segunda-feira, 22 de junho de 2009

GEOMETRIA PLANA conteúdo sendo organizado conforme as aulas dadas

Descrição

A Geometria foi desenvolvida a partir da necessidade de medir terras,construir casas, templos e monumentos, navegar, calcular distâncias.Através dos tempos, os seus registros estão presentes nos legados de todas as civilizações: babilônios, egípcios, gregos, chineses, romanos,hindus, árabes utilizaram as formas geométricas no seu dia-a-dia.

Os conceitos, propriedades e resultados que estudaremos são muito antigos, começaram a adquirir a forma que os conhecemos hoje com as investigações de Tales, que viveu por volta de 600 anos antes de Cristo,ganharam força nas escolas de Pitágoras, Aristóteles e Platão, e foram organizados, pela primeira vez, por Euclides, um matemático da escola de Alexandria que viveu por volta de 300 anos antes de Cristo. Por essa razão, a Geometria que estudaremos, muito freqüentemente denominada de “Geometria Euclidiana“, foi aperfeiçoada pelos sucessores de Euclides e, até o ano500 da era cristã, já tinha sua forma atual.

Nesse jogo fascinante, desafiador e já muito antigo, as peças são os pontos, as retas, os planos e os muitos objetos geométricos que podemos definir a partir deles.A régua e o compasso sempre foram os instrumentos utilizados na construção das figuras que os representam. Como tais estarão presentes em nossas atividades,sendo também possível substitui-los, nos dias de hoje, por recursos computacionais desenvolvidos para esse fim. As regras do jogo geométrico são dadas pelos chamados Postulados da Geometria e, a partir dessas regras, com o uso da lógica dedutiva, são provadas as proposições e os teoremas que vão estabelecendo as propriedades das figuras geométricas que utilizamos freqüentemente.

Os padrões da natureza e suas simetrias e muitos problemas práticos do nosso cotidiano podem ser traduzidos e transformados num diagrama geométrico. Análise e interpretação desse modelo trazem um melhor entendimento, novas informações ou respostas para o problema original, e constituem a rotina de trabalho quando estudamos Geometria.

O estudo dos principais tópicos de Geometria se fará em três etapas, que compreenderão a Geometria Plana, a Geometria Espacial e a Geometria Analítica.A Geometria Plana será desenvolvida com base em dois conceitos fundamentais,que vemos exemplificados na ilustração acima: temos uma figura geométrica que aparece repetidas vezes, em diferentes posições, ampliada ou reduzida. A congruência é ilustrada pelos pares que diferem somente pela posição, e que podem ser superpostos; já a semelhança é exemplificada pelos pares que se relacionam por uma ampliação ou uma redução. Sobre esses dois pilares vamos construir o conhecimento geométrico necessário para o estudo da Geometria Espacial e da Geometria Analítica.

GEOMETRIA PLANA


Introdução
A Geometria está apoiada sobre alguns postulados, axiomas, definições e teoremas, sendo que essas definições e postulados são usados para demonstrar a validade de cada teorema. Alguns desses objetos são aceitos sem demonstração, isto é, você deve aceitar tais conceitos porque os mesmos parecem funcionar na prática!

A Geometria permite que façamos uso dos conceitos elementares para construir outros objetos mais complexos como: pontos especiais, retas especiais, planos dos mais variados tipos, ângulos, médias, centros de gravidade de objetos, etc.


Algumas definições


Polígono: É uma figura plana formada por três ou mais segmentos chamados lados de modo que cada lado tem interseção com somente outros dois lados próximos, sendo que tais interseções são denominadas vértices do polígono e os lados próximos não são paralelos. A região interior ao polígono é muitas vezes tratada como se fosse o próprio polígono

Polígono convexo: É um polígono construído de modo que os prolongamentos dos lados nunca ficarão no interior da figura original. Se dois pontos pertencem a um polígono convexo, então todo o segmento tendo estes dois pontos como extremidades, estará inteiramente contido no polígono. Um polígono é dito não convexo se dados dois pontos do polígono, o segmento que tem estes pontos como extremidades, contiver pontos que estão fora do polígono. (decágono)



Polígono não convexo: Um polígono é dito não convexo se dados dois pontos do polígono, o segmento que tem estes pontos como extremidades, contiver pontos que estão fora do polígono.



Segmentos congruentes: Dois segmentos ou ângulos são congruentes quando têm as mesmas medidas.

Paralelogramo: É um quadrilátero cujos lados opostos são paralelos. Pode-se mostrar que num paralelogramo:

Os lados opostos são congruentes;
Os ângulos opostos são congruentes;
A soma de dois ângulos consecutivos vale 180o;
As diagonais cortam-se ao meio.

Losango: Paralelogramo que tem todos os quatro lados congruentes. As diagonais de um losango formam um ângulo de 90o.

Retângulo: É um paralelogramo com quatro ângulos retos e dois pares de lados paralelos.

Quadrado: É um paralelogramo que é ao mesmo tempo um losango e um retângulo. O quadrado possui quatro lados com a mesma medida e também quatro ângulos retos.

Trapézio: Quadrilátero que só possui dois lados opostos paralelos com comprimentos distintos, denominados base menor e base maior. Pode-se mostrar que o segmento que liga os pontos médios dos lados não paralelos de um trapézio é paralelo às bases e o seu comprimento é a média aritmética das somas das medidas das bases maior e menor do trapézio.

Trapézio isósceles: Trapézio cujos lados não paralelos são congruentes. Neste caso, existem dois ângulos congruentes e dois lados congruentes. Este quadrilátero é obtido pela retirada de um triângulo isósceles menor superior (amarelo) do triângulo isósceles maior.

Pipa ou papagaio: É um quadrilátero que tem dois pares de lados consecutivos congruentes, mas os seus lados opostos não são congruentes. Neste caso, pode-se mostrar que as diagonais são perpendiculares e que os ângulos opostos ligados pela diagonal menor são congruentes.

CONHEÇA A GEOMETRIA PLANA

Para se chegar à compreensão da necessidade de classificação de figuras, da forma como é usual na Geometria Euclidiana, é necessário obter compreendido as suas vantagens matemáticas. Sem esta compreensão, parece um jogo de palavras ter ouvido o professor afirmar que um triângulo isósceles é o que tem os lados iguais, e depois ver o professor permitir que um triângulo com os três lados iguais seja também isósceles. Só após o conhecimento de algumas propriedades das figuras é que os alunos compreenderão as vantagens de optar por uma classificação.
Vamos optar por apresentar os diversos tipos de figuras em separado apenas por uma razão de "arrumação".
Chamamos polígonos a qualquer porção do plano limitada por segmentos de reta que forma uma linha poligonal fechada.


TRIÂNGULOS
Os triângulos são polígonos de três lados. Iremos classificar os triângulos de duas maneiras: quanto aos lados e quanto aos ângulos.

Quanto aos lados:
Equiláteros Todos os lados iguais) Isósceles( dois lados iguais) Escaleno (todos os lados diferentes)

equilátero
isósceles
>






isósceles

















escaleno




Quadriláteros

- Os quadriláteros podem ser trapézios (com dois lados paralelos) e não trapézios (quando não tem lados paralelos).

- Os trapézios podem ser paralelogramos (com lados opostos paralelos) e trapézios propriamente ditos (apenas com dois lados paralelos).

Paralelogramos
Retângulo Losango Quadrado Paralelogramo









Propriedades:
Retângulo: - lados opostos iguais
- quatro ângulos retos
- diagonais iguais que se bissetam
- dois eixos de simetria

Losango: - quatro lados iguais
- ângulos opostos iguais
- diagonais perpendiculares que se bissetam
- dois eixos de simetria

Quadrado: - quatro lados iguais
- quatro ângulos retos
- diagonais perpendiculares
- quatro eixos de simetria

Paralelogramo obliquângulo: - lados opostos iguais

- ângulos opostos iguais
- diagonais que se bissetam
- não tem eixos de simetria

Trapézios propriamente ditos
Isósceles Retangular Escaleno







ÁREA DO RETÂNGULO


Em um retângulo de lados a e b, figura abaixo, onde:


* a = medida do comprimento ou base

* b = medida da largura ou altura

* s = área total

temos que: A área de um retângulo é igual ao produto das medidas de dois lados.
Num retângulo de lados a e b a área é A = a.b


________________________________________
área do retângulo = b.h
_base vezes altura
_______________________________________
AREA DO PARALELOGRAMO
A área de um paralelogramo é igual ao produto da base pela altura.
Num paralelogramo de
base b e altura h a área é A = b.h



ÁREA DO QUADRADO

Considerando que o quadrado é um caso particular do retângulo, onde todos os lados são iguais, figura abaixo:


* l = medida do comprimento ou base

* l = medida da largura ou altura

* s = área total

temos que: A área de um quadrado é igual ao produto das medidas de dois lados.
Num quadrado de

lado L a área é A = L²


________________________________________
área do quadrado = l.l (lado x lado)
________________________________________

ÁREA DE UMA REGIÃO TRIANGULAR
(OU ÁREA DE UM TRIÂNGULO)

Considere as seguintes figuras:


Observe que, em qualquer uma das três figuras, a área do triângulo destacada é igual à metade da área do retângulo ABCD.
Assim, de modo geral, temos:
A área de um retângulo é igual ao produto das medidas de dois lados.
Num retângulo de


________________________________________
área do triângulo = (b.h)/2
base vezes altura dividido por 2
________________________________________
Neste caso, podemos considerar qualquer lado do triângulo como base. A altura a ser considerada é a relativa a esse lado.


ÁREA DE UM LOSANGO

O quadrilátero abaixo é um losango onde vamos considerar:


* O segmento PR representa a Diagonal Maior, cuja medida vamos indicar por D.

* O segmento QS representa a Diagonal Menor, cuja medida vamos indicar por d.
Você nota que a área do losango PQRS é igual à metade da área do losango cujas dimensões são as medidas D e d das diagonais do losango, então: A área de um losango é igual à metade do produto das diagonais.
Num losango de

diagonais D e d a área é A = (D.d) /2


________________________________________
área do losango = (D.d)/2
Diagonal maior multiplacada pela
diagonal menor e dividida por dois
________________________________________

ÁREA DE UM TRAPÉZIO


Considerando o Trapézio abaixo, podemos destacar:




*AB é a base maior, cuja medida vamos representar por B.

* CD é a base menor, cuja medida vamos representar por b.

* A distância entre as bases é a altura do trapézio, cuja medida indicaremos por h.

Se traçarmos a diagonal QN, por exemplo, obteremos dois triângulos, CBD e ADC, que têm a mesma altura de medida h.

Da figura temos:

- área do trapézio ABCD = área do triângulo CBD + área do triângulo ADC

- área do trapézio = (B.h)/2 + (b.h)/2

- área do trapézio = (B.h+b.h)/2

A área de um trapézio é igual ao produto da base média pela altura.
Num trapézio de

base média bm e altura h a área é A = bm.h

onde bm = (b1 + b2) / 2



________________________________________
área do trapézio = (B + b).h/2
Base maior + base menor divido por 2 e
e mutiplicado pela altura
________________________________________



ÁREA DE UM POLÍGONO REGULAR


Considerando o polígono regular da figura abaixo, que é um pentágono.




A partir do centro vamos decompor esse pentágono em triângulos que são isósceles e congruentes, em cada um desse triângulos temos.
* base do triângulo, que corresponde ao lado do polígono e cuja a medida vamos indicar por l.
* altura relativa à base do triângulo, que corresponde ao apótema do polígono e cuja medida vamos indicar por a.
A área de cada triângulo é dada por (l.a)/2.
Como são cinco triângulos, a área do polígono seria dada por:
5.(l.a)/2
Logo, a área de um polígono regular, é dada por n.(l.a)/2, onde n = nº de lados do polígono.

________________________________________
área de um polígono regular = n.(l.a)/2
________________________________________


Sabendo, que 5.l representa o perímetro (2p) do pentágono regular considerado , a expressão 5.l/2 representa a metade do perímetro ou o semiperímetro (p) do pentágono.

Assim temos: área do pentágono = 5.l/2

Generalizando para todos os polígonos regulares, podemos escrever:


________________________________________
área de um polígono regular = p.a
________________________________________

ÁREA DE UM CÍRCULO


Observe a seqüência de polígonos regulares inscritos numa Circunferência.




Repare que a medida que o número de lados aumenta, o polígono regular tende a se confundir com a região limitada pela CIRCUNFERÊNCIA, ou seja, o CÍRCULO.

Assim:

* o perímetro do polígono regular tende a se confundir com o comprimento da CINCUNFERÊNCIA (C=2.pi.r).

* o semiperímetro do polígono tende ao valor 2.pi.r/2 = pi.r.

* o apótema do polígono tende a coincidir com a altura o raio do círculo, então:


________________________________________
área de um círculo = pi.r.r (pi x r ao quadrado)
________________________________________







GLOSSÁRIO


Altura: nome dado a alguns comprimentos.




Em alguns triângulos, paralelogramos ou trapézios, altura é um segmento de reta desenhado a partir de um vértice, perpendicularmente ao lado oposto a ele. Esse lado oposto chama-se base.





Base: no retângulo base é o lado que não é considerado altura.




Num triângulo ou paralelogramo base é o lado perpendicular à altura.

Centro: ponto no interior de uma circunferência ou esfera, eqüidistante de todos os pontos dela.

Círculo: porção de um plano limitada por uma circunferência.

Circunferência: curva plana, fechada, cujos pontos estão todos a mesma distância de um ponto interior, dito Centro.

Diagonal: segmento de reta que liga dois vértices de um polígono, os vértices não podem ser vizinhos.



O segmento AB é uma diagonal do losango.

Equilátero: o prefixo "equi" indica igualdade, um polígono é equilátero se todos os lados forem iguais.

Geométria: palavra de origem Grega formada por Geo (terra) e metria (medida). Há 5000 anos, era a ciência de medir terrenos, seus perímetros e suas áreas. Com o tempo, tornou-se a parte da matemática que estuda figuras como retângulos, cubos, esferas, etc.

Perímetro: medida do contorno de uma figura geométrica plana (ou seja, soma de todos os lados).

Raio: segmento de reta que vai do centro a um ponto qualquer da circunferência.

Vértice: ponto comum a dois lados de um ângulo, a dois lados de um polígono ou a três ou mais arestas de uma figura espacial.

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