) Isósceles( dois lados iguais) Escaleno (todos os lados diferentes)

equilátero
isósceles
>






isósceles

















escaleno




Quadriláteros

- Os quadriláteros podem ser trapézios (com dois lados paralelos) e não trapézios (quando não tem lados paralelos).

- Os trapézios podem ser paralelogramos (com lados opostos paralelos) e trapézios propriamente ditos (apenas com dois lados paralelos).

Paralelogramos
Retângulo Losango Quadrado Paralelogramo









Propriedades:
Retângulo: - lados opostos iguais
- quatro ângulos retos
- diagonais iguais que se bissetam
- dois eixos de simetria

Losango: - quatro lados iguais
- ângulos opostos iguais
- diagonais perpendiculares que se bissetam
- dois eixos de simetria

Quadrado: - quatro lados iguais
- quatro ângulos retos
- diagonais perpendiculares
- quatro eixos de simetria

Paralelogramo obliquângulo: - lados opostos iguais

- ângulos opostos iguais
- diagonais que se bissetam
- não tem eixos de simetria

Trapézios propriamente ditos
Isósceles Retangular Escaleno







ÁREA DO RETÂNGULO


Em um retângulo de lados a e b, figura abaixo, onde:


* a = medida do comprimento ou base

* b = medida da largura ou altura

* s = área total

temos que: A área de um retângulo é igual ao produto das medidas de dois lados.
Num retângulo de lados a e b a área é A = a.b


________________________________________
área do retângulo = b.h
_base vezes altura
_______________________________________
AREA DO PARALELOGRAMO
A área de um paralelogramo é igual ao produto da base pela altura.
Num paralelogramo de
base b e altura h a área é A = b.h



ÁREA DO QUADRADO

Considerando que o quadrado é um caso particular do retângulo, onde todos os lados são iguais, figura abaixo:


* l = medida do comprimento ou base

* l = medida da largura ou altura

* s = área total

temos que: A área de um quadrado é igual ao produto das medidas de dois lados.
Num quadrado de

lado L a área é A = L²


________________________________________
área do quadrado = l.l (lado x lado)
________________________________________

ÁREA DE UMA REGIÃO TRIANGULAR
(OU ÁREA DE UM TRIÂNGULO)

Considere as seguintes figuras:


Observe que, em qualquer uma das três figuras, a área do triângulo destacada é igual à metade da área do retângulo ABCD.
Assim, de modo geral, temos:
A área de um retângulo é igual ao produto das medidas de dois lados.
Num retângulo de


________________________________________
área do triângulo = (b.h)/2
base vezes altura dividido por 2
________________________________________
Neste caso, podemos considerar qualquer lado do triângulo como base. A altura a ser considerada é a relativa a esse lado.


ÁREA DE UM LOSANGO

O quadrilátero abaixo é um losango onde vamos considerar:


* O segmento PR representa a Diagonal Maior, cuja medida vamos indicar por D.

* O segmento QS representa a Diagonal Menor, cuja medida vamos indicar por d.
Você nota que a área do losango PQRS é igual à metade da área do losango cujas dimensões são as medidas D e d das diagonais do losango, então: A área de um losango é igual à metade do produto das diagonais.
Num losango de

diagonais D e d a área é A = (D.d) /2


________________________________________
área do losango = (D.d)/2
Diagonal maior multiplacada pela
diagonal menor e dividida por dois
________________________________________

ÁREA DE UM TRAPÉZIO


Considerando o Trapézio abaixo, podemos destacar:




*AB é a base maior, cuja medida vamos representar por B.

* CD é a base menor, cuja medida vamos representar por b.

* A distância entre as bases é a altura do trapézio, cuja medida indicaremos por h.

Se traçarmos a diagonal QN, por exemplo, obteremos dois triângulos, CBD e ADC, que têm a mesma altura de medida h.

Da figura temos:

- área do trapézio ABCD = área do triângulo CBD + área do triângulo ADC

- área do trapézio = (B.h)/2 + (b.h)/2

- área do trapézio = (B.h+b.h)/2

A área de um trapézio é igual ao produto da base média pela altura.
Num trapézio de

base média bm e altura h a área é A = bm.h

onde bm = (b1 + b2) / 2



________________________________________
área do trapézio = (B + b).h/2
Base maior + base menor divido por 2 e
e mutiplicado pela altura
________________________________________



ÁREA DE UM POLÍGONO REGULAR


Considerando o polígono regular da figura abaixo, que é um pentágono.




A partir do centro vamos decompor esse pentágono em triângulos que são isósceles e congruentes, em cada um desse triângulos temos.
* base do triângulo, que corresponde ao lado do polígono e cuja a medida vamos indicar por l.
* altura relativa à base do triângulo, que corresponde ao apótema do polígono e cuja medida vamos indicar por a.
A área de cada triângulo é dada por (l.a)/2.
Como são cinco triângulos, a área do polígono seria dada por:
5.(l.a)/2
Logo, a área de um polígono regular, é dada por n.(l.a)/2, onde n = nº de lados do polígono.

________________________________________
área de um polígono regular = n.(l.a)/2
________________________________________


Sabendo, que 5.l representa o perímetro (2p) do pentágono regular considerado , a expressão 5.l/2 representa a metade do perímetro ou o semiperímetro (p) do pentágono.

Assim temos: área do pentágono = 5.l/2

Generalizando para todos os polígonos regulares, podemos escrever:


________________________________________
área de um polígono regular = p.a
________________________________________

ÁREA DE UM CÍRCULO


Observe a seqüência de polígonos regulares inscritos numa Circunferência.




Repare que a medida que o número de lados aumenta, o polígono regular tende a se confundir com a região limitada pela CIRCUNFERÊNCIA, ou seja, o CÍRCULO.

Assim:

* o perímetro do polígono regular tende a se confundir com o comprimento da CINCUNFERÊNCIA (C=2.pi.r).

* o semiperímetro do polígono tende ao valor 2.pi.r/2 = pi.r.

* o apótema do polígono tende a coincidir com a altura o raio do círculo, então:


________________________________________
área de um círculo = pi.r.r (pi x r ao quadrado)
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GLOSSÁRIO


Altura: nome dado a alguns comprimentos.




Em alguns triângulos, paralelogramos ou trapézios, altura é um segmento de reta desenhado a partir de um vértice, perpendicularmente ao lado oposto a ele. Esse lado oposto chama-se base.





Base: no retângulo base é o lado que não é considerado altura.




Num triângulo ou paralelogramo base é o lado perpendicular à altura.

Centro: ponto no interior de uma circunferência ou esfera, eqüidistante de todos os pontos dela.

Círculo: porção de um plano limitada por uma circunferência.

Circunferência: curva plana, fechada, cujos pontos estão todos a mesma distância de um ponto interior, dito Centro.

Diagonal: segmento de reta que liga dois vértices de um polígono, os vértices não podem ser vizinhos.



O segmento AB é uma diagonal do losango.

Equilátero: o prefixo "equi" indica igualdade, um polígono é equilátero se todos os lados forem iguais.

Geométria: palavra de origem Grega formada por Geo (terra) e metria (medida). Há 5000 anos, era a ciência de medir terrenos, seus perímetros e suas áreas. Com o tempo, tornou-se a parte da matemática que estuda figuras como retângulos, cubos, esferas, etc.

Perímetro: medida do contorno de uma figura geométrica plana (ou seja, soma de todos os lados).

Raio: segmento de reta que vai do centro a um ponto qualquer da circunferência.

Vértice: ponto comum a dois lados de um ângulo, a dois lados de um polígono ou a três ou mais arestas de uma figura espacial.

quarta-feira, 10 de junho de 2009

POLÍGONOS E POLIEDROS

Geometria plana
Polígonos e poliedros convexos e côncavos
Polígonos
Em geometria, uma figura plana (duas dimensões) com três ou mais lados. Os polígonos comuns têm nomes que definem o número de lados (por exemplo, triângulo, quadrilátero, pentágono).


Polígonos regulares




Obs. Estas figuras são regulares.
Estes são todos polígonos convexos, sem nenhum ângulo interno maior do que 180º;. A soma dos ângulos internos de um polígono com n lados é dada pela fórmula (2n - 4) x 90º; então, quanto mais lados um polígono tiver, maior a soma dos seus ângulos internos e, no caso de um polígono convexo, mais se aproxima de um círculo.

Triângulo
Em geometria, uma figura plana de três lados, cuja soma dos ângulos interiores totaliza 180º. Os triângulos podem ser classificados pelo comprimento relativo dos seus lados. Um triângulo escaleno tem três lados de comprimentos diferentes; um triângulo isósceles tem pelo menos dois lados iguais; um triângulo equilátero tem três lados iguais (e três ângulos iguais de 60º).
Um triângulo retângulo tem um ângulo de 90º.Se o comprimento de um lado de um triângulo for "b" e a distância perpendicular daquele lado ao vértice oposto "a" (a altura do triângulo), a sua área A = ½* b * a.
Regular
Diz-se das figuras geométricas que têm todos os ângulos e todos os lados iguais. Diz-se, também, dos sólidos em que as bases são polígonos regulares.
Geometria Espacial
Poliedros
Definição
Poliedro é um sólido limitado externamente por planos no espaço R3. As regiões planas que limitam este sólido são as faces do poliedro.
As interseções das faces são as arestas do poliedro.
As interseções das arestas são os vértices do poliedro.
Poliedros convexos são aqueles cujos ângulos diedrais formados por planos adjacentes têm medidas menores do que 180o. Outra definição: Dados quaisquer dois pontos de um poliedro convexo, o segmento que tem esses pontos como extremidades, deverá estar inteiramente contido no poliedro.
Relações de Euler
Se V é o número de vértices, F é o número de faces, A é o número de arestas e M é o número de ângulos entre as arestas de um poliedro convexo, então:
V + F = A + 2
M = 2 A

Poliedros Regulares
Um poliedro é dito regular se todas as suas faces são regiões poligonais regulares com n lados, o que significa que o mesmo número de arestas se encontram em cada vértice.
Existem algumas características gerais que são válidas para todos os poliedros regulares. Se n é o número de lados da região poligonal, a é a medida da aresta A e z=M/V é a divisão do número de ângulos diedrais pelo número de vértices, então:


Faces, Vértices, Arestas e Ângulos diedrais nos Poliedros regulares convexos




Nome do poliedro Número de faces Poligonal regular No. de vértices No. de arestas Número de ângulos entre arestas
Tetraedro 4 Triangular 4 6 12
Hexaedro 6 Quadrada 8 12 24
Octaedro 8 Triangular 6 12 24
Dodecaedro 12 Pentagonal 20 30 60
Icosaedro 20 Triangular 12 30 60



Poliedros regulares convexos e côncavos
Em geometria, uma figura sólida com quatro ou mais lados planos. Quanto mais faces um poliedro tiver, mais se aproxima de uma esfera. O conhecimento das propriedades de um poliedro é necessária em cristalografia e estereoquímica para determinar as formas dos cristais e das moléculas.
Os cinco tipos de poliedros regulares convexos mais conhecidos (com todas as faces com o mesmo tamanho e forma), tal como havia já sido deduzido pelos matemáticos gregos; são o tetraedro (quatro faces triangulares equiláteras), o cubo (seis faces quadradas), o octaedro (oito triângulos equilaterais), o dodecágono (12 pentágonos regulares) e o icosaedro (20 triângulos equiláteros).


Os cinco poliedros regulares convexos ou sólidos platonicos
Sólido platonico
Em geometria, outro nome para um poliedro regular, uma das cinco possíveis figuras tridimensionais com todas as faces com o mesmo tamanho e forma.
Tetraedro
Em geometria, uma figura sólida (poliedro) com quatro faces triangulares; isto é, uma pirâmide com uma base triangular. Um tetraedro regular tem como faces triângulos equiláteros.
Em química e cristalografia, um tetraedro descreve as faces de algumas moléculas e cristais; por exemplo, os átomos de carbono num cristal de diamante encontram-se no espaço como um conjunto de tetraedros regulares inter-relacionados.
Dodecaedro
Sólido regular com 12 faces pentagonais e 12 vértices. É um dos cinco poliedros regulares, ou sólidos platónicos.

Octaedro regular
Sólido regular com oito faces, sendo cada uma um triângulo equilátero. É um dos cinco poliedros regulares ou sólidos platónicos. A figura formada pela união dos pontos médios das faces é um cubo perfeito e os vértices do octaedro são eles próprios os pontos médios das faces de um cubo envolvente. Por esta razão, o cubo e o octaedro denominam-se sólidos duais.


Os cinco poliedros regulares convexos: I - Tetraedro, II - Cubo, III - Octaedro, IV - Dodecaedro e V- Icosaedro são conhecidos desde a Antiguidade, como já referimos.
Deve-se a Kepler (1571-1630) a descoberta do primeiro poliedro regular côncavo - o dodecaedro estrelado de faces regulares representado na figura (VI).
O dentista Francis Louis Poinset (1777-1859) acrescentou a esta lista, em 1809, três novos poliedros regulares não convexos (VII, VIII e IX). Foi, no entanto, Cauchy quem demonstrou que somente existem estes nove poliedros regulares.
Note-se que cada poliedro regular côncavo resulta do prolongamento das faces de um poliedro regular convexo que lhe serve de núcleo, como é visível no dodecaedro estrelado de Kepler (VI) que resulta do prolongamento do dodecaedro (IV).

terça-feira, 9 de junho de 2009

NÚMEROS DECIMAIS UM TORMENTO SEM O USO DA CALCULADORA CIENTIFICA


UMA DIFICULDADE PARA QUEM FAZ USO CONSTANTE DA CALCULADORA E PARA DE RACIOCINAR LOGICAMENTE...

Deu fração! Deu número com vírgula! Dá Pânico.


um macete fácil...
Como se resolve uma divisão com numero decimal? Ex:72 dividido por 3,6?
Vc multiplica os dois números por 10
72*10=720
3,6*10=36
agora divida normalmente 720/36
essa multiplicação é feita para trabalhar sem virgula

NÚMEROS DECIMAIS

Normalmente este conteúdo é visto na 5a série do ensino fundamental quando o aprendiz ainda não tem a formação lógica abstrata dos números racionais e mais tarde com o uso contínuo da calculadora, ele não consegue o domínio do raciocínio intelectual, foi o que observei numa turma de 2a série do ensino médio, ao propor uma atividade sem a calculadora, os alunos simplesmente não sabiam fazer o algoritmo de uma divisão...onde a situação problema indicava que o aluno deveria encontrar a distancia de uma elevação da qual se encontrava utilizando a cateto oposto dividido pelo cateto adjacente (trigonometria), 520m a altura da alevação e tangente de era 20°(0,360), solução tg 0,360 = 520/x logo x = 520/0,360 = 1444,44 m
Utilizando do macete multiplica-se 520 * 10 = 5200 e 0,360* 10 = 3.6 logo 5200/36 = 1444,44m ....

Números decimais
Esta página trata do estudo de frações e números decimais, bem como seus fatos históricos, propriedades, operações e aplicações. As frações decimais e números decimais possuem notória importância cotidiana. Tais conceitos são usados em muitas situações práticas, embora, muitas vezes passem despercebidas.
Indo ao supermercado comprar 1/2 Kg de café por R$ 2,80 e pagando a compra com uma nota de R$ 5,00, obtém-se R$ 2,20 de troco. Neste exemplo, podemos observar o uso de frações e números decimais. Através deste tipo de compra, usamos o conceito de fração decimal juntamente com o sistema de pesagem ( 1/2 Kg ), números decimais juntamente com o sistema monetário. Muitas outras situações utilizam de frações e números decimais.
Observação: Para dividir um número X por outro número não nulo Y, usaremos freqüentemente a notação X/Y.
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Elementos históricos sobre os números Decimais
Hoje em dia é comum o uso de frações. Houve tempo, porém que as mesmas não eram conhecidas. O homem introduziu o uso de frações quando começou a medir e representar medidas.
Os egípcios usavam apenas frações que possuíam o número 1 dividido por um número inteiro, como por exemplo: 1/2, 1/3, 1/4, 1/5,... Tais frações eram denominadas frações egípcias e ainda hoje têm muitas aplicações práticas. Outras frações foram descobertas pelos mesmos egípcios as quais eram expressas em termos de frações egípcias, como: 5/6=1/2+1/3.
Os babilônios usavam em geral frações com denominador 60. É provável que o uso do número 60 pelos babilônios se deve ao fato que é um número menor do que 100 com maior quantidade de divisores inteiros. Os romanos, por sua vez, usavam constantemente frações com denominador 12. Provavelmente os romanos usavam o número 12 por ser um número que embora pequeno, possui um número expressivo de divisores inteiros. Com o passar dos tempos, muitas notações foram usadas para representar frações. A atual maneira de representação data do século XVI.
Os números decimais têm origem nas frações decimais. Por exemplo, a fração 1/2 equivale à fração 5/10 que equivale ao número decimal 0,5.
Stevin (engenheiro e matemático holandês), em 1585 ensinou um método para efetuar todas as operações por meio de inteiros, sem o uso de frações, no qual escrevia os números naturais ordenados em cima de cada algarismo do numerador indicando a posição ocupada pela vírgula no numeral decimal. A notação abaixo foi introduzida por Stevin e adaptada por John Napier, grande matemático escocês.
1437 1 2 3
--------------------------------------------------------------------------------
= 1, 4 3 7
1000
A representação dos algarismos decimais, provenientes de frações decimais, recebia um traço no numerador indicando o número de zeros existentes no denominador.
437
--------------------------------------------------------------------------------
= 4 37
100
Este método foi aprimorado e em 1617 Napier propôs o uso de um ponto ou de uma vírgula para separar a parte inteira da parte decimal.
Por muito tempo os números decimais foram empregados apenas para cálculos astronômicos em virtude da precisão proporcionada. Os números decimais simplificaram muito os cálculos e passaram a ser usados com mais ênfase após a criação do sistema métrico decimal.
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Frações Decimais
Dentre todas as frações, existe um tipo especial cujo denominador é uma potência de 10. Este tipo é denominado fração decimal.
Exemplos: Frações decimais
1/10
3/100
23/100
1/1000
1/103
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Números Decimais
Toda fração decimal pode ser representada por um número decimal, isto é, um número que tem uma parte inteira e uma parte decimal, separados por uma vírgula.
A fração:
127
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100
pode ser escrita como:
1,27
onde 1 representa a parte inteira e 27 representa a parte decimal. Esta notação subentende que a fração 127/100 pode ser decomposta na seguinte forma:
127 100 27
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=
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+
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100 100 100
A fração 8/10 pode ser escrita na forma 0,8, onde 0 é a parte inteira e 8 é a parte decimal. Aqui observamos que este número decimal é menor do que 1 porque o numerador é menor do que o denominador da fração.
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Leitura de números decimais
Para ler números decimais é necessário primeiramente, observar a localização da vírgula que separa a parte inteira da parte decimal.
Um número decimal pode ser colocado na forma genérica:
Centenas Dezenas Unidades , Décimos Centésimos Milésimos
Exemplo:
130,824 1
Centena 3
dezenas 0
unidades , 8
décimos 2
centésimos 4
milésimos
Exemplos:
0,6 Seis décimos
0,37 Trinta e sete centésimos
0,189 Cento e oitenta e nove milésimos
3,7 Três inteiros e sete décimos
13,45 Treze inteiros e quarenta e cinco centésimos
130,824 Cento e trinta inteiros e oitocentos e vinte e quatro milésimos
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Transformação de frações decimais em números decimais
Podemos escrever a fração decimal 1/10 como: 0,1. Esta fração é lida "um décimo". Notamos que a vírgula separa a parte inteira da parte fracionária:
0 , 1
parte inteira parte fracionária
Uma outra situação nos mostra que a fração decimal 231/100 pode ser escrita como 2,31, que se lê da seguinte maneira: "dois inteiros e trinta e um centésimos". Novamente observamos que a vírgula separa a parte inteira da parte fracionária:
2 , 31
parte inteira parte fracionária
Em geral, transforma-se uma fração decimal em um número decimal fazendo com que o numerador da fração tenha o mesmo número de casas decimais que o número de zeros do denominador. Na verdade, realiza-se a divisão do numerador pelo denominador.
Exemplos:
130/100 = 1,30
987/1000 = 0,987
5/1000 = 0,005
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Transformação de números decimais em frações decimais
Também é possível transformar um número decimal em uma fração decimal. Para isto, toma-se como numerador o número decimal sem a vírgula e como denominador a unidade (1) seguida de tantos zeros quantas forem as casas decimais do número dado.
Exemplos:
0,5 = 5/10
0,05 = 5/100
2,41 = 241/100
7,345 = 7345/1000
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Propriedades dos números decimais
Acréscimo de zeros após o último algarismo significativo
Um número decimal não se altera quando se acrescenta ou se retira um ou mais zeros à direita do último algarismo não nulo de sua parte decimal.
Exemplo:
0,5 = 0,50 = 0,500 = 0,5000
1,0002 = 1,00020 = 1,000200
3,1415926535 = 3,141592653500000000
Multiplicação por uma potência de 10
Para multiplicar um número decimal por 10, por 100, por 1000, basta deslocar a vírgula para a direita uma, duas, ou três casas decimais.
Exemplos:
7,4 x 10 = 74
7,4 x 100 = 740
7,4 x 1000 = 7400
Divisão por uma potência de 10
Para dividir um número decimal por 10, 100, 1000, etc, basta deslocar a vírgula para a esquerda uma, duas, três, ... casas decimais.
Exemplos:
247,5 ÷ 10 = 24,75
247,5 ÷ 100 = 2,475
247,5 ÷ 1000 = 0,2475
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Operações com números decimais
Adição e Subtração
Para efetuar a adição ou a subtração de números decimais temos que seguir alguns passos:
Igualar a quantidade de casas decimais dos números decimais a serem somados ou subtraídos acrescentando zeros à direita de suas partes decimais.
Exemplos:
2,4 + 1,723 = 2,400 + 1,723
2,4 - 1,723 = 2,400 - 1,723
Escrever os numerais observando as colunas da parte inteira (unidades, dezenas, centenas, etc), de forma que o algarismo das unidades de um número deverá estar embaixo do algarismo das unidades do outro número, o algarismo das dezenas de um número deverá estar em baixo do algarismo das dezenas do outro número , o algarismo das centenas deverá estar em baixo do algarismo das centenas do outro número, etc), a vírgula sob a outra vírgula e a parte decimal (décimos, centésimos, milésimos, etc) de forma que décimos sob décimos, centésimos sob centésimos, milésimos sob milésimos, etc.
Exemplos:
2,400 + 1,723 =
2,400 - 1,723
Realizar a adição ou a subtração.
Multiplicação de números decimais
Podemos multiplicar dois números decimais transformando cada um dos números decimais em frações decimais e realizar a multiplicação de numerador por numerador e denominador por denominador.
Exemplo:
225 35 22 5 x 35 7875
2,25 x 3,5 = 7,875

100 10 100 x 10 1000
Podemos também multiplicar os números decimais como se fossem inteiros e dar ao produto tantas casas quantas forem as casas do multiplicando somadas às do multiplicador.
Exemplo:
2,25 2 casas decimais multiplicando
x 3,5 1 casa decimal multiplicador
1125
+ 675
7,875 3 casas decimais Produto
Divisão de números decimais
Como visto anteriormente, se multiplicarmos tanto o dividendo como o divisor de uma divisão por 10, 100 ou 1000, o quociente não se alterará. Utilizando essas informações poderemos efetuar divisões entre números decimais como se fossem divisões de números inteiros.
Exemplo: 3,6 / 0,4 = ?
Aqui, dividendo e divisor têm apenas uma casa decimal, logo multiplicamos ambos por 10 para que o quociente não se altere. Assim tanto o dividendo como o divisor serão números inteiros. Na prática, dizemos que "cortamos" a vírgula.
3,6 3,6 x 10 36 = 9
0,4 0,4 x 10 4
Exemplo: 0,35 ÷ 7 = ?
Aqui, o dividendo tem duas casas decimais e o divisor é um inteiro, logo multiplicamos ambos por 100 para que o quociente não se altere. Assim tanto o dividendo como o divisor serão inteiros.
0,35 0,35×100 35

= 0,05
7 7 x 100 700
Problema: Uma pessoa de bom coração doou 35 alqueires paulistas de terra para 700 pessoas. Sabendo-se que cada alqueire paulista mede 24.200 metros quadrados, qual será a área que cada um receberá?
Divisão quando o dividendo é menor do que o divisor
Vamos considerar a divisão de 35 (dividendo) por 700(divisor). Transforma-se o dividendo, multiplicando-se por 10, 100, ..., para obter 350 décimos, 3500 centésimos, ... até que o novo dividendo fique maior do que o divisor, para que a divisão se torne possível. Neste caso, há a necessidade de multiplicar por 100.
Assim a divisão de 35 por 700 será transformada numa divisão de 3500 por 700. Como acrescentamos dois zeros ao dividendo, iniciamos o quociente com dois zeros, colocando-se uma vírgula após o primeiro zero. Isto pode ser justificado pelo fato que se multiplicarmos o dividendo por 100, o quociente ficará dividido por 100.
dividendo-> 3500 700 <-divisor br="">resto-> 0 0,05 <-quociente br="">Efetua-se a divisão de 3500 por 700 para obter 5.
Concluímos que 0,35/7 = 35/700 = 0,05
Divisão de números naturais com quociente decimal
A divisão de 10 por 16 não fornecerá um inteiro no quociente. Como 10 < 16, o quociente da divisão não será um inteiro, assim para dividir o número 10 por 16, montamos uma tabela semelhante à divisão de dois números inteiros.
10 16
??
Multiplicando o dividendo por 10, o quociente ficará dividido por 10. Isto justifica a presença do algarismo 0 seguido de uma vírgula no quociente.
100 16
0,
Realizamos a divisão de 100 por 16. O resultado será 6 e o resto será 4.
100 16
-96 0,6
4
O resto 4 corresponde a 4 décimos = 40 centésimos, razão pela qual colocamos um zero (0) à direita do número 4.
100 16
-96 0,6
40
Dividimos 40 por 16 para obter o quociente 2 e o novo resto será 8.
100 16
-96 0,62
40
-32
8
O resto 8 corresponde a 8 centésimos = 80 milésimos, razão pela qual colocamos um zero (0) à direita do número 8. Dividimos 80 por 16 para obter o quociente 5 e o resto igual a 0.
100 16
-96 0,625
40
-32
80
-80
0
Logo, a divisão 10/16 é igual a 0,625. Note que o quociente é um número decimal exato, embora não seja um inteiro.

Comparação de números decimais
A comparação de números decimais pode ser feita analisando-se as partes inteiras e decimais desses números. Para isso, faremos uso dos sinais: > (maior); < (menor) ou = (igual).
Números com partes inteiras diferentes
O maior número é aquele que tem a parte inteira maior.

Exemplos:
4,1 > 2,76, pois 4 é maior do que 2.
3,7 < 5,4, pois 3 é menor do que 5.
Números com partes inteiras iguais
Igualamos o número de casas decimais acrescentando zeros tantos quantos forem necessários. Após esta operação, teremos dois números com a mesma parte inteira mas com partes decimais diferentes. Basta comparar estas partes decimais para constatar qual é o maior deles.
Exemplos:
12,4 > 12,31 pois 12,4=12,40 e 40 > 31.
8,032 < 8,47 pois 8,47 = 8,470 e 032 < 470.
4,3 = 4,3 pois 4 = 4 e 3 =
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Porcentagem
Ao abrir um jornal, ligar uma televisão, olhar vitrines, é comum depararmos com expressões do tipo:
A inflação do mês foi de 4% (lê-se quatro por cento)
Desconto de 10% (dez por cento) nas compras à vista.
O índice de reajuste salarial de março é de 0,6% (seis décimos por cento)
A porcentagem é um modo de comparar números usando a proporção direta, onde uma das razões da proporção é uma fração cujo denominador é 100. Toda razão a/b na qual b = 100 chama-se porcentagem.
Exemplo: Se há 30% de meninas em uma sala de alunos, pode-se comparar o número de meninas com o número total de alunos da sala, usando para isto uma fração de denominador 100, para significar que se a sala tivesse 100 alunos então 30 desses alunos seriam meninas. Trinta por cento é o mesmo que
30  = 30%
100
Exemplos:
Calcular 40% de R$300,00.
O nosso trabalho será determinar um valor X que represente em R$300,00 a mesma proporção que R$40,00 em R$100,00. Isto pode ser resumido na proporção:
40 X  = 100 300
Como o produto dos meios é igual ao produto dos extremos, podemos realizar a multiplicação cruzada para obter:
100 X = 12000
logo
X = 120
Portanto, 40% de R$300,00 é igual a R$120,00.
Li 45% de um livro que tem 200 páginas. Quantas páginas ainda faltam para ler?
45 X  =100 200
o que implica que
100 X = 9000
logo
X = 90
Como já li 90 páginas, ainda devo ler 200-90 = 110 páginas.

domingo, 7 de junho de 2009

PLANO CARTESIANO - RELAÇÕES E FUNÇÕES










Ensino Médio:
Relações e Funções


* Aplicações de relações e funções
* O Plano Cartesiano
* Produto Cartesiano
* Relações no plano Cartesiano
* Domínio e Contradomínio
* Relações inversas
* Propriedades de Relações
* Relações de equivalência
* Funções no plano Cartesiano
* Relações que não são funções
* Funções afim e lineares
* Função identidade



* Funções constantes
* Funções quadráticas
* Funções cúbicas
* Domínio, Contradomínio, Imagem
* Funções injetoras
* Funções sobrejetoras
* Funções bijetoras
* Funções pares e ímpares
* Funções crescentes
* Funções compostas e Inversas
* Operações com funções
* Funções polinomiais e Aplicações


Aplicações das relações e funções no cotidiano

Ao lermos um jornal ou uma revista, diariamente nos deparamos com gráficos, tabelas e ilustrações. Estes, são instrumentos muito utilizados nos meios de comunicação. Um texto com ilustrações, é muito mais interessante, chamativo, agradável e de fácil compreensão. Não é só nos jornais ou revistas que encontramos gráficos. Os gráficos estão presentes nos exames laboratoriais, nos rótulos de produtos alimentícios, nas informações de composição química de cosméticos, nas bulas de remédios, enfim em todos os lugares. Ao interpretarmos estes gráficos, verificamos a necessidade dos conceitos de plano cartesiano.


O Sistema ABO dos grupos sangüíneos é explicado pela recombinação genética dos alelos (a,b,o) e este é um bom exemplo de uma aplicação do conceito de produto cartesiano. Uma aplicação prática do conceito de relação é a discussão sobre a interação de neurônios (células nervosas do cérebro).

Ao relacionarmos espaço em função do tempo, número do sapato em função do tamanho dos pés, intensidade da fotossíntese realizada por uma planta em função da intensidade de luz a que ela é exposta ou pessoa em função da impressão digital,




Produto Cartesiano
Dados dois conjuntos A e B não vazios, definimos o produto cartesiano entre A e B, denotado por AxB, como o conjunto de todos os pares ordenados da forma (x,y) onde x pertence ao primeiro conjunto A e y pertence ao segundo conjunto B.
AxB = { (x,y): x A e y B }
Observe que AxB BxA, se A é não vazio ou B é não vazio. Se A=Ø ou B=Ø, por definição: AxØ=Ø=ØxB.
Se A possui m elementos e B possui n elementos, então AxB possui mxn elementos.
Exemplo: Dados A={a,b,c,d} e B={1,2,3}, o produto cartesiano AxB, terá 12 pares ordenados e será dado por:
AxB = {(a,1),(a,2),(a,3),(b,1),(b,2),(b,3),(c,1),(c,2),(c,3),(d,1),(d,2),(d,3)}

Dados A = {1,2,3} e B = {4,5}
AxB = {(1,4),(1,5),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5)}



Relações no Plano Cartesiano
Sejam A e B conjuntos não vazios. Uma relação em AxB é qualquer subconjunto R de AxB.


A relação mostrada na figura acima é:
R = { (a,3), (b,3), (c,2), (c,3), (d,2), (d,3) }
Uma relação R de A em B pode ser denotada por R:A B.
Exemplo: Se A={1,2} e B={3,4}, o produto cartesiano é AxB={(1,3),(1,4),(2,3),(2,4)} e neste caso, temos algumas relações em AxB:
1. R1={(1,3),(1,4)}
2. R2={(1,3)}
3. R3={(2,3),(2,4)}

Domínio e Contradomínio de uma Relação
As relações mais importantes são aquelas definidas sobre conjuntos de números reais e nem sempre uma relação está definida sobre todo o conjunto dos números reais. Para evitar problemas como estes, costuma-se definir uma relação R:A B, onde A e B são subconjuntos de R, da seguinte forma:
O conjunto A é o domínio da relação R, denotado por Dom(R) e B é o contradomínio da relação, denotado por CoDom(R).
Dom(R) = { x A: existe y em B tal que (x,y) R}
Im(R)={y B: existe x A tal que (x,y) R}



Representações gráficas de relações em AxB:
R1={(a,1),(a,2),(a,3),(b,1),(b,2),(b,3),(c,1),(d,1),(d,2),(d,3)}

R2={(a,1),(b,2),(c,3),(d,1)}

R3={(a,1),(b,1),(b,2),(c,3),(d,3)}


Relações Inversas
Seja R uma relação de A em B. A relação inversa de R, denotada por R-1, é definida de B em A por:
R-1 = { (y,x) BxA: (x,y) R }

Exemplo: Sejam A={a,b,c}, B={d,e,f} e R uma relação em AxB, definida por
R = {(a,d),(a,e),(a,f),(b,d),(b,e),(b,f),(c,d),(c.e),(c,f)}
Então:
R-1 = {(d,a),(e,a),(f,a),(d,b),(e,b),(f,b),(d,c),(e,c),(f,c)}

Observação: O gráfico da relação inversa R-1 é simétrico ao gráfico da relação R, em relação à reta y=x (identidade).

Propriedades de Relações
Reflexiva: Uma relação R é reflexiva se todo elemento de A está relacionado consigo mesmo, ou seja, para todo x A: (x,x) R, isto é, para todo x A: xRx.
Exemplo: Uma relação reflexiva em A={a,b,c}, é dada por:
R = {(a,a),(b,b),(c,c)}

Simétrica: Uma relação R é simétrica se o fato que x está relacionado com y, implicar necessariamente que y está relacionado com x, ou seja: quaisquer que sejam x A e y A tal que (x,y) R, segue que (y,x) R.
Exemplo: Uma relação simétrica em A={a,b,c}, é:
R = {(a,a),(b,b),(a,b),(b,a)}

Transitiva: Uma relação R é transitiva, se x está relacionado com y e y está relacionado com z, implicar que x deve estar relacionado com z, ou seja: quaisquer que sejam x A, y A e z A, se (x,y) R e (y,z) R então (x,z) R.
Exemplo: Uma relação transitiva em A={a,b,c}, é:
R = {(a,a),(a,c),(c,b),(a,b)}

Anti-simétrica: Sejam x A e y A. Uma relação R é anti-simétrica se (x,y) R e (y,x) R implica que x=y. Alternativamente, uma relação é anti-simétrica: Se x e y são elementos distintos do conjunto A então x não tem relação com y ou (exclusivo) y não tem relação com x, o que significa que o par de elementos distintos (x,y) do conjunto A poderá estar na relação desde que o par (y,x) não esteja.
Exemplo: Uma relação anti-simétrica em A={a,b,c}, é:
R = {(a,a),(b,b),(a,b),(a,c) }

Relação de equivalência
Uma relação R sobre um conjunto A não vazio é chamada relação de equivalência sobre A se, e somente se, R é reflexiva, simétrica e transitiva.
Exemplo: Se A={a,b,c} então a relação R em AxA, definida abaixo, é de equivalência:
R = {(a,a),(b,b),(c,c),(a,c),(c,a) }

Funções no Plano Cartesiano
Referência histórica: Leonhard Euler (1707-1783), médico, teólogo, astrônomo e matemático suíço, desenvolveu trabalhos em quase todos os ramos da Matemática Pura e Aplicada, com destaque para a Análise - estudo dos processos infinitos - desenvolvendo a idéia de função. Foi o responsável também pela adoção do símbolo f(x) para representar uma função de x. Hoje, função é uma das idéias essenciais em Matemática.
Uma função f de A em B é uma relação em AxB, que associa a cada variável x em A, um único y em B. Uma das notações mais usadas para uma função de A em B, é:
f:A B
Quatro aspectos chamam a atenção na definição apresentada:
 O domínio A da relação.
 O contradomínio B da relação.
 Todo elemento de A deve ter correspondente em B.
 Cada elemento de A só poderá ter no máximo um correspondente no contradomínio B.
Estas características nos informam que uma função pode ser vista geometricamente como uma linha no plano, contida em AxB, que só pode ser "cortada" uma única vez por uma reta vertical, qualquer que seja esta reta.
Exemplo: A circunferência definida por
R={(x,y) R²: x²+y²=a²}
é uma relação que não é uma função, pois tomando a reta vertical x=0, obtemos ordenadas diferentes para a mesma abscissa x.

sábado, 6 de junho de 2009

TEORIA DAS FUNÇÕES

conteúdo ministrado para a primeira série, turmas 11, 12, 13 e 13-A - segundo trimestre.

DEFINIÇÃO

Dados dois conjuntos A e B não vazios , chama-se função (ou aplicação) de A em B, representada por
f : A -> B ; y = f(x) , a qualquer relação binária que associa a cada elemento de A , um único elemento de B.
Portanto , para que uma relação de A em B seja uma função , exige-se que a cada x pertence A esteja associado um único y pertence B , podendo entretanto existir y pertence B que não esteja associado a nenhum elemento pertencente ao conjunto A.

Obs : na notação y = f(x) , entendemos que y é imagem de x pela função f, ou seja:
y está associado a x através da função f.
Exemplo:

f(x) = 4x+3 ; então f(2) = 4.2 + 3 = 11 e portanto , 11 é imagem de 2 pela função f ;
f(5) = 4.5 + 3 = 23 , portanto 23 é imagem de 5 pela função f , f(0) = 4.0 + 3 = 3, etc.
Para definir uma função , necessitamos de dois conjuntos (Domínio e Contradomínio ) e de uma fórmula ou uma lei que relacione cada elemento do domínio a um e somente um elemento do contradomínio .
Quando D(f) C R e CD(f) C R , sendo R o conjunto dos números reais , dizemos que a função f é uma função real de variável real . Na prática , costumamos considerar uma função real de variável real como sendo apenas a lei y = f(x) que a define , sendo o conjunto dos valores possíveis para x , chamado de domínio e o conjunto dos valores possíveis para y , chamado de conjunto imagem da função . Assim , por exemplo , para a função definida por y = 1/x , temos que o seu domínio é D(f) = R* , ou seja o conjunto dos reais diferentes de zero (lembre-se que não existe divisão por zero) , e o seu conjunto imagem é também R* , já que se y = 1/x , então x = 1/y e portanto y também não pode ser zero .
Dada uma função f : A -> B definida por y = f(x) , podemos representar os pares ordenados (x , y) E f onde x C A e y E B ,num sistema de coordenadas cartesianas .
O gráfico obtido será o gráfico da função f .

Assim , por exemplo , sendo dado o gráfico cartesiano de uma função f , podemos dizer que:
a ) a projeção da curva sobre o eixo dos x , nos dá o domínio da função .

b ) a projeção da curva sobre o eixo dos y , nos dá o conjunto imagem da função .

c ) toda reta vertical que passa por um ponto do domínio da função , intercepta o gráfico da função em no máximo um ponto .
Veja a figura abaixo:


Tipos de funções
Função sobrejetora
É aquela cujo conjunto imagem é igual ao contradomínio .
Exemplo:


Função injetora
Uma função y = f(x) é injetora quando elementos distintos do seu domínio , possuem imagens distintas,
isto é:
x1 # x2 => f(x1) # f(x2) # x2 => f(x1) # f(x2) # x2 => f(x1) # f(x2) # x2 => f(x1) # f(x2) # x2 => f(x1) # f(x2) # x2 => f(x1) # f(x2) # x2 => f(x1) # f(x2) .(# siginifica diferente)
Exemplo:

Função bijetora
Uma função é dita bijetora , quando é ao mesmo tempo , injetora e sobrejetora .
Exemplo:







Exercícios resolvidos:
1 - Considere três funções f, g e h, tais que:
A função f atribui a cada pessoa do mundo, a sua idade.
A função g atribui a cada país, a sua capital
A função h atribui a cada número natural, o seu dobro.
Podemos afirmar que, das funções dadas, são injetoras:
a) f, g e h
b) f e h
c) g e h
d) apenas h
e) nenhuma delas
Solução:

Sabemos que numa função injetora, elementos distintos do domínio, possuem imagens distintas, ou seja:
x1 # x2 -> f(x1) # f(x2) .
Logo, podemos concluir que:

f não é injetora, pois duas pessoas distintas podem ter a mesma idade.
g é injetora, pois não existem dois países distintos com a mesma capital.
h é injetora, pois dois números naturais distintos, possuem os seus dobros também distintos.
Assim é que concluímos que a alternativa correta é a de letra C.
2 - Seja f uma função definida em R - conjunto dos números reais - tal que
f(x - 5) = 4x. Nestas condições, pede-se determinar f(x + 5).
Solução:

Vamos fazer uma mudança de variável em f(x - 5) = 4x, da seguinte forma:
x - 5 = u logo x = u + 5

Substituindo agora (x - 5) pela nova variável u e x por (u + 5), vem:
f(u) = 4(u + 5) logo f(u) = 4u + 20
Ora, se f(u) = 4u + 20, teremos:
f(x + 5) = 4(x+5) + 20 Então f(x+5) = 4x + 40

Agora resolva este:

A função f em R é tal que f(2x) = 3x + 1. Determine 2.f(3x + 1).
Resp: 9x + 5
3 - Paridade das funções
3.1 - Função par
A função y = f(x) é par, quando  x qualquer que seja D(f) , f(- x ) = f(x) , ou seja, para todo elemento do seu domínio,
f( x ) = f ( - x ). Portanto , numa função par, elementos simétricos possuem a mesma imagem. Uma conseqüência desse fato é que os gráficos cartesiano das funções pares, são curvas simétricas em relação ao eixo dos y ou eixo das ordenadas.
Exemplo:
y = x4 + 1 é uma função par, pois f(x) = f(-x), para todo x. Por exemplo,
f(2) = 24 + 1 = 17 e f(- 2) = (-2)4 + 1 = 17
O gráfico abaixo, é de uma função par.


Função ímpar
A função y = f(x) é ímpar , quando qualquer que seja x E D(f) , f( - x ) = - f (x) , ou seja, para todo elemento do seu domínio, f( - x) = - f( x ). Portanto, numa função ímpar, elementos simétricos possuem imagens simétricas. Uma conseqüência desse fato é que os gráficos cartesianos das funções ímpares, são curvas simétricas em relação ao ponto (0,0), origem do sistema de eixos cartesianos.
Exemplo:

y = x3 é uma função ímpar pois para todo x, teremos f(- x) = - f(x).
Por exemplo, f( - 2) = (- 2)3 = - 8 e - f( x) = - ( 23 ) = - 8.
O gráfico abaixo é de uma função ímpar:


Nota: se uma função y = f(x) não é par nem ímpar, dizemos que ela não possui paridade.

Exemplo:

O gráfico abaixo, representa uma função que não possui paridade, pois a curva não é simétrica em relação ao eixo dos x e, não é simétrica em relação à origem.

1 - FUNÇÃO INVERSA
Dada uma função f : A -> B , se f é bijetora , então define-se a função inversa f -1 como sendo a função de B em A , tal que f-1 (y) = x .
Veja a representação a seguir:


É óbvio então que:
a) para obter a função inversa , basta permutar as variáveis x e y .
b) o domínio de f -1 é igual ao conjunto imagem de f .
c) o conjunto imagem de f -1 é igual ao domínio de f .
d) os gráficos de f e de f -1 são curvas simétricas em relação à reta y = x ou seja , à bissetriz do primeiro quadrante .
Exemplo:
Determine a INVERSA da função definida por y = 2x + 3.
Permutando as variáveis x e y, fica: x = 2y + 3
Explicitando y em função de x, vem:
2y = x - 3 então y = (x - 3) / 2, que define a função inversa da função dada.
O gráfico abaixo, representa uma função e a sua inversa.
Observe que as curvas representativas de f e de f-1, são simétricas em relação à reta
y = x, bissetriz do primeiro e terceiro quadrantes.



Exercício resolvido:
A função f: R -> R , definida por f(x) = x2 :
a) é inversível e sua inversa é f -1 (x) = Raiz de x
b) é inversível e sua inversa é f -1(x) = - Raiz de x
c) não é inversível
d) é injetora
e) é bijetora
SOLUÇÃO:
Já sabemos que somente as funções bijetoras são inversíveis, ou seja, admitem função inversa. Ora, a função f(x) = x2, definida em R - conjunto dos números reais - não é injetora, pois elementos distintos possuem a mesma imagem. Por exemplo,
f(3) = f(-3) = 9. Somente por este motivo, a função não é bijetora e, em conseqüência, não é inversível.
Observe também que a função dada não é sobrejetora, pois o conjunto imagem da função f(x) = x2 é o conjunto R + dos números reais não negativos, o qual não coincide com o contradomínio dado que é
igual a R. A alternativa correta é a letra C.
2 - FUNÇÃO COMPOSTA
Chama-se função composta ( ou função de função ) à função obtida substituindo-se a variável independente x , por uma função.
Simbologia : fog (x) = f(g(x)) ou gof (x) = g(f(x)) .
Veja o esquema a seguir:


Obs : atente para o fato de que fog # gof , ou seja, a operação " composição de funções " não é comutativa .
Exemplo:
Dadas as funções f(x) = 2x + 3 e g(x) = 5x, pede-se determinar gof(x) e fog(x).
Teremos:
gof(x) = g[f(x)] = g(2x + 3) = 5(2x + 3) = 10x + 15
fog(x) = f[g(x)] = f(5x) = 2(5x) + 3 = 10x + 3
Observe que fog # gof .
Exercícios resolvidos:
1 - Sendo f e g duas funções tais que: f(x) = ax + b e g(x) = cx + d . Podemos afirmar que a igualdade gof(x) = fog(x) ocorrerá se e somente se:
a) b(1 - c) = d(1 - a)
b) a(1 - b) = d(1 - c)
c) ab = cd
d) ad = bc
e) a = bc
SOLUÇÃO:
Teremos:
fog(x) = f[g(x)] = f(cx + d) = a(cx + d) + b então fog(x) = acx + ad + b
gof(x) = g[f(x)] = g(ax + b) = c(ax + b) + d então gof(x) = cax + cb + d
Como o problema exige que gof = fog, fica:
acx + ad + b = cax + cb + d
Simplificando, vem:
ad + b = cb + d
ad - d = cb - b então d(a - 1) = b(c - 1), que é equivalente a d(a - 1) = b(c - 1), o que nos leva a concluir que a alternativa correta é a letra A. .
2 - Sendo f e g duas funções tais que fog(x) = 2x + 1 e g(x) = 2 - x então f(x) é:
a) 2 - 2x
b) 3 - 3x
c) 2x - 5
*d) 5 - 2x
e) uma função par.
SOLUÇÃO:
Sendo fog(x) = 2x + 1, temos: f[g(x)] = 2x + 1
Substituindo g(x) pelo seu valor, fica: f(2 - x) = 2x + 1
Fazendo uma mudança de variável, podemos escrever 2 - x = u, sendo u a nova variável. Portanto, x = 2 - u.
Substituindo, fica:
f(u) = 2(2 - u) + 1 então f(u) = 5 - 2u
Portanto, f(x) = 5 - 2x , o que nos leva à alternativa D.
Agora resolva esta:
Dadas as funções f(x) = 4x + 5 e g(x) = 2x - 5k, ocorrerá gof(x) = fog(x) se e somente se k for igual a:
*a) -1/3
b) 1/3
c) 0
d) 1
e) -1
Tipos particulares de funções
FUNÇÃO CONSTANTE
Uma função é dita constante quando é do tipo f(x) = k , onde k não depende de x .
Exemplos:
a) f(x) = 5
b) f(x) = -3
Obs : o gráfico de uma função constante é uma reta paralela ao eixo dos x .
Veja o gráfico a seguir:



FUNÇÃO DO 1º GRAU
Uma função é dita do 1º grau , quando é do tipo y = ax + b , onde a # 0 .
Exemplos :
f(x) = 3x + 12 ( a = 3 ; b = 12 )
f(x) = -3x + 1 (a = -3; b = 1).
Propriedades da função do 1º grau :
1) o gráfico de uma função do 1º grau é sempre uma reta










2) na função f(x) = ax + b , se b = 0 , f é dita função linear e se b # 0 f é dita função afim .
3) o gráfico intercepta o eixo dos x na raiz da equação f(x) = 0 e, portanto, no ponto de abcissa x = - b/a .
4) o gráfico intercepta o eixo dos y no ponto (0 , b) , onde b é chamado coeficiente linear .
5) o valor a é chamado coeficiente angular e dá a inclinação da reta .
6) se a > 0 , então f é crescente .
7) se a < 0 , então f é decrescente .
8) quando a função é linear, ou seja, y = f(x) = ax , o gráfico é uma reta que sempre passa na origem.
Exercício resolvido:
1 - Determine a função f(x) = ax + b, sabendo-se que f(2) = 5 e f(3) = -10.
SOLUÇÃO:
Podemos escrever:
5 = 2.a + b
-10 = 3.a + b
Subtraindo membro a membro, vem:
5 - (- 10) = 2.a + b - (3.a + b)
15 = - a então a = - 15
Substituindo o valor de a na primeira equação (poderia ser na segunda), fica:
5 = 2.(- 15) + b então b = 35.
Logo, a função procurada é: y = - 15x + 35.
Agora resolva esta:
A função f é definida por f(x) = ax + b. Sabe-se que f(-1) = 3 e f(3) = 1, então podemos afirmar que f(1) é
igual a:
*a) 2
b) -2
c) 0
d) 3
e) -3
FUNÇÃO DO 2º GRAU
Uma função é dita do 2º grau quando é do tipo f(x) = ax2 + bx + c , com a # 0 .
Exemplos: f(x) = x2 - 2x + 1 ( a = 1 , b = -2 , c = 1 ) ;
y = - x2 ( a = -1 , b = 0 , c = 0 )
Gráfico da função do 2º grau y = ax2 + bx + c :
é sempre uma parábola de eixo vertical .














Propriedades do gráfico de y = ax2 + bx + c :
1) se a > 0 a parábola tem um ponto de mínimo .
2) se a < 0 a parábola tem um ponto de máximo
3) o vértice da parábola é o ponto V(xv , yv) onde:
xv = - b/2a
yv = - Delta /4a , onde Delta = b2 - 4ac
4) a parábola intercepta o eixo dos x nos pontos de abcissas x' e x'' , que são as raízes da
equação ax2 + bx + c = 0 .
5) a parábola intercepta o eixo dos y no ponto (0 , c) .
6) o eixo de simetria da parábola é uma reta vertical de equação x = - b/2a.
7) Ymax = - Delta / 4a ( a < 0 )
8) Ymin = - Delta /4a ( a > 0 )
9) Im(f) = { y E R ; y > - Delta /4a } ( a >0 )
10) Im(f) = { y E R ; y < - Delta /4a} ( a < 0)
11) Forma fatorada : sendo x1 e x2 as raízes da de f(x) = ax2 + bx + c , então ela pode ser escrita na forma fatorada a seguir :
y = a(x - x1).(x - x2)