quarta-feira, 29 de abril de 2009

INTRODUÇÃO AOS NÚMEROS NATURAIS

PÁGINA INTRODUÇÃO AOS NÚMEROS NATURAIS EM CONTRUÇÃO

O conjunto dos números naturais é representado pela letra maiúscula N e estes números são construídos com os algarismos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, que também são conhecidos como algarismos indo-arábicos.
No século VII, os árabes invadiram a Índia, difundindo o seu sistema numérico.
Embora o zero não seja um número natural no sentido que tenha sido proveniente de objetos de contagens naturais, iremos considerá-lo como um número natural uma vez que ele tem as mesmas propriedades algébricas que os números naturais. Na verdade, o zero foi criado pelos hindus na montagem do sistema posicional de numeração para suprir a deficiência de algo nulo.
Na sequência abaixo consideraremos como naturais tendo início com o número zero e escreveremos este conjunto como:

N = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...}
Representaremos o conjunto dos números naturais com a letra N. As reticências (três pontos) indicam que este conjunto não tem fim. N é um conjunto com infinitos números.
Excluindo o zero do conjunto dos números naturais, o conjunto será representado por N*, isto é:

N* = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, ...}

A construção dos Números Naturais

Todo número natural dado tem um sucessor (número que vem depois do número dado), considerando também o zero.

Exemplos:

O sucessor de m é m + 1 se, m é um número natural.

O sucessor de 0 é 1.

O sucessor de 1 é 2.

O sucessor de 19 é 20.

Se um número natural é sucessor de outro, então os dois números juntos são chamados números consecutivos.

Exemplos:

1 e 2 são números consecutivos

5 e 6 são números consecutivos

50 e 51 são números consecutivos


Vários números formam uma colecção de números naturais consecutivos se o segundo é sucessor do primeiro, o terceiro é sucessor do segundo, o quarto é sucessor do terceiro e assim sucessivamente.

Exemplos:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 e 8 são números consecutivos

5, 6 e 7 são números consecutivos

50, 51, 52 e 53 são números consecutivos


Todo número natural dado n, exceto o zero, tem um antecessor (número que vem antes do número dado).

Exemplos:

O antecessor de m é m-1 se, m é um número natural finito diferente de zero.

O antecessor de 2 é 1.

O antecessor de 56 é 55.

O antecessor de 10 é 9.

O conjunto abaixo é conhecido como o conjunto dos números naturais pares.

Embora uma sequência real seja um outro objeto matemático denominado função, algumas vezes utilizaremos a denominação sequência dos números naturais pares para representar o conjunto dos números naturais pares:

P = { 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, ...}

O conjunto abaixo é conhecido como o conjunto dos números naturais ímpares, às vezes também chamado, a sequência dos números ímpares.


I = { 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, ...}


Igualdades e Desigualdades

Diremos que um conjunto A é igual a um conjunto B se, e somente se, o conjunto A está contido no conjunto B e o conjunto B está contido no conjunto A. Quando a condição acima for satisfeita, escreveremos A=B (lê-se: A é igual a B) e quando não for satisfeita denotaremos tal fato por:



(lê-se: A é diferente de B). Na definição de igualdade de conjuntos, vemos que não é importante a ordem dos elementos no conjunto.

Exemplo com igualdade:



Notamos que os elementos do conjunto A são os mesmos elementos do conjunto B. Neste caso, A=B.

Vamos considerar agora uma situação em que os elementos dos conjuntos A e B serão distintos. Neste caso, dizemos que A é diferente de B.
Sejam A = {a,b,c,d} e B = {1,2,3,d}. Estes conjuntos são diferentes pois nem todos os elementos do conjunto A estão em B e nem todos os elementos do conjunto B estão em A.
Não podemos afirmar que um conjunto é maior do que o outro conjunto.

Exercício: Coloque um dos três sinais: <, > ou = em cada linha da tabela abaixo.



Exercício: Representar cada conjunto analiticamente, isto é, através de alguma propriedade e depois por extensão, apresentando os elementos:

N : Conjunto dos Números Naturais

P : Conjunto dos Números Naturais Pares




I : Conjunto dos Números Naturais Ímpares

E : Conjunto dos Números Naturais menores que 16

L : Conjunto dos Números Naturais maiores que 11

R : Conjunto dos Números Naturais maiores ou iguais a 28

C : Conjunto dos Números Naturais que estão entre 6 e 10



A adição de números naturais

A primeira operação fundamental da Aritmética, tem por finalidade reunir em um só número, todas as unidades de dois ou mais números. Antes de surgir os algarismos indo-arábicos, as adições podiam ser realizadas por meio de tábuas de calcular, com o auxílio de pedras ou por meio de ábacos.



Propriedades da Adição

Fechamento

A adição é fechada no conjunto dos números naturais, pois a soma de dois números naturais é ainda um número natural. O facto que a operação de adição é fechada em N é conhecido na literatura do assunto como:

A adição é uma lei de composição interna no conjunto N.

Associativa
A adição é associativa no conjunto dos números naturais, pois na adição de três ou mais parcelas de números naturais quaisquer é possível associar as parcelas de quaisquer modos, ou seja, com três números naturais, somando o primeiro com o segundo e ao resultado obtido somarmos um terceiro, obteremos um resultado que é igual à soma do primeiro com a soma do segundo e o terceiro.



Elemento neutro

Na adição de números naturais, existe o elemento neutro que é o zero, pois tomando um número natural qualquer e somando com o elemento neutro (zero), o resultado será o próprio número natural
.


Comutativa

A adição é comutativa no conjunto dos números naturais, pois a ordem das parcelas não altera a soma, ou seja, somando a primeira parcela com a segunda parcela, teremos o mesmo resultado que se somando a segunda parcela com a primeira parcela.



Curiosidade: Tabela de adição



Para somar dois números com a tabela em anexo, basta fixar um número na primeira linha e um segundo número na primeira coluna e na intersecção da linha com a coluna fixadas, obtemos a soma desses números.
Como exemplo, na tabela ao lado, se tomamos o número 7 que está na linha horizontal e o número 6 que está na linha vertical, obteremos a soma 13 que está no cruzamento das duas linhas.



Multiplicação de Números Naturais

É a operação que tem por finalidade adicionar o primeiro número denominado multiplicando ou parcela, tantas vezes quantas são as unidades do segundo número denominado multiplicador.

Exemplo: 4 vezes 9 é somar o número 9 quatro vezes:

4 x 9 = 9 + 9 + 9 + 9 = 36

O resultado da multiplicação é denominado produto e os números dados que geraram o produto, são chamados fatores. Usamos o sinal x ou · ou × para representar a multiplicação.

Propriedades da multiplicação




Fechamento

A multiplicação é fechada no conjunto N dos números naturais, pois realizando o produto de dois ou mais números naturais, o resultado estará em N. O fato que a operação de multiplicação é fechada em N é conhecido na literatura do assunto como:

A multiplicação é uma lei de composição interna no conjunto N.

Associativa

Na multiplicação, podemos associar 3 ou mais factores de modos diferentes, pois se multiplicarmos o primeiro fator com o segundo e depois multiplicarmos por um terceiro número natural, teremos o mesmo resultado que multiplicar o terceiro pelo produto do primeiro pelo segundo.


(m.n).p = m.(n.p)
(3.4).5 = 3.(4.5) = 60

Elemento Neutro

No conjunto dos números naturais existe um elemento neutro para a multiplicação que é o 1. Qualquer que seja o número natural n, tem-se que:

1.n = n.1 = n
1.7 = 7.1 = 7

Comutativa

Na multiplicação de dois números naturais quaisquer, a ordem dos fatores não altera o produto, ou seja, multiplicando o primeiro elemento pelo segundo elemento teremos o mesmo resultado que se multiplicarmos o segundo elemento pelo primeiro elemento.


m.n = n.m
3.4 = 4.3 = 12

Propriedade Distributiva

Multiplicando um número natural pela soma de dois números naturais, é o mesmo que multiplicar o fator, por cada uma das parcelas e a seguir adicionar os resultados obtidos.



m . ( p + q ) = m . p + m . q
6 x ( 5 + 3 ) = 6 x 5 + 6 x 3 = 30 + 18 = 48


Divisão de Números Naturais

Dados dois números naturais, às vezes necessitamos saber quantas vezes o segundo está contido no primeiro. O primeiro número que é o maior é denominado dividendo e o outro número que é menor é o divisor. O resultado da divisão é chamado quociente. Se multiplicarmos o divisor pelo quociente obteremos o dividendo.
No conjunto dos números naturais, a divisão não é fechada, pois nem sempre é possível dividir um número natural por outro número natural e na ocorrência disto a divisão não é exata.

Relações essenciais numa divisão de números naturais

Numa divisão de números naturais, o divisor deve ser menor do que o dividendo.

35 : 7 = 5

Numa divisão de números naturais, o dividendo é o produto do divisor pelo quociente.

35 = 5 x 7

A divisão de um número natural n por zero não tem sentido pois, se admitíssemos que o quociente fosse q, então poderíamos escrever:

n ÷ 0 = q

e isto significa que:

n = 0 x q = 0

o que não é correto, logo a divisão de n por 0 não tem sentido ou ainda é dita impossível.

Exercício: Substituindo X por 6 e Y por 9, qual o valor da soma do dobro de X pelo triplo de Y.


Potenciação de Números Naturais

Dados dois números naturais x e y, a expressão xy, representa um produto de y fatores iguais ao número x, ou seja:


xy = x . x . x . x ... x . x . x
y vezes

O número que se repete como fator denomina-se base que neste caso é x. O número de vezes que a base se repete é denominado expoente que neste caso é y. O resultado denomina-se potência. Esta operação não passa de uma multiplicação com fatores iguais.

Exemplos:

23 = 2 . 2 . 2 = 8

43 = 4 . 4 . 4 = 64

Propriedades da Potenciação

Uma potência cuja base é igual a 1 e o expoente natural é n, denotado por 1n, será sempre igual a 1.

Exemplos:

1n = 1 . 1 ... 1 (n vezes) = 1

13 = 1 . 1 . 1 = 1

17 = 1 . 1 . 1 . 1 . 1 . 1 . 1 = 1


Se n é um número natural diferente de zero, então a potência no será sempre igual a 1.

Exemplos:

no = 1

5o = 1

49o = 1


Qualquer que seja a potência em que a base é o número natural n e o expoente é igual a 1, denotado por n1 é igual ao próprio n.

Exemplos:

n1 = n

51 = 5

641 = 64


Toda potência 10n é o número formado pelo algarismo 1 seguido de n zeros.

Exemplos:

103 = 1000

108 = 100.000.000

10o = 1

CURIOSIDADENúmeros grandes

No livro "Matemática e Imaginação", o matemático americano Edward Kasner apresentou um número denominado googol que pode ser representado por 1 seguido de 100 zeros.


1 Googol = 10100

Ele pensou que este era um número superior a qualquer coisa que passasse pela mente humana sendo maior do que qualquer coisa que pode ser posta na forma de palavras. Um googol é um pouco maior do que o número total de partículas elementares conhecidas no universo, algo da ordem de 1080. Se o espaço com estas partículas fosse comprimido de uma forma sólida com neutrões, este ficaria com algo em torno de 10128 partículas.
Um outro matemático criou então o googolplex e o definiu como sendo 10 elevado ao googol.

1 Googolplex = 10Googol = 1010100

Múltiplos de números Naturais

Diz-se que um número natural a é múltiplo de outro natural b, se existe um número natural k tal que:


a=k.b

Exemplos:

15 é múltiplo de 5, pois 15 = 3 x 5

24 é múltiplo de 4, pois 24 = 6 x 4

24 é múltiplo de 6, pois 24 = 4 x 6

27 é múltiplo de 9, pois 27 = 3 x 9

Quando a = k . b, segue que a é múltiplo de b, mas também, a é múltiplo de k, como é o caso do número 35 que é múltiplo de 5 e de 7, pois:

35 = 7 x 5

Quando a=k.b, então a é múltiplo de b e se conhecemos b e queremos obter todos os seus múltiplos, basta fazer k assumir todos os números naturais possíveis. Para obter os múltiplos de 2, isto é, os números da forma a=kx2 onde k é substituído por todos os números naturais possíveis. A tabela abaixo nos auxiliará:


O conjunto dos números naturais é infinito, assim existem infinitos múltiplos de 2, ou de qualquer outro número natural.

O conjunto dos múltiplos de um número natural y é infinito e vamos nos referir a este conjunto com a notação M(y).

Exemplo: Múltiplos de 7: M(7) = {0,7,14,21,28,35,42,...}


Exemplo: Múltiplos de 11: M(11) = {0,11,22,33,44,55,66,77,...}



Observação: Como estamos considerando 0 como um número natural, então o número 0 (zero) será múltiplo de todo número natural. Tomando k=0 em a=k.b obtemos a=0 para todo b natural.

Exemplo: Alguns múltiplos de zero.

0 = 0 x 2

0 = 0 x 5

0 = 0 x 12

0 = 0 x 15

Observação: Um número b é sempre múltiplo dele mesmo.


a = 1 x b <=> a = b

Exemplos: Basta tomar o mesmo número multiplicado por 1 para obter um múltiplo dele próprio.

3 = 1 x 3

5 = 1 x 5

15 = 1 x 15


Divisores de números Naturais

A definição de divisor está relacionada com a de múltiplo. Um número natural b é divisor do número natural a, se a é múltiplo de b.

Exemplo: 3 é divisor de 15, pois 15=3x5, logo 15 é múltiplo de 3 e também é múltiplo de 5.

Um número natural tem uma quantidade finita de divisores. Por exemplo, o número 6 poderá ter no máximo 6 divisores, pois trabalhando no conjunto dos números naturais não podemos dividir 6 por um número maior do que ele.

Os divisores naturais de 6 são os números 1, 2, 3, 6, o que significa que o número 6 tem 4 divisores.

Os divisores de um número y também formam um conjunto finito, que aqui denotaremos por D(y).

Exemplos:

Divisores de 18: D(18) = { 1, 2, 3, 6, 9, 18 }

Divisores de 15: D(15) = { 1, 3, 5, 15 }

Observação:

O número 0(zero) é múltiplo de todo número natural.

Zero(0) não é divisor de nenhum número natural, exceto dele próprio.

Se pudéssemos considerar que 6÷0=b, então teríamos que admitir que:

6 = 0 x b
mas não existe um número b que multiplicado por 0 (zero) seja igual a 6, portanto a divisão de 6 por 0 é impossível.

A divisão de zero por zero é indeterminada, o que significa que pode existir uma situação que ela passe a ter significado, no sentido seguinte:

Se aceitarmos que

0 ÷ 0 = X ÷ 1 = X

então também poderemos aceitar que o produto dos meios é igual ao produto dos extremos nesta proporção e assim:


0 × 1 = 0 × X = 0

que não é contraditório e isto pode ser realizado para todo X real, razão pela qual a expressão da forma 0 ÷ 0 é dita indeterminada.

Números primos

Um número primo é um número natural com exatamente dois divisores naturais distintos.

Exemplos:

2 é primo pois D(2) = {1,2}

3 é primo pois D(3) = {1,3}

5 é primo pois D(5) = {1,5}

7 é primo pois D(7) = {1,7}

14 não é primo pois D(14) = {1,2,7,14}


Crivo de Eratóstenes É um processo para a obtenção de números primos menores do que um determinado número natural k. Normalmente construímos uma tabela contendo todos os primeiros k números naturais.
Para determinar os números primos nesta tabela, basta seguir os seguintes passos.
Determinamos o primeiro número primo que é 2, lembrando que 1 não é primo.
Eliminamos todos os múltiplos de 2 que encontrarmos na tabela.
Determinamos o próximo número primo que será 3, que coincidirá com o próximo número não marcado da tabela.
Eliminamos todos os múltiplos de 3.
Voltamos ao passo 3, com o próximo número primo.
Continuamos o processo.




Na tabela, listamos os 100 primeiros números naturais, indicando com a cor de fundo "amarela" os números primos e com a cor de fundo "verde" os números que não são primos. Como exemplo, 2 é primo, enquanto 25 não é primo, pois é múltiplo de 5.

Assim encontramos os seguintes números primos na tabela.

P={2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97}

Observações:

1 não é primo pois tem apenas 1 divisor.


Todo número natural pode ser escrito como o produto de números primos, de forma única.


Mínimo Múltiplo Comum

Diz-se que um número m é múltiplo comum dos número a e b se m é múltiplo de a e também é múltiplo de b, ou seja.


m = k . a
e
m = w . b
onde k e w números naturais.

Exemplos: Múltiplos comuns

24 é múltiplo comum de 6 e 8.

15 é múltiplo comum de 3 e 5.

Determinaremos agora todos os números que tem 18 como múltiplo comum, o que é o mesmo que obter todos os divisores naturais de 18.

18 é múltiplo comum de 1 e 18 pois 18=1x18.
18 é múltiplo comum de 2 e 9 pois 18=2x9.
18 é múltiplo comum de 3 e 6 pois 18=3x6.

Observe que 18 é múltiplo comum de todos os seus divisores, logo:

D(18) = {1,2,3,6,9,18}

Agora determinaremos os múltiplos comuns dos números a e b. Para isso denotaremos por M(a) o conjunto dos múltiplos de a, por M(b) o conjunto dos múltiplos de b e tomar a intersecção entre os conjuntos M(a) e M(b).

Exemplo: Múltiplos comuns de 3 e 5.

M(3)={0,3,6,9,12,15,18,21,24,27,30,33,36,39,42,45,...}

M(5)={0,5,10,15,20,25,30,35,40,45,50,55,...}

Desse modo, a intersecção entre os conjuntos M(3) e M(5) forma um conjunto infinito com os múltiplos comuns de 3 e de 5.


M(3)M(5) = {0,15,30,45,...}

Como estamos considerando 0 (zero) como número natural, ele irá fazer parte dos conjuntos de todos os múltiplos de números naturais e será sempre o menor múltiplo comum.

Por definição, o Mínimo Múltiplo Comum (MMC) de dois ou mais números naturais é o menor múltiplo comum a esses números que é diferente de zero. Logo, no conjunto:


M(3)M(5) = {0, 15, 30, 45, ...}
o Mínimo Múltiplo Comum entre 3 e 5 é igual a 15.

Quando trabalharmos com dois números a e b, utilizaremos a notação MMC(a,b) para representar o Mínimo Múltiplo Comum entre os números naturais a e b, lembrando sempre que o menor múltiplo comum deve ser diferente de zero.

Exemplo: Como:

M(4) = {0,4,8,12,16,20,24,...}
M(6) = { 0, 6, 12, 18, 24, ...}

então:

MMC(4,6) = min {12,24,36,...} = 12

É interessante notar que o conjunto dos múltiplos do MMC(a,b) é igual ao conjunto dos múltiplos comuns de a e b.

Realmente: MMC(3,5)=15


M(15) = {0,15,30,45,60,...}


M(3) = {0,3,6,9,12,15,18,21,24,27,30,...}


M(5) = {0,5,10,15,20,25,30,35,40,45,...}


M(3)M(5) = {0,15,30,45,...}

Observe que M(15) = M(3)M(5)

Método para determinar o MMC: Do ponto de vista pedagógico, o processo acima é excelente para mostrar o significado do MMC mas existe um método prático para realizar tal tarefa sem trabalhar com conjuntos.

Num papel faça um traço vertical, de forma que sobre espaço livre tanto à direita como à esquerda do traço.


Do lado esquerdo do traço escreva os números naturais a, b, c, ... como uma lista, separados por vírgulas, para obter o MMC(a,b,c,...). Por exemplo, tomaremos 12, 22 e 28 do lado esquerdo do traço vertical e do lado direito do traço colocamos o menor número primo que divide algum dos números da lista que está à esquerda.





Dividimos todos os números da lista da esquerda, que são múltiplos do número primo que está à direita do traço, criando uma nova lista debaixo da lista anterior com os valores resultantes das divisões (possíveis) e com os números que não foram divididos.




Repetimos a partir do passo 3 até que os valores da lista que está do lado esquerdo do traço se tornem todos iguais a um.




O MMC é o produto de todos os números primos que colocamos do lado direito do traço.

Neste caso: MMC(12,22,28)=924.

Exemplo: Determinaremos os MMC dos números 12 e 15.

Montagem da tabela:


12 15 | 2
|
|
|


Dividimos todos os números da lista da esquerda pelos números primos (quando a divisão for possível), criando novas listas sob as listas anteriores.


12 15 | 2
6 15 | 2
3 15 | 3
1 5 | 5
1 1 | 60


O MMC(12,15) = 60 é o produto de todos os números primos que colocamos do lado direito do traço.

Máximo Divisor Comum

Para obter o Máximo Divisor Comum devemos introduzir o conceito de divisor comum a vários números naturais. Um número d é divisor comum de outros dois números naturais a e b se, d divide a e d divide b simultaneamente. Assim:


a = k1 x d
e
b = k2 x d

Exemplos: Divisores comuns.

8 é divisor comum de 24 e 56, pois:

24 = 3 x 8 e 56 = 7 x 8

3 é divisor comum de 15 e 36, pois:

15 = 5 x 3 e 36 = 12 x 3

Observação: Um número d é divisor de todos os seus múltiplos. O conjunto dos divisores comuns de dois números é finito, pois o conjunto dos divisores de um número é finito.

Agora determinaremos os divisores comuns aos números 16 e 24.


D(16) = { 1, 2, 4, 8, 16 }


D(24) = { 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 }

D(16)D(24) = {1, 2, 4, 8}

Ocorre que o menor divisor comum entre os números 16 e 24, é 1, assim não interessa o menor divisor comum mas sim o maior divisor que pertence simultaneamente aos dois conjuntos de divisores.

Denotaremos por MDC(a,b), o Máximo Divisor Comum entre os números naturais a e b.

Exemplos: Como:


D(16) = { 1, 2, 4, 8, 16 }
D(24) = {1,2,3,4,6,8,12,24}

então:

MDC(16,24) = max( D(16)D(24)) = 8

Método prático para a determinação do MDC: De forma similar ao cálculo do MMC(a,b), temos também um procedimento prático para determinar o MDC(a,b) entre dois números naturais, pois encontrar conjuntos de divisores para cada número pode ser trabalhoso. Para introduzir este método, determinaremos o MDC entre os números 30 e 72.

Comece construindo uma grade com 3 linhas e algumas colunas, colocando os números dados na linha do meio. Na primeira coluna coloque o maior deles e na segunda coluna o menor.




72 30




Efetue a divisão do maior pelo menor colocando o quociente no espaço sobre o número menor na primeira linha e o resto da divisão no espaço logo abaixo do maior número na terceira linha.



2
72 30
12



Passe o resto da divisão para o espaço localizado à direita do menor número na linha central.



2
72 30 12
12



Realizamos agora a divisão do número 30, pelo resto obtido anteriormente que é 12.


Novamente, o quociente será colocado sobre o número 12 e o resto da divisão ficará localizado abaixo do número 30.



2 2
72 30 12 6
12 6



Realizamos agora a (última!) divisão do número 12, pelo resto obtido anteriormente que é 6.


Novamente, o quociente será colocado sobre o número 6 e o resto da divisão ficará localizado abaixo do número 12.



2 2 2
72 30 12 6
12 6 0



Como o resto da última divisão é 0 (zero), o último quociente encontrado representa o MDC entre 30 e 72, logo denotamos tal fato por:


MDC(30,72)=6


Exercício: Se a diferença entre dois números é 126 e o máximo divisor comum entre eles é 18, quais são esses números?

Solução: Sejam X e Y os tais números procurados. Assim, X e Y devem ser múltiplos de 18, logo podem ser escritos na forma:

X = 18a e Y = 18b


Assim:


18a - 18b = 126


18 (a - b) = 18 × 7


a - b = 7


Tomando a=8 e b=1 teremos X = 144 e Y = 18

Exercício: Se a soma de dois números é 420 e o máximo divisor comum entre eles é 60, quais são esses números?

Solução: Sejam X e Y os tais números procurados. Assim, X e Y devem ser múltiplos de 60, logo podem ser escritos na forma:

X = 60a e Y = 60b


Assim:


60a + 60b = 420


60 (a + b) = 60 × 7


a + b = 7


Tomando a = 6 e b = 1 teremos X = 360 e Y = 60

Exercício: Se a divisão entre dois números é igual a 1,2 e o máximo divisor comum entre eles é 15, quais são esses números?

Solução: Sejam X e Y os tais números procurados. Assim, X e Y devem ser múltiplos de 15, logo podem ser escritos na forma:

X = 15a e Y = 15b


Assim:


15a ÷ 15b = 1,2


a ÷ b = 1,2 = 12 ÷ 10 = 6 ÷ 5


Tomando a = 6 e b = 5, teremos X = 90 e Y = 75


Relação entre o MMC e MDC

Uma relação importante e bastante útil entre o MMC e o MDC é o fato que o MDC(a,b) multiplicado pelo MMC(a,b) é igual ao produto de a por b, isto é:


MDC(a,b).MMC(a,b) = a.b
MDC(12,15).MMC(12,15) = 12.15=180

Exemplo:

MDC(12,15) = 3


MMC(12,15) = 60


3 x 60 = 180 = 12 x 15

Esta relação é útil quando precisamos encontrar o MMC e o MDC de dois números, basta encontrar um deles e usar a relação acima.

Exemplo: Determinar o MMC e o MDC entre 15 e 20.

O primeiro passo é determinar o MDC ou o MMC entre 15 e 20, obtido o MDC(15,20) = 5 e sabendo que 15 x 20 = 300, basta lembrar que MDC(15,20) . MMC(15,20) = 15 x 20 e fazer






Donde obtém-se que o MMC(15,20) é igual a 300 dividido por 5, ou seja MMC(15,20) = 60

Exercício: Se a soma de dois números é 320 e o mínimo múltiplo comum entre eles é 600, quais são esses números? Qual é o máximo divisor comum entre eles?

Solução: Sejam X e Y os números procurados. Assim, X e Y devem satisfazer à relação:

X e Y devem dividir 600, logo devem pertencer ao conjunto


D={1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 20, 24, 25, 30, 75, 100,


120, 150, 200, 300, 600}


Dois números deste conjunto que somados dão 320, são:


300 e 20 ou 200 e 120


Descartamos o par: 300 e 20 pois mmc(300,20)=300


Os números são X=200 e Y=120 cujo mmc(200,120)=600


O mdc(200,120) = 40.


Primos entre si

Dois números naturais são primos entre si quando o MDC entre eles é igual a um.

Exemplo: 16 não é um número primo, 21 também não é um número primo mas 16 e 21 são primos entre si pois MDC(16,21) = 1

Radiciação de números naturais

Radiciação de ordem n é o processo pelo qual dado um número natural a devemos determinar um número natural b tal que:


bn = a

onde n é um número natural. É o processo inverso da potenciação.

Representamos a operação de radiciação por: Rn[a], a(1/n), pot(a,1/n), pow(a,1/n) ou por um símbolo clássico:





que se lê: raiz n-ésima de a. Uma notação simples e muito comum no meio científico é aquela que usa o acento circunflexo: a^(1/n).

Raiz quadrada: A raiz quadrada de um número não negativo (não somente natural) é um outro número não negativo b tal que:


b2 = a

A raiz quadrada de um número não negativo a pode ser denotada por a^(1/2).

Exemplo: Para determinar a raiz quadrada de 36 deve-se obter b de forma que


b2 = b . b = 36

Por tentativa devemos dividir 36 por seus divisores até que o divisor seja igual ao quociente


36 / 2 = 18
36 / 3 = 12
36 / 4 = 9
36 / 6 = 6

Portanto +6 é a raiz quadrada de 36.

Raiz cúbica: A raiz cúbica de um número (não somente natural) a é um número b tal que:


b3 = b . b . b = a

A raiz cúbica de um número a pode ser denotada por a^(1/3).

Exemplo: Para determinar a raiz cúbica de 64, deve-se determinar b de forma a obter


b3 = b . b . b = 64

Por tentativa, temos :


1 x 1 x 1 = 1
2 x 2 x 2 = 8
3 x 3 x 3 = 27
4 x 4 x 4 = 64

Portanto 4 é raiz cúbica de 64.

A ORIGEM DOS NÚMEROS

..................................................................................


Atividade dada como pesquisa científica
aos alunos cursantes da primeira série
Escola Estadual de Ensino Médio 9 de Maio -IMBÉ/RS/BRASIL





A Gralha...



O naturalista John Lubboek, com o conto da gralha que contava os caçadores, fez entrar este simpático animal no rol dos Matemáticos.
Uma incomoda gralha tinha feito o seu ninho no cimo da torre de um velho castelo. O proprietário decidiu desalojar ou matar o animal.
Porém, de cada vez que o homem subia à torre, a gralha afastava-se, para só voltar quando o caçador se tinha ido embora. Então, para confundir as idéias do pássaro e apanhá-lo numa armadilha, dirigiram-se para a torre dois homens. Um escondeu-se e o outro voltou para trás: a gralha continuou afastada da torre e só regressou passadas muitas horas, quando viu sair também o segundo homem. No dia seguinte, tentou-se o mesmo processo, mas desta vez com três homens. Dois voltaram a descer e um ficou escondido. Mas a gralha não se deixou enganar e só voltou ao ninho quando o terceiro homem abandonou o seu posto. Por fim, o dono do castelo conseguiu ganhar a partida, porque decidiu mandar para a torre seis homens, fazendo voltar cinco para trás. Era um número demasiado grande para ser apreendido pelo pássaro.
A gralha soubera contar até quatro, mas não conseguiu ir mais além, e aí deixou as penas.
Os nossos antepassados não se devem ter comportado de modo muito diferente do dos animais, no que respeita à concepção dos números. De fato, a maior parte das antigas linguagens e a maioria dos idiomas tribais dos povos menos evoluídos, ainda hoje existentes na América do Sul, na África e na Austrália, têm termos precisos para indicar os números 1 e 2, ao passo que qualquer número de objetos ou animais superior a dois é discrito com palavras, cuja tradução é porção, uma grande quantidade, um conjunto.
Os estudos de antropologia revelaram que foram necessários muitos séculos antes que os homens concebessem a idéia de número, isto é, antes que compreendessem que dois ovos e duas árvores, um par de olhos e duas pedras são só exemplificações de um conceito geral: o número 2. Os nossos antepassados tiveram de realizar um grande esforço para se separarem do concreto das necessidades da vida e da realidade do mundo circunstante e para chegarem ao conceito das entidades numéricas, completamente independente de qualquer referência concreta





A EVOLUÇÃO DOS NÚMEROS

O conhecimento dos números foi fundamental na evolução da História do Homem. Desde as épocas mais remotas, têm chegado até nós vestígios que provam a sua importância. Hoje, os números estão presentes em qualquer atividade do Homem, desde a mais simples até à mais complexa.
Contar terá sido a primeira “atividade” matemática da Humanidade. À medida que o Homem evoluiu, a Matemática foi sendo necessária: ... ao descobrir o fogo começou a caçar e a desenhar o que sucedia nas paredes das cavernas; aparecem desenhos de animais e traços a indicar contagens (cada traço representa uma coisa. animal, seta, ...).
Extracto de "Mafalda", de Quino.



Quando se tornou sedentário, tornou-se Pastor e foi preciso controlar o número de animais que pastoreava (fazia traços no caiado ou usava pedras - cada traço ou pedra representava um animal), para que no regresso nenhum ficasse perdido. É natural que tenha começado a usar os dedos para contar.
Ainda agora, se perguntarmos a idade de uma criança de um ou dois anos, ela mostra-nos os dedos com o número de anos correspondentes, em vez de usar o numeral. E os dedos dos pés também podem servir para contar.
Se analisarmos por um instante as mil e uma atividades, importantes ou não, que diariamente iniciamos ou concluímos, percebemo-nos de que tudo, ou quase tudo, está associado à ciência dos números, a cálculos matemáticos. Por outro lado, todas as coisas úteis que nos rodeiam, desde a cama em que dormimos até à casa na qual moramos, às roupas que trazemos vestidas; da escova de dentes à pasta dentífrico; do automóvel ou autocarro que nos transportam até à ponte que atravessa a estrada; desde o comboio ao carro elétrico, ao avião, ao míssil; todas as coisas, todos os elementos utilitários da época moderna são fruto dos conhecimentos científicos e das utilizações tecnológicas descobertas pela inteligência do homem. Em última análise, pode dizer-se que todas as nossas ações são condicionadas pelos números, pelas medidas e suas relações recíprocas. A máquina que faz as nossas meias e aquela que, antes delas, produziu o material com que se fabricam, são o resultado de cálculos matemáticos precisos. O mesmo se pode dizer da cadeira ou da mesa, do copo em que bebemos ou da garrafa que contém um líquido, do medicamento que nos ajuda a restabelecer a saúde em caso de qualquer doença.

Em suma: na vida do Homem não existe nada que não esteja de qualquer modo associado, ainda que de forma não evidente, aos números e ao seu conhecimento.
Quando dizemos dois, cinco, dezesseis, ou cem, não nos referimos a nada de concreto: dentro de todos estes números podemos "inserir" aquilo que quisermos, tantas maçãs ou tantas uvas, automóveis ou comboios, homens ou mulheres. Neste caso, o número (abstração matemática) adquire o significado físico que lhe quisermos dar.
É assim que certas operações nem sequer são imagináveis. Por exemplo: quem poderia pensar em multiplicar quatro deputados por seis ovos e dividir o resultado por três copos? No entanto, tais operações pareceram óbvias e absolutamente normais no caso de considerarmos os números só por si, isto é, sem qualquer relação com a realidade.
Por outras palavras: para o homem é perfeitamente natural a distinção entre a “verdade abstrata” contida nos números (e em tudo aquilo que a matemática representa) e a realidade concreta, dos objetos que nos circundam, como a de nós próprios. Mas quando é que o Homem começou a fazer tal distinção? Ou melhor: como surgiu na mente do Homem a ideia de número e como conseguiu descobrir toda a espantosa série, por vezes simples, outras difíceis e complexas, dos processos matemáticos? Procurar as origens da matemática significa ir até aos primórdios da história humana e voltar a percorrer as etapas do desenvolvimento da inteligência desse “mamífero de duas patas” a cuja espécie pertencemos.
Os povos da Antiguidade utilizaram diferentes símbolos para representar os números e cada sistema de numeração tinha as suas regras. Entre eles distinguem-se:

os Chineses
os Egípcios
os Babilónios
os Romanos
os Hindus
os Maias
os Gregos




OS CHINESES
Os Chineses Primitivos usavam numerais que escreviam em folhas com tinta preta. Nos símbolos seguintes a unidade é representada por um traço horizontal e a dezena por um traço vertical.


Atualmente, o sistema decimal dos Chineses é compreendido por treze sinais fundamentais, respectivamente associados às nove unidades e às quatro primeiras potências de dez (10, 100, 1000, 10000). Sinais numéricos cujo traçado mais simples e mais comumente empregado em nossos dias é este:


Os números 2, 3 e 4, por sua vez, são figurados pela repetição proporcional de traços horizontais, mas esta velha representação ideográfica das unidades desaparece a partir de 5. Com efeito, como todos os povos que usaram uma tal notação numérica, os Chineses marcaram igualmente um tempo de parada para 4; raros são os homens capazes de reconhecer ao primeiro olhar e, portanto, sem contar, uma sequência de mais quatro elementos alinhados. Contudo, em vez de prosseguir essa figuração primitiva, os Chineses preferiram introduzir, para as cinco unidades seguintes, cinco sinais particulares aparentemente despojados de qualquer intuição sensível.



OS EGÍPCIOS

Os Egípcios inventaram uma escrita e um sistema de numeração escrita. Essa escrita foi autóctone e desprovida de qualquer influência estrangeira. "Não apenas os sinais hieroglíficos que ela utiliza são todos tirados da fauna e da flora nilótica, O que prova que a escrita foi desenvolvida no local, mas ainda instrumentos e utensílios que figuram nela eram empregados no Egito desde o eneolítico antigo (inicio do IV milênio a.C.), o que é a prova de que a escrita (hieroglífica) é certamente o produto da civilização egípcia apenas e que ela nasceu nas margens do Nilo." (J. Vercoutter)

A origem do algarismo 1 foi "natural": a barra é o sinal gráfico mais elementar que o ser humano possa imaginar para a representação da unidade.

A dezena constituiu o desenho de um cordão que, outrora, deve ter servido para unir os bastonetes num pacote de dez unidades.

Os inventores dos algarismos 100 e 1000 recorreram a "empréstimos fonéticos", isto porque, originalmente, as palavras egípcias para dizer "espiral" e "flor do lótus" correspondiam respectivamente aos mesmos sons que "cem" e "mil".

O hieróglifo de dez milhares constituiu uma sobrevivência da contagem manual que permitia contar até 9999, graças a diversas posições dos dedos.

O algarismo para cem milhares tem a sua origem puramente simbólica, oriunda da "saparia" de girinos no Nilo e na grande fecundidade primaveril desses batráquios.

O hieróglifo que designa o valor do milhão possuía o sentido do "milhão de anos" ou da "eternidade" e representava aos olhos dos egípcios um genio sustentando a abóbada celeste.
A numeração escrita egípcia foi fundada numa base rigorosamente decimal.

Mais tarde, os egípcios inventaram um sistema de numerais, sem usar hieróglifos, que registavam da direita para a esquerda.





Os egípcios reproduziram os seus algarismos e os seus hieróglifos gravando-os ou esculpindo-os mediante o cinzel e o martelo em monumentos de pedra, ou ainda mediante um caniço com planta achatada, molhado numa matéria colorida, traçando-os em pedaços de rocha, cacos de cerâmica ou na fibra frágil de folhas de papiro.










OS BABILÔNIOS



Os Babilônios foram um povo da Antiguidade que viveu no Médio Oriente. Escreviam os símbolos numéricos com caracteres cuneiformes, ou seja, em forma de cunha, gravados em placas de argila que depois eram cozidas.

Os símbolos que usavam eram os seguintes:



Tinham um símbolo diferente para a unidade e para a dezena e o número 60 escrevia-se exatamente como o 1, o que para nós é muito confuso. Por exemplo, 61 escreve-se como 2. Pensa-se que os Babilônios sabiam distinguir o número a que se referiam de acordo com o contexto do problema.


Escritos Babilônicos provam que já esta civilização possuía grandes conhecimentos matemáticos. Neles aparecem uma série de notações contáveis no sistema de numeração sexagesimal.


No relógio do parlamento britânico, o Big Ben, há gravadas 12 divisões de 1 hora e 60 divisões de 1 minuto.
O uso do número 60 como base para contar e dos seus divisores (como a dúzia: 12 = 60/5) era utilizado pelos babilônios há milhares de anos nos seus cálculos quotidianos e também pelos sacerdotes nos seus cálculos astronômicos e de quem dependia a contagem do tempo.



OS ROMANOS



Os romanos usaram o alfabeto para representar números. Ainda hoje a numeração romana é conhecida e até usada.

I II III IV V VI VII VIII IX X L C D M

Apesar destes numerais serem suficientes para escrever qualquer número sem confusões, acontecia haver números com um numeral muito grande (por exemplo, 5878 = MMMMMDCCCLXXVIII). As multiplicações e divisões eram praticamente impossíveis.


Na verdade, os algarismos Romanos não são sinais que sirvam para efetuar operações aritméticas, mas abreviações destinadas a notificar e reter os números. E é por isso que os contadores Romanos (e os calculadores Europeus da Idade Média depois deles) sempre apelaram para Ábacos de Fichas para efectuar cálculos.

Como a maioria dos sistemas da Antiguidade, a numeração Romana foi regida, sobretudo, pelo princípio da adição: os seus algarismos

(I=1, V=5, X=10, L=50, C=100, D=500 e M=1000)

eram independentes uns dos outros. A sua justaposição implicava geralmente na soma dos valores correspondentes:

CLXXXVII = 100 + 50 + 10 + 10 + 10 + 5 + 1 + 1 = 187

MDCXXVI = 1000 + 500 + 100 + 10 + 10 + 5 + 1 = 1626.

Os Romanos, contudo, complicaram o sistema introduzindo nele a regra segundo a qual qualquer sinal numérico colocado à esquerda de um algarismo de valor superior diminui-se dele. E assim os números 4, 9, 40, 400, por exemplo, foram frequentemente escritos sob as formas seguintes:


IV = 5 – 1

IX = 10 – 1

XL = 50 – 10

CD = 500 - 100


Os Romanos foram um povo que, em poucos séculos, atingiu um nível técnico muito alto, e conservou assim, curiosamente, durante toda a sua existência, um sistema inutilmente complicado e não operatório, o que denota um arcaísmo no pensamento.






OS HINDÚS

Foi há cerca de 2000 anos que os Hindus (no Norte da índia) começaram a usar símbolos numéricos que deram origem aos numerais agora usados por nós.



Na primeira linha da imagem, numerais de há 1000 anos. Na segunda, há 800 anos. Na terceira, há 600 anos. Na última, numeração actual.

Nas suas relações comerciais com os árabes, os Hindus terão usado esses sinais numéricos, que os árabes adaptaram e espalharam pelo mundo, chegando à Europa.

Contudo, no início, este sistema ainda não era perfeito. Efetuavam cálculos facilmente, mas não tinham símbolo para designar o zero. Por exemplo, o número 507 era representado por 5 7, ficando um espaço entre o 5 e o 7 que correspondia ao “nada” das dezenas.

Só há cerca de 800 anos é que os Hindus, além dos símbolos dos números, tiveram também o mérito genial de inventar o zero. Vários antropólogos procuraram explicar como pode ter surgido esta ideia do nada, tão importante para a Matemática.

Uma das explicações mais interessantes parece ser a que liga o conceito do zero à ideia de "nada", bem expressa no misticismo religioso Hindu pelo chamado Nirvana.


Mil anos de cultura Matemática Hindu chegaram até nós através de um livro lendário, Lilavati, de Bhaskara. A figura representa fragmentos do manuscrito, Bakshali, um dos mais antigos exemplares de textos Matemáticos Hindus.












OS MAIAS


Perdidas há séculos nas florestas tropicais e matas da América Central, algumas dezenas de cidades mortas ilustram um dos mais misteriosos episódios da História. "Nos seus templos imponentes, erguidos no cume de pirâmides que atingiam por vezes uma altura de cinquenta metros, eram realizadas cerimônias rituais, inclusive as iniciáticas, cujos indícios nos transmitiram alguns enigmáticos baixos-relevos. As estruturas arquitectónicas dessas cidades esquecidas, as estejas e os altares de pedra magnificamente esculpidos, as cerâmicas policromadas, os misteriosos sinais hieroglíficos gravados nos monumentos são as testemunhas do mais alto grau de civilização de seus autores" (P. Ivanoff).

Essas cidades que, no momento de sua glória, constituíram certamente as capitais de Estados independentes governados por algumas autoridades religiosas, foram outrora ocupadas pelos representantes de um fundo cultural comum, que tinha nascido provavelmente na floresta do Peten e regiões vizinhas, e que os historiadores e arqueólogos designam pelo nome de Civilização Maia.

Os Maias tinham como base não a dezena, mas a vintena e as potências de vinte. A razão, como se sabe, é devida ao hábito que os seus ancestrais tinham de contar não apenas com os dez dedos, mas também com os seus pés.

A numeração do povo Maia fundou-se no princípio da adição. Devia associar um círculo ou um ponto à unidade (sinal comum a todos os povos da América Central, originado do grão de cacau, então empregado como "moeda de troca").

A numeração dos Maias dificilmente deveria prestar-se à prática das operações aritméticas e o sistema devia servir apenas para consignar os resultados de cálculos já efectuados. Este povo deveria fazer os seus cálculos através de um instrumento operatório análogo aos ábacos do Velho Mundo.

A numeração Maia escrita não foi concebida para responder às necessidades do cálculo corrente, que dizia a respeito apenas aos comerciantes e ao uso comum dos mortais. Foi elaborada, ao contrário, apenas para satisfazer as necessidades do cômputo do tempo e das observações, em razão da ligação estreita que existia, nessa civilização, entre o fluir do tempo e o mundo divino.

A "ciência Maia" foi cultivada no alto dos santuários. Os sacerdotes, via de regra, tornavam-se astrónomos. Se os Maias tinham conseguido conceber um dos melhores calendários da história e realizar verdadeiras proezas em astronomia, tinham, por outro lado, sido escravos do seu misticismo e da sua religião. E, tal como os outros povos da Meso América pré-colombiana, "sentiram-se imensamente fascinados pelos mistérios do Cosmos: o retorno cíclico e previsível dos fenómenos celestes; o ritmo incessante das estações e a influência destas últimas nas diversas fases da cultura do milho; o próprio ciclo da vida e da morte, do dia e da noite em sua alternância inexorável, mas necessária, etc." (P. Gendrop).
Para os Maias, explica C. Galienkamp, "o tempo jamais foi um meio puramente abstracto de ordenar os acontecimentos numa sucessão metódica: aparecia-lhes logo como um fenómeno sobrenatural portador de forças todas poderosas de criação e de destruição, e cujos aspectos eram directamente influenciados pelos deuses aos quais eram atribuídas, segundo o caso, intenções benéficas ou malévolas. Essas divindades eram associadas a números determinados e tomavam formas que permitiam representá-las em hieróglifos. Cada divisão do calendário Maia - dias, meses, anos ou períodos mais longos - era concebida como "fardos"', que eram transportados sobre as costas desses divinos guardiães do templo. No fim de cada ciclo, o tempo vindouro era assumido pelo deus ao qual o calendário atribuía o número seguinte. Se o fardo de um ciclo estava sob a responsabilidade de uma divindade maléfica, podia-se esperar as mais graves consequências, até que o nume fosse substituído por um carregador benevolente. Tal mês ou tal ano fazia, portanto, esperar ou temer felicidade ou desgraça, segundo o temperamento dos deuses que os transportavam. Era uma crença curiosa, e explica, em parte, o poder extremo do clero sobre um povo imbuído pela ideia de que era impossível sobreviver sem sábios mediadores capazes de interpretar as tendências irascíveis dos deuses.

Somente os sacerdotes astrónomos podiam interpor-se entre o curso normal da vida e as catástrofes provocadas por um desprezo pelos sentimentos dos deuses. Após ter reconhecido os atributos dos deuses e traçado suas corridas incessantes sobre as rotas do tempo e do espaço, somente eles podiam identificar os períodos carregados por deuses favoráveis (... ), ou, como era mais frequente, aqueles em que o número de divindades benevolentes excedia o das divindades contrárias. Essa obsessão resgatava-os da sorte ou da malevolência, posto que tinham esperança e que, uma vez advertidos das perspectivas do futuro, pudessem dar aos acontecimentos um curso propício."






OS GREGOS


A numeração Grega funda-se no principio da adição e atribui um sinal gráfico particular a cada um dos números:

1 5 10 100 500

1000 5000 10000 50000



Este sistema, que na verdade só serviu para notar os números cardinais, foiempregado em metrologia (pesos, medidas, etc.) e na expressão das somas monetárias.
Para efetuar as operações aritméticas, os Gregos, fizeram, uso não dos seus algarismos, mas de ábacos.
É a esse tipo de instrumento de cálculo que aludiu o historiador grego Políbio pondo estas palavras na boca de Sólon: “Os que vivem na corte dos reis são exatamente como as peças de uma mesa de contar. É a vontade do calculador que lhes fez valer um Khalkos ou um talento” (História Natural, V, 26). o talento e o Khalkos eram, respectivamente, a mais forte e a mais fraca das unidades monetárias da Grécia antiga e estas eram simbolizadas pelas colunas extremas do ábaco de peças.


A figura seguinte representa o princípio do ábaco grego de Salamina, no qual, se vê a soma de “17 talentos, 1173 dracmas, 3 óbulos, 1 semi-óbulo, 1 quarto de óbolo e 1 Khalkos”.