quarta-feira, 20 de maio de 2009

Avaliação trimestral/trigonometria 2009

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ESCOLA ESTADUAL DE ENSINO MÉDIO 9 DE MAIO - IMBÉ / RS / BRASIL
AVALIAÇÃO DE MATEMÁTICA 1° TRIM. 2009 Prof. Cláudio Cunha 2ª Série

PROVA ESPECIAL DA TURMA 21 - ANTE PROJETO EM CONSTRUÇÃO (ELA SE AUTO DESTRUIRÁ DAQUI A 30 SEGUNDOS),

1-) Um avião levanta vôo em B e sobe fazendo um ângulo constante de 25° com a horizontal. A que altura estará e qual a distância percorrida quando alcançar a vertical que passa por uma igreja situada a 5 km do ponto de partida? (Dados sen25° = 0,42 e tg 25°=0.46)
⇒Solução:

2-) Um guarda florestal, postado numa torre de 20 m no topo de uma colina com 500 m altura, vê o início de um incêndio numa direção que forma com a horizontal um ângulo de 27°. A que distância aproximada da colina está o fogo?(dados sen 27° =0,45 cos 27º = 0,89 tg 27º =0,50)
⇒Solução:1040 m


3.-) Calcule a tg 10° ⇒ Solução

4.-) A que quadrante pertence o arco que mede 20º ? Solução

5.-) Converta para radianos os seguintes ângulos:
a) 20º ⇒Solução
b) 21º ⇒Solução
6.-) Converta para graus os seguintes ângulos:
a) ⇒ Solução
b) ⇒ Solução

7.-) No ciclo trigonométrico qual o valor do sen de ?
⇒Solução:
8.-) No ciclo trigonométrico qual o valor da tangente ?
⇒Solução:
9.-) No ciclo trigonométrico podemos ter arcos de medidas maior do que 1 (uma) volta (360°). Calcule o sen de na origem A≅B
⇒Solução:
10.-) Responda:
Sen 90° = 1 Sen π rad = ( ) Cos π rad ( )
Sen 3 rad = ( ) cos π rad ( )




ESCOLA ESTADUAL DE ENSINO MÉDIO 9 DE MAIO – IMBÉ
INSTRUMENTO DE RECUPERAÇÃO DA SEGUNDA AVALIAÇÃO DO 1° TRIMESTRE – TURMA 21.



1°. Determine, em radianos a medida do arco AB, de comprimento 15O cm, contido na circunferência de raio 5 cm.
a) 145 rd b ) 5O rd c) 30 rad. d ) 75O rad

2. Determine, em radianos , a medida de um arco de circunferência cujo comprimento mede 90 m e o diâmentro dessa circunferência, 20 cm.


3.Um alpinista deseja calcular a altura de uma encosta que ele vai escalar. Para isso, afasta-se horizontalmente, 200 metros do pé da encosta e visualiza o topo sob um ângulo de 30° com o plano horizontal. Calcule a altura da encosta
(Utilize apenas dois dígitos após a vírgula na calculadora científica)..

4.Um engenheiro deve medir a largura de um rio. Para isso, fixa um ponto A na margem em que está e um ponto B na margem oposta. A seguir, desloca-se 75 metros perpendicularmente à reta AB até o ponto C e mede o Ângulo ACB obtendo 35°. Calcule a largura do rio.

5.Expresse em função do arco com a extremidade no 1° quadrante, os valores do seno de:
a) 100° b) 200° c) 440°

6. Sobre as sentenças:
I - sen 40º < sen 50º
II – cos 190° > cos 200°
III- tg 60° = tg 240°
É correto afirmar que somente
a) I é verdadeira
b) II é verdadeira
c) III é verdadeira
d) I e II são verdadeiras
e) I e III são verdadeiras

7. Identifique o lugar correto dos valores do cos dos arcos de, 30° no II e IV



8. Na circunferência abaixo determine o valor em graus de seno, e tangente no I e III quadrante


domingo, 17 de maio de 2009

TRIÂNGULO - figura geométrica



No plano, triângulo é a figura geométrica que ocupa o espaço interno limitado por três linhas retas que se unem, com três lados e três ângulos que somam 180°. Também se pode definir um triângulo em superfícies gerais. Nesse casos, são chamados de triângulos geodésicos e têm propriedades diferentes.

O triângulo é o único polígono que não possui diagonais e cada um de seus ângulos externos é suplementar do ângulo interno adjacente. O perímetro de um triângulo é a soma das medidas dos seus lados. Denomina-se a região interna de um triângulo de região convexa e a região externa de região côncava.

Há três tipos diferentes de triângulos: os eqüiláteros, aqueles que têm todos os lados do mesmo tamanho, os isósceles, aqueles que têm dois lados iguais e um diferente. Já o escaleno tem cada um dos lados de tamanhos diferentes.

A área de um triângulo obtém-se calculando a metade do produto da medida da sua altura pela medida da sua base. Outra maneira de calcular sua área é através do Teorema de Heron. Se o triângulo for equilátero de lado l, sua área A pode ser obtida calculando:

sábado, 16 de maio de 2009

ALGEBRA I (algoritmo)

Eu tenho o dobro da idade que tu tinhas, quando eu tinha a idade que tu tens. Quando tu tiveres a minha idade, a diferença entre nossas idades será de 5 anos. Calcule nossas idades?
Solução:
Veja a figura abaixo, onde estão representados o passado, o presente e o futuro, bem como, Eu e Tu. O problema diz:
1) Eu tenho (presente) o dobro da idade que Tu tinhas (passado). Então, se Tu tinhas “x” anos Eu tenho “2x” anos.

2) Quando Eu tinha (passado) a idade que Tu tens (presente). Então, se Tu tens “y” anos eu tinha “y” anos.

3) Quando Tu tiveres (futuro) a minha idade (presente), que já sabemos ser “2x”, então Tu terás “2x”.
Mas, como não sei a minha idade no futuro, chamamos de uma letra qualquer “A”.
Preenchendo o restante do quadro, temos:

Observe com atenção que:
Se uma pessoa tiver hoje 30 anos e uma outra, 25 anos; é claro que essa diferença, hoje é de 5 anos.
Relacionando o presente com o passado, por exemplo, há 10 anos, quanto era essa diferença? É claro que era de 5 anos. Há 17 anos, de quanto era essa diferença? Era também de 5 anos.
A diferença será sempre constante. Então, podemos escrever:
2x – y = y - x
2x + x = y + y
3x = 2y
x = ( 2/3 )y
Relacionando, agora, o futuro com o presente. Como a diferença das idades hoje, é de 5 anos, no exemplo dado, daqui a 10 anos ou a 20 anos ou a 40 anos, será sempre, de 5 anos. Então, podemos escrever:
A – 2x = 2x – y
Mas, A – 2x = 5, substituindo na equação anterior, teremos:
5 = 2x – y
Mas, veja que “x” é igual a ( 2/3 )y que, substituindo na equação anterior resulta:
5 = 2. ( 2/3)y – y.
Que resolvida, nos dá: y = 15 anos, que é tua idade no presente.
Se y = 15, então: x = (2/3).15 → x = 10 anos.
Então, no presente, a minha idade é 20 anos.

quinta-feira, 14 de maio de 2009

Teoria dos Conjuntos Instrumento de Avaliação


ESCOLA ESTADUAL DE ENSINO MÉDIO 9 DE MAIO IMBÉ/RS/BRASIL
DISCIPLINA MATEMÁTICA – INSTRUMENTO DE AVALIAÇÃO
PRIMEIRO TRIMESTRE 2009 Prof. Cláudio L. da Cunha

NOME: ____________________________TURMA: ___


1ª questão:
Uma pesquisa de mercado sobre a preferência de 200 consumidores por três produtos P1, P2 e P3 mostrou que, dos entrevistados,
20 consumiam os três produtos;
30 os produtos P1 e P2;
50 os produtos P2 e P3;
60 os produtos P1 e P3;
120 o produto P1;
75 o produto P2
Se todas as 200 pessoas entrevistadas deram preferência a pelo menos um dos produtos, pergunta-se:
a) Quantas consumiam somente o produto P3?
b) Quantas consumiam pelo menos dois dos produtos?
c) Quantas consumiam os produtos P1 e P2, e não P3?

2ª questão
Em uma escola, 100 alunos praticam vôlei, 150 futebol, 20 os dois esportes e 110 alunos nenhum. O número total de alunos é
a) 230 b) 300 c) 340 d) 380:

3ª questão:
Sendo A = { 3, 4, 5, 6, 7} e B = {5, 6, 7, 8, 9 ...}, determine:

A U B e A U B

domingo, 10 de maio de 2009

HISTÓRIA, CONCEITOS E APLICAÇÕES SOBRE PA e PG

PROGRESSÕES ARITMÉTICAS E GEOMÉTRICAS: HISTÓRIA,
CONCEITOS E APLICAÇÕES
FONTE DE PESQUISA
Valéria Scomparim de LIMA (Profª Drª ) – UNIMEP – UNOPEC – FAM
Acácio Reis da Silva – Alexandre Côa
Ariane Carrara – Carla Roberta Furlan
Edi Francisco Grandino – Fernando Spessotto Assarice
Gilson A. Saldibas Alonso – Márcia Cristina Tavares
Nathália Garcia Natal – Patrícia Gomes Pimenta
Paulo Rogério Rizzo – UNIMEP


INTRODUÇÃO:
Muitas pessoas pensam que a Matemática é uma disciplina em que só
se trabalha com um grande número de fórmulas sem sentido e com cálculos
intermináveis. Em nossas escolas o ensino das progressões é “passado” aos
alunos, enquanto deveria ser construído junto com eles, nota-se também que
esses conceitos não são abordados a partir da história e não tem ligação com a
realidade dos mesmos.
Mas, o objetivo desse trabalho é mostrar que as coisas não são bem
assim, afinal nós podemos encontrar a matemática em todo o nosso cotidiano,
como as seqüências com que ocorrem alguns fatos como, por exemplo, as
estações do ano, que se repetem obedecendo a um padrão, os números das
placas dos veículos também são exemplos de seqüências ou progressões.
Esse trabalho tem a intenção de, com o apoio de diversas técnicas,
atividades, problemas e inclusive, da parte histórica, ajudar as pessoas a
compreender as progressões. Estudando inicialmente, os processos geniais
que ao longo da história tantos homens encontraram para enfrentar os
problemas do dia-a-dia, tendo em vista o que ela, a história, pode oferecer
como contribuição ao processo de ensino e aprendizagem da Matemática,
verificando que esses conceitos surgiram das necessidades dos antigos povos
babilônicos e egípcios, se estendendo até os dias de hoje.
Num segundo momento, estão dispostos os conceitos, fórmulas e
suas demonstrações, sendo de grande valia ressaltar que elas partem de
pressupostos reais, e que não são inventadas.
Por fim salientamos as aplicações dos conceitos estudados, no
nosso meio, com a utilização de meios tecnológicos. Sendo assim, vamos
mostrar que a Matemática não é abstrata a ponto de não se conseguir aplicar
em nada, uma vez que ela pode e deve estar ao alcance de todos.
HISTÓRIA DAS PROGRESSÕES ARITMÉTICAS E GEOMÉTRICAS
As progressões foram estudadas desde povos muito antigos
como os babilônicos.

Inicialmente, procurou-se
estabelecer padrões como o da
enchente do Rio Nilo, onde os
egípcios de 5.000 anos atrás
tiveram que observar os
períodos em que ocorria a
enchente do rio, pois para
poderem plantar na época certa
e assim garantir seus alimentos, os egípcios precisavam saber quando haveria
inundação. Havia, portanto, necessidade de se conhecer o padrão desse
acontecimento.
Eles observaram que o rio subia logo depois que a estrela Sírius
se levantava a leste, um pouco antes do Sol. Notando que isso acontecia a
cada 365 dias, os egípcios criaram um calendário solar composto de doze
meses, de 30 dias cada mês e mais cinco dias de festas,dedicados aos deuses Osíris,
Hórus, Seth, Ísis e Nephthys.
Os egípcios dividiram
ainda os doze meses em três
estações de quatro meses cada
uma: período de semear, período
de crescimento e período da colheita.
Rio Nilo
Tableta Babilônica
Na Mesopotâmia surgiram várias tabletas babilônicas muito
interessantes, mas nenhuma delas foi tão extraordinária quanto a tableta
Plimpton 322 (1900 a 1600 a.C.). Numa dessas tabletas, a progressão
geométrica 1+2+2²+...+29 é somada de forma que a série de quadrados
1²+2²+3²+...+10² é achada.
A Matemática no Egito antigo nunca alcançou o nível obtido pela
Matemática babilônica, talvez porque os egípcios tenham se mantido em semi
isolamento, enquanto a babilônia era o centro das rotas de navios, e
consequentemente, era um centro de troca de saberes. No entanto, devemos
lembrar que os egípcios desenvolveram um papel primordial na preservação de
muitos papiros que contribuíram para o nosso conhecimento atual sobre a
Matemática.
Em um papiro que data de 1950 a. C. podemos encontrar alguns
problemas teóricos a respeito de Progressões Aritméticas e Geométricas. Esse
papiro foi encontrado em Kahun e contém o seguinte problema:
“Uma dada

superfície de 100 unidades de
área deve ser representada
como a soma de dois
quadrados cujos lados estão
entre si como 1 : ¾”.
Nesse caso
temos x² + y² = 100 e x = 3y /
4. A eliminação de x fornece
uma equação quadrática em y.
Podemos, porém, resolver o
problema por falsa posição.
Para isso tomemos y = 4.
Então x = 3 e x² + y² = 25 em
vez de 100. Por conseguinte devemos fazer a correção de x e y dobrando os
valores iniciais, o que dá x = 6 e y = 8.
O papiro Rhind (ou Ahmes) data aproximadamente de 1650 a. C.
e nada mais é do que um texto matemático na forma de manual prático que
Papiro Rhind
contém 85 problemas copiados em escrita hierática pelo escriba Ahmes de um
trabalho mais antigo.
Esse papiro foi adquirido no Egito pelo egiptólogo escocês A.
Henry Rhind, sendo mais tarde comprado pelo Museu Britânico. O papiro Rhind
foi publicado em 1927. Tem cerca de dezoito pés de comprimento por cerca de
treze polegadas de altura. Porém, quando o papiro chegou ao Museu Britânico
ele era menor, formado de duas partes, e faltava-lhe a porção central.
Cerca de quatro anos depois de Rhind ter adquirido seu papiro, o
egiptólogo americano Edwin Smith comprou no Egito o que pensou que fosse
um papiro médico. A aquisição de Smith foi doada À Sociedade Histórica de
Nova York em 1932, quando os especialistas descobriram por sob uma
camada fraudulenta a parte que faltava do papiro de Ahmes. A Sociedade,
então, doou o rolo de pergaminho ao Museu Britânico, completando-se assim
todo o trabalho de Ahmes. O papiro Rhind é uma fonte primária rica sobre a
matemática egípcia antiga, deixando evidências de que sabiam fazer a soma
dos termos de uma progressão aritmética.
O seguinte problema envolvendo progressões se encontra no
papiro Rhind:
“Divida 100 pães entre 5 homens de modo que as partes
recebidas estejam em Progressão Aritmética e que um sétimo da soma das
três partes maiores seja igual à soma das duas menores”.
Muitos dos cálculos no Papiro Rhind são evidentemente exercícios para
jovens estudantes. Embora uma grande parte deles seja de natureza prática ,
em algumas ocasiões o escriba parece ter tido em mente enigmas ou
recreações matemáticas. O problema 79, por exemplo, cita apenas “sete casa,
49 gatos, 343 ratos, 2041 espigas de trigo, 16 807 hectares”. É presumível que
o escriba estava tratando de um problema bem conhecido, em que uma das
sete casas havia sete gatos, cada um deles come sete ratos, cada um dos
quais havia comido sete espigas, cada uma delas teria produzido sete medidas
de grão. O problema evidentemente não pedia uma resposta prática, que seria
o numero de medidas de grãos poupadas, mas a não-prática soma dos
números de casas, gatos, ratos, espigas e medidas de grão.
No Papiro de Rhind também aparece uma progressão geométrica muito
interessante formada pelas frações ½, ¼, 1/8, 1/16, 1/32, 1/64 do Hekat,
(unidade comum do volume usada para medir quantidade de grãos). Os termos
dessa seqüência são conhecidos como frações dos olhos do deus Hórus.


Os egípcios estavam aptos a somar progressões geométricas com 6
elementos, usando multiplicação por um fator comum:
Os egipicios multiplicariam todos os elementos por 64 (o ultimo
denominador) e encontrariam:
Então:
Daí:
Os babilônicos também utilizavam seqüências. Foram
encontrados 2 problemas interessantes sobre seqüência numa tábua de
Louvre, datando por volta de 300 a.C. Um deles afirma que:
1+ 2 + 22 + 23 + 24... + 28 + 29 = 29 + 29 −1
64
1
32 elementos por 64 (o ultimo
denominador) e encontrariam:
Então:
Daí:
Os babilônicos também utilizavam seqüências. Foram
encontrados 2 problemas interessantes sobre seqüência numa tábua de
Louvre, datando por volta de 300 a.C. Um deles afirma que:
1+ 2 + 22 + 23 + 24... + 28 + 29 = 29 + 29 −1
64
1
32
1
16
1
8
1
4
1
2
S =
1
16
1
8
1
4
1
2
S = 1 + + + + +
64
64 1
32
64 1
16
64 1
8
64 1
4
64 1
2
64 ⋅ S = 64 ⋅ 1 + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅
64
63
64 32 16 8 4 2 1 63
=
⋅ = + + + + + =
S
.


Presume-se que se deve a Pitágoras (585 a.C. –
500 a.C.) e aos sábios gregos que viveram depois dele, a
criação da Aritmética teóricos, pois os pitagóricos conheciam
as progressões aritméticas, as geométricas, as harmônicas e
musicais, as proporções, os quadrados de uma soma ou de
uma diferença
Ele associou o número à música e à mística,
derivando-se dessa associação pitagórica os termos " média harmônica " e "
progressão harmônica ". Como conseqüência de várias observações,
concluíram que a relação entre a altura dos sons e a largura da corda da lira
seria responsável pela existência da harmonia musical. Observaram, também,
que os intervalos musicais se colocam de modo que admite expressão através
de progressões aritméticas.
Pode-se dizer que suas origens remontam à Antigüidade, quando
Pitágoras e seus discípulos fizeram um estudo das cordas vibrantes.
Embora certamente não tenham sido os pitagóricos os primeiros a
observar que a vibração de uma corda tensionada é capaz de produzir variados
sons, a eles se deve a primeira teoria sobre o relacionamento entre a musica e
a matemática.
A importância desses fatos, para Pitágoras, residia em que novos
tons relacionados com o original por meio de frações, isto é, estabeleciam-se
relações entre os números naturais. Confirma-se, pois, ainda mais a sua teoria
de que tudo no Universo estaria relacionado com os números naturais.
Os Números Figurados se originaram através dos membros mais
antigos da escola pitagórica em aproximadamente 600 a. C.. Esses números,
que expressam o número de pontos em certas configurações geométricas,
representam um elo de ligação entre a geometria e a aritmética. Na figura
abaixo se justifica a nomenclatura “números triangulares”:
Evidentemente o enésimo número triangular Tn é dado pela soma
da Progressão Aritmética, lembrando que a soma dos termos de uma
Progressão Aritmética finita é a metade do produto do número de termos pela
soma dos dois termos extremos, temos:
Pitágoras
Tn = 1 + 2 + 3+ ... + n =
2
n.(n +1)
.
Nesta outra figura se justifica a nomenclatura Números
Pentagonais:
O enésimo número pentagonal Pn é também dado pela soma de
uma Progressão Aritmética:
Pn = 1 + 4 + 7 + ... + (3n – 2) =
2
n.(3n −1)
= n +
2
3n.(n −1)
= n + 3 Tn - 1
O grego Euclides de Alexandria também teve grande êxito na
história da matemática, produzindo a obra Os Elementos. A primeira edição
desse trabalho surgiu em 1482 e depois desta data já surgiram mais de mil.
Nenhum trabalho, exceto a Bíblia, foi tão largamente usado ou estudado e,
provavelmente, nenhum exerceu influência maior no pensamento científico,
afinal, por mais de dois milênios esse trabalho dominou o ensino de geometria.
Os Elementos se compõem de 465 proposições distribuídas em
treze livros, e é no livro VIII que encontramos as proporções contínuas e
Progressões Geométricas relacionadas, de forma que, se temos uma
proporção contínua a : b = b : c = c : d, então a, b, c, d formam uma Progressão
Geométrica.
O problema 21 do livro IV diz: “Encontre três números em
Progressão Geométrica de maneira que a diferença entre dois quaisquer deles
é um quadrado”. Segundo o autor do problema a resposta é 81/7, 144/7 e
256/7.
A proposição 35 do livro IX, o último dos três sobre teoria dos
números, contém uma formula para a soma de números em “progressão
geométrica”, expressa em termos elegantes mas poucos usuais:
“Se tantos números quantos quisermos estão em proporção
continuada, e se subtrai do segundo e último número iguais ao primeiro, então
assim como o excesso do segundo está para o primeiro, o excesso do último
estará para todos os que o precedem”.
Esse enunciado, é claro , é equivalente à fórmula:
an+1 – a1 = a2 – a1
a1 + a2 +...+an = a1
que por sua vez eqüivale a:
Sn= a – arn
1 - r
Página do livro Os Elementos
Na Matemática grega depois de Euclides surgiu o seguinte
problema: “Se a², b², c² estão em Progressão Aritmética, então b + c, c + a, a +
b estão em progressão harmônica”.
Diofanto de Alexandria (século III d. C.) teve uma importância
enorme para o desenvolvimento da álgebra e uma grande influência sobre os
europeus. Ele escreveu três trabalhos, sendo o mais importante a Aritmética,
que era composta por treze livros.
A Aritmética é uma abordagem analítica da teoria algébrica dos
números que eleva o autor à condição de gênio em seu campo. Dos problemas
que encontram-se em Aritmética, pode-se dizer que todos eles são atraentes e
alguns instigantes, e deve-se ter em mente que para Diofanto, número significa
número racional positivo.
O problema 7 do livro III é o seguinte: “Encontre três números em
Progressão Aritmética, sabendo-se que a soma de dois quaisquer deles é um
quadrado. Segundo Diofanto, a resposta é 120 ½, 840 ½, 1560 ½).Em 1202,
Leonardo de Pisa (Fibonacci = filius Bonacci) matemático e comerciante da
idade média, escreveu um livro denominado Liber Abacci, que chegou a nós,
graças à sua segunda edição datada de 1228. Este livro contém uma grande
quantidade de assuntos relacionados com a Aritmética e Álgebra da época e
realizou um papel importante no desenvolvimento matemático na Europa nos
séculos seguintes pois por este livro que os europeus vieram a conhecer os
algarismos hindus, também denominados arábicos.
A teoria contida no livro Liber Abacci é ilustrada com muitos
problemas que representam uma grande parte do livro. Um dos problemas que
pode ser encontrado nas páginas 123-124 deste livro é o problema dos pares
de coelhos (paria coniculorum).
Problema dos pares de coelhos: Quantos pares de coelhos
podem ser gerados de um par de coelhos em um ano? Um homem tem um par
de coelhos em um ambiente inteiramente fechado. Desejamos saber quantos
pares de coelhos podem ser gerados deste par em um ano, se de um modo
natural a cada mês ocorre a produção de um par e um par começa a produzir
coelhos quando completa dois meses de vida.
Tal processo continua através dos diversos meses até completar
um ano. Observa-se esta formação no gráfico
com círculos, mas também pode-se perceber que
a sequência numérica, conhecida como a sequência de Fibonacci, indica o
número de pares ao final de cada mês:
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ...
Os hindus também foram hábeis aritméticos e deram
contribuições significativas à álgebra, somando Progressões Aritméticas e
Geométricas rapidamente. Os problemas de aritmética hindus comumente
Leonardo de Pisa
envolviam irracionais quadráticos, o teorema de Pitágoras, Progressões
Aritméticas e permutações.
O Matemático hindu mais importante do século doze foi Bhaskara
(1114 a cerca de 1185). Ele foi também o último matemático medieval
importante da Índia, e sua obra representa a culminação de contribuições
hindus anteriores.
O seu tratado mais conhecido, o “lilavati”, recebeu o nome de sua
filha, afim de consolar a infeliz moça que perdeu a oportunidade de se casar
por causa da confiança de seu pai em sua predições astrológicas. Tanto o
“lilavati” quanto o “vija-ganita”, contém numerosos problemas sobre os tópicos
favoritos dos hindus: equações liniares e quadradáticas, tanto determinadas
quanto indeterninadas, simples mensuração, “progressões aritméticas e
geométricas”, radicais, tríadas pitagóricas e outros. Um deles cita o seguinte
problema:
“Numa expedição para calcular os elefantes de seu inimigo, um
rei marchou 2 yojanas no primeiro dia. Diga, calcular inteligentemente, a razão
com que sua marcha diária aumentou, se ele alcançou a cidade do inimigo, a
uma distância de 80 yojanas, em uma semana?
A Matemática na Europa conta a história de Michael Stifel (1486-
1567) que é considerado o maior algebrista alemão do século XVI. Sua obra
matemática mais conhecida é “Arithmética” integra, publicada em 1944 e
dividida em três partes, números racionais, números irracionais e álgebra. Na
primeira parte, ou seja, na parte dos números racionais, Stifel salienta as
vantagens de se associar uma “progressão aritmética” a uma “geométrica”.
Por volta de 1590, Napier revelou possuir completo conhecimento
da correspondência entre progressões aritméticas e geométricas, que o levou
aos logaritmos gerando em conseqüência de sua descoberta, e passando
diligentemente, a construção das tabelas de logaritmos que foram publicadas
vinte e quatro anos após.
Como sabemos hoje, o poder dos logaritmos como instrumentos
de cálculo repousa no fato de que eles reduzem multiplicações e divisões a
simples operações de adição e subtração. No entanto, na alvorada da
matemática moderna, a abordagem de John Napier (1550-1617) para eliminar
o fantasma das longas multiplicações e divisões difere consideravelmente das
longas prostaférese (palavra grega que significa “adição e subtração”), e se
baseia no fato de que, associando-se aos termos de uma progressão
geométrica:
b, b², b³,b4,..., bm, ..., bn, ...
aos da progressão aritmética:
1, 2, 3, 4, ..., m, ..., n, ...,
então o produto bm bn =bm+n de dois termos de primeira
progressão está associado à soma m+n dos termos correspondentes da
segunda progressão. Para manter os termos da “progressão geométrica”
suficientemente próximo do modo que se possa usar interpolação para
preencher as lacunas entre os termos da correspondência precedente, deve-se
escolher o número b bem próximo de 1.
Abraham De Moivre (1667-1754) era um huguenote francês que
buscou abrigo no clima politicamente mais ameno de Londres, depois da
revogação do edito de Nantes em 1685. De Moivre ganhava a vida na
Inglaterra como professor particular e tornou-se amigo íntimo de Issac Newton.
Há uma lenda interessante envolvendo a morte De Moivre.
Segundo ela, De Moivre teria revelado, certa ocasião, que daí para frente teria
que dormir, em cada dia, quinze

minutos a mais do que no dia
precedente. E quando essa “progressão
aritmética” atingiu 24horas ele de fato
teria morrido.
Johann Friederich Carl
Gauss nasceu em Brunswick,
Alemanha, em 30 de Abril de 1777. De
família humilde mas com o incentivo de
sua mãe, obteve brilhantismo na sua
carreira.
Gauss deu sinais de ser um gênio antes dos três anos de
idade. Nesta idade aprendeu a ler e a fazer
cálculos aritméticos mentalmente.
Aos dez anos de idade, durante
uma aula de matemática seu professor pediu para que todos os alunos
Carl Friedrich Gauss(1777 – 1855)obtivessem a soma dos números de 1 a 100. Em poucos minutos Gauss apresentou o resultado correto. Até então, ninguém era capaz desse feito. Ele se baseou no fato de que a soma dos números opostos é sempre constante
como mostra a figura:

Então ele multiplicou a constante (101) pelo número de termos e
dividiu pela metade, chegando a fórmula da soma da progressão aritmética:

Na doutrina de Darwin também podemos encontrar as
Progressões Aritméticas e Geométricas. O Darwinismo – teoria estudada em
Biologia, criada por Charles Robert Daewin.
Num dos quatro itens
fundamentais da doutrina de Darwin,
podemos encontramos uma referência
às Progressões Geométricas e
Aritméticas, uma influência das idéias de
Thomas Malthus, famoso economista.
Diz o item:
“As populações crescem
em P.G. ao mesmo tempo em que as
reservas alimentares para elas crescem
apenas em P. A.”
Em conseqüência deste
item, Darwin afirmou que “devido a tal
desproporção, os indivíduos empenhar-
2
S (a1 a ) n + n ⋅
=
se-iam numa luta pela vida, ao final da qual seriam selecionados os mais fortes
ou os mais aptos – a seleção natural – de alguns indivíduos em detrimento de
muitos outros”.
A comparação de Malthus entre o crescimento populacional e as
reservas alimentares não é mais aceita atualmente, pois, apesar da maior taxa
de crescimento populacional, não há uma desproporção tão grande como
mostra o diagrama.
CONCEITO DE SEQÜÊNCIAS E PROGRESSÕES
SEQÜÊNCIAS
Na lista de chamada de uma classe, o nome de cada aluno está
associado a um número natural não-nulo. Por exemplo:
1. Alberto Vieira de Moraes
2. Alessandra Rodrigues Fontana
3. Alex Stanley
.
.
.
30. Valdir de Souza Ramos
Quando associamos os números naturais 1, 2, 3, ... , 30 aos
elementos do conjunto B, dos alunos, de modo que cada um dos números – 1,
2, 3, ..., 30 – esteja associado a um único elemento de B, estamos
estabelecendo uma seqüência, em que:
• o número 1 é associado ao primeiro elemento da seqüência;
• o número 2 é associado ao segundo elemento da seqüência;
• o número 3 é associado ao terceiro elemento da seqüência;
.
.
.
• o número 30 é associado ao trigésimo elemento da seqüência.
Para representar uma seqüência, escrevemos entre parênteses
os seus elementos separados um a um por vírgulas, de modo que da esquerda
para a direita tenhamos: (primeiro elemento, segundo elemento, terceiro
elemento, ...).
Dessa maneira, a seqüência da lista de chamada fica
representada assim:
(Alberto Vieira de Moraes,
Primeiro elemento
Alessandra Rodrigues Fontana,
Segundo elemento
Alex Stanley, ...,
Terceiro elemento
Valdir de Souza Ramos)
Trigésimo elemento
Seqüência é todo conjunto cujos elementos obedecem a uma
determinada ordem.
Existem também seqüências infinitas como, por exemplo, a
seqüência dos números naturais pares em ordem crescente: (0, 2, 4, 6, 8,...).
Vale lembrar que:
�� Cada elemento de uma seqüência também pode ser denominado
de termo da seqüência.
�� Em uma seqüência, o termo que ocupa a posição de número n é
indicado pelo símbolo na. Isto é:
a1 indica o primeiro termo da seqüência;
a2 indica o segundo termo da seqüência;
a3 indica o terceiro termo da seqüência;
.
.
.
an indica o enésimo termo da seqüência.
�� Uma seqüência (a1, a2, a3, ... , an, ...), pode ser representada
abreviadamente por (an).
EXEMPLO:
Na seqüência ( 3, 7, 11, 15, ...) temos:
a1 = 3, a2 = 7, a3 = 11, a4 = 15, ...
�� Numa seqüência finita (a1, a2, a3, ... , an, ...), os termos a1 e an são
chamados de extremos da seqüência. Dois termos ai aj são
eqüidistantes dos extremos se, e somente se, o número de termos que
antecedem a1 é igual ao número de termos que sucedem aj.
EXEMPLO:
Na seqüência (a1, a2, a3, a4, ..., a58, a59, a60, a61), os extremos são
a1 e a61. Os termos a4 e a58 são eqüidistantes dos extremos.
�� Um termo am, é chamado de termo médio de uma seqüência com
número ímpar de termos se, e somente se, a quantidade de termos que
antecedem am é igual à quantidade de termos que o sucedem. No
exemplo do item anterior, o termo médio é a31.
LEI DE FORMAÇÃO DE UMA SEQÜÊNCIA:
Um conjunto de informações capazes de determinar todos os
termos de uma seqüência e a ordem em que se apresentam é chamado de lei
de formação da seqüência.
EXEMPLO:
a) Considere a seguinte seqüência:
a n tal que a1 = 5
a n + 1 = 2 + a n
As informações a1 = 5 e a n + 1 = 2 + a n, determinam todos os
termos da seqüência e a ordem em que se apresentam. Vejamos:
O primeiro termo da seqüência é 5; isto é, a1 = 5;
Na igualdade a n + 1 = 2 + a n , atribuindo-se a n os valores 1, 2, 3,
..., obtemos os demais termos da seqüência, isto é:
n= 1 �� a2 = 2 + a1 ∴a2 = 2 + 5 ∴a2 = 7
n= 2 �� a3 = 2 + a2 ∴a3 = 2 + 7 ∴ a3 = 9
n= 3 �� a4 = 2 + a3 ∴a4 = 2 + 9 ∴ a4 = 11
.
.
Logo, a seqüência é (5, 7, 9, 11, ...).
PROGRESSÃO ARITMÉTICA (PA)
1. Definição:
A progressão aritmética é um tipo de seqüência bastante presente
no nosso cotidiano, como mostra a situação descrita a seguir.
Quando a quantidade de água de um reservatório atinge o mínimo
de 5m3, é aberto um registro, automaticamente, despejando-se 4m3 de água
por hora neste reservatório, até completar sua capacidade, que é de 45m3. A
seqüência a seguir apresenta a quantidade, em m3, contida no reservatório, de
hora em hora, a partir do instante que foi atingida a quantidade mínima:
(5,9,13,17,21,25,29,33,37,41,45)
Essa seqüência numérica é chamada de progressão aritmética
(PA), porque adicionando-se uma mesma constante a cada termo, obtém-se o
termo seguinte. (Neste caso a constante adicionada é o 4).
Progressão aritmética é toda seqüência numérica em cada termo,
a partir do segundo, é igual à soma do termo precedente (anterior) com uma
constante r. O número r é chamado de razão da progressão aritmética.
EXEMPLOS:
a) A seqüência (5,9,13,17,21,25,29,33,37,41,45) é uma PA finita de razão
4.
b) (10,8,6,4,2,0,-2,-4,...) é uma PA infinita de r=-2.
c) (5,5,5,5,...) é uma PA infinita de razão r=0.
2. Classificação das progressões aritméticas:
2.1 Crescente
Uma PA é crescente quando cada termo, a partir do segundo, é
maior que o termo que o antecede. Para que isso aconteça, é necessário e
suficiente que a razão seja positiva.
EXEMPLO:
(7,11,15,19,...) é uma PA crescente . Note que a razão é positiva, r= 4.
2.2 Decrescente
Uma PA é decrescente, quando em cada termo, a partir do
segundo, é menor que o termo que o antecedente. Para que isso aconteça, é
necessário e suficiente que a razão seja negativa.
EXEMPLO:
(50,40,30,20,...) é uma PA decrescente. Note que sua razão é negativa,
r= -10.
2.3 Constante
Uma PA é constante quando todos os seus termos são iguais.
Para que isso aconteça, é necessário e suficiente que a razão seja igual a zero.
EXEMPLO:
A PA (4/3, 4/3, 4/3,...) é constante. Note que sua razão é igual a zero, r=
0.
3. Termo geral de uma Progressão aritmética
Voltando à situação descrita na introdução, vimos que a PA:
(5,9,13,17,21,25,29,33,37,41,45)
Apresenta a quantidade de água, em m3, contida no reservatório,
de hora em hora, a partir do instante em que foi atingida a quantidade mínima.
Observe que podemos calcular a quantidade de água contida no
reservatório, no final de cada hora, adicionando à quantidade mínima (5m3) o
produto do número de horas pela vazão do registro (4m3/h). Por exemplo, para
calcular a quantidade de metros cúbicos de água contida no reservatório, 6
horas após a abertura do registro, basta efetuar:
5+6.4
Note que o resultado é o 7º termo da PA e, que
a1= 5 e r = 4, isto é
a7= a1+ 6r
Raciocinando de modo análogo, temos:
a8= a1+ 7r; a9= a1+ 8r, etc.
Essa idéia pode ser generalizada para qualquer PA, como
veremos a seguir.
Consideremos a PA de razão r:
(a1, a2, a3, a4, a5,...,an,....)
Qualquer termo dessa P.A. pode ser representada em função de
a1 r , observe:
(a1 + 0r; a1+ 1r, a1+ 2r, a1+ 3r,...),
Isto quer dizer, que qualquer termo na é igual à soma de a1 com o
produto (n-1)r, ou seja, a fórmula do termo geral da PA pode ser expressa:
an= a1+ (n-1)r
4. Termos eqüidistantes dos extremos de uma PA
Numa PA finita, a soma de dois termos eqüidistantes dos
extremos é igual à soma dos extremos.
5. Soma dos n primeiros termos de uma PA
Em uma pequena escola do principado de Braunschweig,
Alemanha, em 1785, o professor Buttner propôs a seus alunos que somassem
os números naturais de 1 a 100. Apenas três minutos depois, um gurizote de
oito anos aproximou-se da mesa do professor e, mostrando-lhe sua prancheta,
proclamou: “Aí está”. O professor, assombrado, constatou que o resultado
estava correto.
Aquele menino viria a ser um dos maiores matemáticos de todos
os tempos: Karl Friedrich Gauss (1777-1855). O cálculo efetuado foi simples e
elegante: ele percebeu que a soma do primeiro número, 1, com o último, 100, é
igual a 101; a soma do segundo número, 2, com o penúltimo, 99, é igual a 101;
também a soma do terceiro número, 3, com o antepenúltimo, 98, é igual a 101;
concluindo assim que a soma de dois termos eqüidistantes dos extremos é
igual à soma dos extremos.
TEOREMA:
A soma Sn dos n primeiros termos da PA (a1, a2, a3,...an..) é dada
por:
PROGRESSÃO GEOMÉTRICA (PG)
1. Definição:
Progressão geométrica é toda seqüência numérica em que cada
termo, a partir do segundo, é igual ao produto do termo precedente (anterior)
por uma constante q. O número q é chamado de razão da progressão
geométrica.
Várias situações do nosso cotidiano ou do universo científico
relacionam grandezas que crescem ou decrescem pelo produto por uma
constante. O estudo dessas grandezas exige o conhecimento de um tipo
especial de seqüência chamada de progressão geométrica. A seguir é
apresentada uma dessas situações.
Um capital de R$ 10.000,00 é aplicado durante cinco anos à taxa
de juro composto de 20% ao ano. A seguir apresenta os montantes, em reais,
ano a ano, a partir do início da aplicação:
(10.000, 12.000,14.400,17.280,20.736)
Essa seqüência é numérica é chamada de progressão geométrica
(PG), porque, multiplicando-se cada termo por uma mesma constante, obtémse
o termo seguinte. (Nesse caso, multiplicou-se cada termo constante 1,2.)
2
Sn (a1 an).n
+
=
EXEMPLOS:
a) (3,6,12,24,48,96) é uma PG finita de razão q= 2.
b) (1, ½, ¼, 1/8, 1/16,...) é uma PG infinita de razão q= ½.
c) (2, -6, 18, -54, 162,...) é uma PG infinita de razão q= -3.
d) (5, 0, 0, 0,...) é uma PG infinita de razão q= 0.
e) (0, 0, 0,...) é uma PG infinita de razão indeterminada.
2. Classificação das progressões geométricas.
2.1 Crescente
Uma PG é crescente quando cada termo, a partir do segundo, é
maior que o termo que antecede. Para que isso aconteça, é necessário e
suficiente que a1>0 e q>1, ou a1<0 e 0< q <1.
EXEMPLOS:
a) (4, 8, 16, 32,...) é uma PG crescente de razão q=2.
b) (-4, -2, -1, -1/2,...) é uma PG crescente de razão q=1/2.
2.2 Decrescente
Uma PG é decrescente quando cada termo, a partir do segundo,
é menor que o termo que o antecede. Para que isso aconteça, é necessário e
suficiente que a1>0 e 0 < q <1, ou a1<0 e q>1.
EXEMPLOS:
a) (8, 4, 2, 1, ½, ..., ) é uma PG decrescente de razão q= ½.
b) (-1, -2, -4, -8, ...) é uma PG decrescente de razão q= 2.
2.3 Constante
Uma PG é constante quando os seus termos são iguais. Para que
isso aconteça, é necessário e suficiente que sua razão seja 1 ou que todos os
seus termos sejam nulos.
EXEMPLOS:
a) (8, 8, 8, ...) é uma PG constante de razão q= 1.
b) (0, 0, 0, 0,....) é uma PG constante de razão indeterminada.
2.4 Oscilante
Uma PG é oscilante quando todos os seus termos são diferentes
de zero e dois termos consecutivos quaisquer têm sinais opostos. Para que
isso aconteça, é necessário e suficiente que a1≠0 e q< 0.
EXEMPLOS:
a) (3, -6, 12, -24, 48, -96,...) PG oscilante de razão q= -2.
b) (-1, ½, -1/4, 1/8, -1/16,...) é uma PG oscilante de razão q= -
1/2.
2.5 Quase nula
Uma PG é quase nula quando o primeiro termo é diferente de
zero e todos os demais são iguais a zero. Para que isso aconteça, é necessário
e suficiente que a1≠ 0 e q= 0.
EXEMPLO:
(8, 0, 0, 0,....) é uma PG quase nula.
2.6 Propriedade
Uma seqüência de três termos, em que o primeiro é diferente de
zero, é a PG se, somente se, o quadrado do termo médio é igual ao produto
dos outros dois, isto é, sendo a≠ 0, temos:
(a, b, c) é PG -�� b2= a.c.
3. Soma dos n primeiros termos de uma PG
A taxa de crescimento anual na produção de soja de um estado
brasileiro é de 5%. Para estimar o total de soja produzida nesse estado e trinta
anos, de 2001 a 2030, o secretário da agricultura supôs que essa taxa
permaneça constante a partir da produção de 2001, que foi 4 milhões de
toneladas. Essa estimativa é a soma dos termos da seguinte PG de trinta
termos e razão 1,05:
(4, 4,2; 4,41;...4. (1,05)27; 4. (1,05)28; 4. (1,05)29) em que cada
termo representa a quantidade de soja produzida anualmente, em milhões de
toneladas.
Mesmo dispondo de uma calculadora, o secretário não somou os
termos um a um, pois o trabalho seria longo e tedioso. Ele usou a fórmula a
seguir, que calcula a soma dos n primeiros termos de uma PG não- constante,
com os primeiro termo a1 e a razão q:
Generalizando, veremos a seguir, que existe o limite da soma dos
infinitos termos de qualquer PG cuja razão q obedeça à condição: -1< q< 1.
O limite Sn da soma dos infinitos termos de uma PG (a1, a2, a3,...),
de razão q, -1< q< 1, é dado por:
q
Sn a q
n


=
1
.(1 ) 1
Notas
- Existe o limite da soma dos infinitos termos de uma PG de razão
q, se, e somente se, -1< q< 1.
- O limite da soma dos infinitos termos de uma PG é chamado,
simplesmente, de soma dos infinitos termos da PG.
APLICAÇÕES PRÁTICAS DAS PROGRESSÕES
As progressões aritméticas e geométricas estudadas nos
capítulos I e II são modelos matemáticos cujas aplicações nos ajudaram a
entender muitos fenômenos em diversos ramos da atividade humana. Em
resumo, as progressões também são conceitos, cujo ensino pode ser
diferenciado.
Os exemplos a seguir nos revelam, onde podemos encontrar as
progressões aritméticas e geométricas:
EXEMPLO I:
Fazendo um teste com um automóvel nacional, verificamos que o
mesmo acelera de 0 a 60 Km/h em 6 segundos. Admitindo que a aceleração do
automóvel seja constante, concluímos que, após a partida, a sua velocidade
aumenta de 10 km/h a cada segundo. A tabela mostra a velocidade associada
ao tempo.
Tempo (s) Velocidade (Km/h)
0 0
1 10
2 20
q
S a

= ∞ 1
1
3 30
4 40
5 50
6 60
Os números que representam as velocidades do automóvel
formam a seguinte seqüência ou sucessão (0,10,20,30,40,50,60). Sucessões
como essa, cuja diferença entre qualquer termo e o seu antecessor é
constante, são chamadas de progressões aritméticas, e além do mais
caracterizada como crescente.
Aproveitando o mesmo exemplo, podemos perceber que após ter
atingido os 60 Km/h, o automóvel terá de frenar, assim reduzindo sua
velocidade até 0 Km/h em 6 segundos. Admitindo que a desaceleração do
mesmo seja constante, a velocidade caíra 10 Km/h em cada segundo. Dessa
forma teremos a seguinte tabela:
Tempo (s) Velocidade (Km/h)
0 60
1 50
2 40
3 30
4 20
5 10
6 0
Dessa forma, os números que representam as velocidades do
automóvel (60,50,40,30,20,10,0) formam, nesta ordem, uma progressão
aritmética decrescente.
EXEMPLO II:
Um atleta em fase de treinamento, prepara-se pra voltar á prática
esportiva de ciclismo depois de um tempo que ficou afastado. No entanto ele
mesmo sabe que não pode pedalar a mesma quantia de quilômetros como
antigamente, ou seja, ele tem que realizar um treinamento mantendo um
crescimento constante. Vejamos na tabela abaixo como ele planejou o
treinamento:
PERÍODO DISTÂNCIA
1º dia 5 Km
2º dia 10 Km
3º dia 13 Km
4º dia 16 Km
5º dia 19 Km
... ...
Segundo seu planejamento ele deseja um aumento constante a
partir do segundo dia. Sabendo que o mesmo atleta pretende fazer o
treinamento num período de 12 dias, vejamos como ele pode obter a
quilometragem final de seu treinamento:
POSSÍVEL RESOLUÇÃO:
As distâncias percorridas diariamente pelo atleta formam a
seqüência (5,10,13,16,19,...) e, a partir do 2º termo, a seqüência é uma
progressão aritmética. A soma das distâncias percorridas, St, é dada por
St=5+S11; S11 é a soma dos termos da progressão aritmética, em que a1=10,
r=3 e n=11.
Temos:
S11 = (a1+a11) 11
2
�� S11 = (10+a11) 11
2
Como a11 = a1 + 10 r �� a11 = 10 + 10 . 3 �� a11 = 40; então:
S11 = (10 + 40) 11
2
�� S11 = 275
Portanto, St = 5+275 �� St = 280
Ou seja, o atleta irá percorrer 280 Km nos 12 dias de treinamento.
EXEMPLO III:
A companhia que administra uma rodovia quer colocar radares
eletrônicos de controle de velocidade ao longo de 500 quilômetros. Dessa
forma, segue a tabela com os seguintes dados:
Radar Quilômetro
primeiro 10
segundo 50
terceiro 90
E assim sucessivamente formando uma progressão aritmética.
Sendo assim, a companhia quer saber: Quantos radares eletrônicos serão
colocados no trecho planejado?
POSSÍVEL RESOLUÇÃO:
Se dermos uma olhada na tabela acima podemos nos deparar
que de um radar para o outro os quilômetros aumentam de 40 em 40, então
poderíamos fazer a seguinte conta:
2º radar �� 10+40 = 50
3º radar �� 50+40 = 90
4º radar �� 90+40 = 130
5º radar �� 130+40 = 170
6º radar �� 170+40 = 210
7º radar �� 210+40 = 250
8º radar �� 250+40 = 290
9º radar �� 290+40 = 330
10º radar �� 330+40 = 370
11º radar �� 370+40 = 410
12º radar �� 410+40 = 450
13º radar �� 450+40 = 490 sendo assim, chegaríamos a conclusão de que no
quilômetro 490 seria colocado o décimo terceiro radar, então chegaríamos na
resposta de 13 radares no trecho planejado da rodovia.
Mas, há uma forma muito mais simples e objetiva de se chegar na
resposta que vamos apresentar pra vocês que seria o método pela fórmula:
RESOLUÇÃO PELA FÓRMULA:
a1 = 10
r = 40
n = número de radares e n ∈I Ν
Supondo que an = 500, temos:
an = a1 + (n – 1).r
500 = 10 + (n – 1).40
500 = 10 + 40n – 40
530 = 40n
n =
40
530
n = 13,25
Como n ∈ I Ν , n = 13
Logo, a companhia deverá colocar 13 radares.
Se quisermos saber em qual quilômetro será colocado o décimo
terceiro radar, voltamos a fórmula e substituímos o n por 13:
an = a1 + (n – 1).r
an = 10 + (13 – 1).40
an = 10 + 480
an = 490, será colocado no quilômetro 490.
EXEMPLO IV:
Num treino de basquete pode se observar que um garoto fez 1
cesta no 1º dia, 2 cestas no 2º dia, 4 cestas no 3º dia, e assim sucessivamente.
Quantas cestas este garoto fará no 10º dia?
POSSÍVEL RESOLUÇÃO:
PG (1, 2, 4, ..., an) �� Progressão Finita
temos: a1 = 1
q = 2
n = 10
Para determinar a10, fazemos:
Fórmula do termo geral: an=a1.qn-1
então: a10 = a1.q9
a10 = 1.29
a10 = 512
Assim, podemos concluir que este garoto fará 512 cestas no 10º
dia de treino.
EXEMPLO V:
Num jogo de basquete, pudemos observar que com 10 minutos
de jogo o time A tinha 4 pontos marcados no placar, com 20 min de jogo o
mesmo time tinha 8 pontos, com 30 min tinha 16 pontos e assim
sucessivamente. Ao término do jogo, que tem duração de 60 min, qual será a
pontuação do time A?
POSSÍVEL RESOLUÇÃO:
PG (4, 8, 16, ..., an)�� Progressão Finita
Temos: a1 = 4
q = 2
n = 6
Para determinar a6, fazemos:
Fórmula do termo geral: an=a1.qn-1
Então: a6 = a1.a5
a6 = 4.25
a6 = 4.32
a6 = 128
Assim, podemos concluir que o time A terá 128 pontos ao término
do jogo.
EXEMPLO VI:
Em uma experiência de laboratório, um frasco recebe, no primeiro
dia do mês, 3 gotas de um determinado líquido; no segundo dia recebe 9 gotas;
no terceiro dia recebe 27 gotas; e assim por diante. No dia em que recebeu
2187 gotas ficou completamente cheio. Em que dia do mês isso aconteceu?
POSSÍVEL RESOLUÇÃO:
PG (3, 9, 27, ..., 2187) �� Progressão Finita
Temos: a1=3
q=3
an=2187
Agora, temos que calcular n, que é correspondente ao número do
dia do mês que acontece o fato:
Fórmula do termo geral: an=a1.qn-1
Então: 2187=3.3n-1
3n-1=2187
3
3n-1=729
3n-1=36
n-1=6
n= 6+1
n=7
Assim, podemos concluir que no 7º dia o frasco recebeu 2187
gotas e ficou totalmente cheio.
EXEMPLO VII:
Uma pessoa aposta na loteria durante cinco semanas, de tal
forma que, em cada semana, o valor da aposta é o dobro do valor da aposta da
semana anterior. Se o valor da aposta da 1ª semana é R$60,00, qual o valor
total apostado após as cinco semanas?
POSSÍVEL RESOLUÇÃO:
PG(60,...,an)�� Progressão Finita
Temos: a1=60
q=2
n=5
Como queremos o valor TOTAL apostado, usamos a fórmula da
soma de n termos de uma
PG finita:
Sn= a1.(qn-1)
q-1
S5= 60.(25-1) �� S5= 60.31 �� S5 = 1860
2-1
Assim, concluímos que esta pessoa gastou R$1860,00 em cinco
semanas de aposta.
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Pode-se observar que mais uma vez a Matemática como um todo,
se mostra importante na medida em que a sociedade necessita e se utiliza dos
conhecimentos dessa área, que por sua vez são essenciais para a inserção
das pessoas como cidadãos no mundo do trabalho, da cultura e das relações
sociais.
Vê-se que os povos egípcios e os babilônicos se utilizavam
desses conceitos para conseguir aquilo que necessitavam. Em um caso
particular dos egípcios, eles procuravam estabelecer padrões para saberem
quando haveria inundação e assim garantir seus alimentos. Com certeza é de
grande valia a inserção dos contextos históricos em sala de aula, pois o
discente passa a ver a matemática como uma criação humana, enquanto o
docente cria condições para que o aluno desenvolva atitudes e valores mais
favoráveis diante desse conhecimento.
Em relação aos conceitos, houve a oportunidade de se ver as
demonstrações das mesmas, onde por si própria nos passa um melhor
entendimento sobre a validade das fórmulas.
No que diz respeito às aplicações dos conceitos em nosso
cotidiano, pudemos perceber a riqueza dos conceitos de progressões. Ao
mesmo tempo, pudemos ver a flexibilidade desses conceitos em diferentes
situações e assim validando uma das características principais para que se
assegure a aprendizagem: o real interesse do discente em aprender algo, é
quando aquilo serve ou servirá para alguma situação que ele necessitará. Se
pudermos assim fazer com que o discente construa melhor os conceitos, então
vale a pena disponibilizar de um tempo a mais para prepararmos algumas
aplicações.
Portanto, se faz necessário que os professores utilizem informações
desta natureza durante seu processo de ensino, para enfim satisfazer a
necessidade de uso imediato e prático dos conteúdos escolares, facilitando a
motivação do aluno e sua aprendizagem.
BIBLIOGRAFIA:
BOYER, Carl Benjamin. História da Matemática. São Paulo: Edgard
Blücher, 1974.
CARVALHO, Silva, COSTA, Maria Cecília. Padrões Numéricos e
Seqüências. São Paulo: Moderna, 1997.
EVES, Howard. Introdução à História da Matemática. Campinas: Esitor
da UNICAMP, 1995.
História da Álgebra. http://users.hotlink.com.br/marielli/matematica/
histomatica/histoalg.html. Acesso em 15/03/2004
KIYUKAWA, Rokusaburo, SMOLE, Kátia Cristina Stocco. Matemática. 2
ed.. São Paulo: Saraiva, 1999.
Malha Atlântica. http://www.malhatlantica.pt/mathis/index.html. Acesso
em 15/03/2004
Matemática Essencial. http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/.
Acesso em 15/03/2004
PAIVA, Manoel. Matemática. São Paulo: Moderna, 2003.
SANTOS, Carlos A. M. dos et al. Matemática. São Paulo: Ática, 2003.

sexta-feira, 8 de maio de 2009

TRIGONOMETRIA: ARCOS E ÂNGULOS

ARCOS E ÂNGULOS


Seja uma circunferência de centro O sobre a qual tomamos dois pontos distintos, A e B. A seguir, ainda sobre a circunferência, tomemos um terceiro ponto M, distinto dos anteriores. A circunferência fica dividida em duas partes, cada uma das quais é um arco de circunfernciâ

Arco de circunferência AMB, e
Arco de circunferência AM'B.




A e B são as extremidades do arco. É importante lembrar que:
A cada arco tomado corresponde um ângulo central e a medida de um arco equivale à medida do ângulo central correspondente.

Assim , por exemplo, se, na figura, x é a medida do ângulo central AÔB então m(AMB) = x. Analogamente se y é a medida do outro ângulo central então m(AM'B) = y.

Se não houver dúvida quando ao arco a que nos referimos, podemos escrever apenas AB ao invés de AMB.

Atenção: não confunda medida de arco com comprimento de arco. Estes são conceitos bem diferentes. Se por exemplo você puder “cortar” a circunferência mostrada na figura acima nos pontos A e B e em seguida “alinhar” cada um dos dois arcos segundo um segmento de reta e medir o comprimento desses segmentos (com uma régua, por exemplo) você obterá como resultados os comprimentos dos dois arcos.



MEDIDAS DE ARCOS E ÂNGULOS
Medir um arco (ou ângulo) é compará-lo com outro, unitário.

GRAU
Um grau é definido como a medida do ângulo central subtendido por um arco igual a 1/360 da circunferência que contém o arco. (Indica-se 1º). Então podemos dizer que uma circunferência (ou arco de uma volta) mede 360º.

RADIANOS
O radiano (notação: rad) é definido como a medida de um ângulo central subtendido por um arco cujo comprimento é igual ao raio da circunferência que contém o arco. A circunferência toda contém 2π raios, o que significa que seu comprimento é igual a 2πr e que a medida dela (correspondente ao arco de uma volta) é de 2π rad. Na matemática π (letra do alfabeto grego que se lê como pi) representa um número irracional (e também transcendente) que representa o valor do comprimento de uma circunferência dividido pelo seu diâmetro. Matemáticos do Egito antigo descobriram que a razão entre o comprimento de uma circunferência e seu diâmetro é a mesma para qualquer circunferência. Eles definiram esta razão como, o que hoje chamamos de π, "um número um pouco maior que 3". O valor de π com 63 casas decimais depois da vírgula é
3,141.592.653.589.793.238.462.643.383.279.502.884.197.169.
399.375.105.820.974.944.592.

É interessante observar que os egípcios chegaram ao valor aproximado de 3,16 há 3500 anos partindo de um quadrado inscrito numa circunferncia, cujo lado media nove unidades. Eles, então, dobraram os lados do quadrado para obter um polígono de oito lados e calcularam a razão entre os perímetros dos octógonos inscrito e circunscrito e o diâmetro da circunferência.

Quer saber um pouco mais, consulte: http://pt.wikipedia.org/wiki/Pi. )

Sabendo-se que a circunferência (ou arco de uma volta) mede 360° ou 2πrad, podemos estabelecer entre as unidades as relações:

360° <-> 2πrad
180° <-> π rad
O percurso sobre um arco desde sua origem até sua extremidade poderá ser feito em dois sentidos: horário ou anti-horário. Arco AB orientado no


sentido Horário:
Arco AB orientado no

sentido Anti-horário:

TRIGONOMETRIA CÍRCULO TROGONOMÉTRICO

CÍRCULO TRIGONOMÉTRICO


Tomemos sobre um plano um sistema cartesiano ortogonal xOy. Consideremos a circunferência orientada de centro na origem O do sistema, de raio unitário (r = 1) e cujo sentido positivo + o anti-horário. Tal circunferência é denominada circunferência trigonométrica ou ciclo trigonométrico ou ainda círculo trigonométrico.

A partir de agora consideraremos apenas os arcos orientados do ciclo trigonométrico com origem no ponto A=(1,0) , que são chamados arcos trigonométricos. O ponto A=(1,0) chamado origem dos arco.




Os eixos x e y do sistema cartesiano dividem a circunferência trigonométrica em quatro partes iguais que são chamadas de quadrantes. Assim, na figura acima, I Q representa o primeiro quadrante, II Q o segundo quadrante e assim por diante.

CONGRUÊNCIA

Dois arcos são côngruos (ou congruentes) quando tem a mesma extremidade e se diferem apenas pelo número de voltas inteiras.

Assim, se um arco mede α rad, a expressão geral dos arcos côngruos a ele é dada por α + 2kπ em que k é Z(conjunto do n° inteiros) . Na figura abaixo exibimos vários arcos côngruos ao arco de 60° ou de π/3 rad.

Um arco de 60º (ou π/3 rad)...



...e seus arcos côngruos






quarta-feira, 6 de maio de 2009

Tabuada Pitagórica

No meu tempo, quando estava a aprender multiplicação, era adotado como material didático a velha tabuada composta de pelo menos nove páginas. Uma para a tabuada do 1, outra para a do 2, e assim em diante. Cada página com 10 linhas, onde cada linha tinha a indicação do produto e seu resultado (2 x 1 = 2, …, 2 x 10 = 20).
Pitágoras, filósofo e matemático grego, século VI antes de Cristo (é tempo!), inventou a tabela abaixo, na qual é possível efetuar todas as operações de multiplicação existentes na velha tabuada. E tudo em um único lugar.




Para se calcular, por meio desta tabela, o produto de dois números, 5 x 9 por exemplo, basta localizar o multiplicando (5) na primeira linha e o multiplicador (9) na primeira coluna. O resultado do produto está no encontro da linha com a coluna.

Observe que alguns conceitos adicionais podem ser explorados a partir daqui:

O de uma composição tabular (matriz) - para o uso no ensino médio;
Mostrar que em uma multiplicação a ordem dos fatores não altera o resultado, fazendo a operação 9 x 5 diretamente na tabela;
Obter resultados de divisões exatas, claro dentro deste universo. Por exemplo: 36:9.
A tabuada de Pitágoras, é óbvio, deve ser utilizada dentro dos mesmos princípios didáticos e curriculares da tabuada tradicional, ou seja, após as devidas explicações do que seja uma multiplicação e uma divisão. No entanto, acredito que o uso da tabuada de Pitagóras tornaria, pelo menos, o aprendizado mais divertido.

A composição da tabela é bem simples: na coluna um encontram-se “os resultados da tabuada do 1″, na dois “os resultados da tabuada do 2″, e assim por diante.

terça-feira, 5 de maio de 2009

ORIGEM DO ZERO

Embora a grande invenção prática do zero seja atribuída aos hindus, desenvolvimentos parciais ou limitados do conceito de zero são evidentes em vários outros sistemas de numeração pelo menos tão antigos quanto o sistema hindu, se não mais. Porém o efeito real de qualquer um desses passos mais antigos sobre o desenvolvimento pleno do conceito de zero - se é que de fato tiveram algum efeito - não está claro.



O sistema sexagesimal babilônico usado nos textos matemáticos e astronômicos era essencialmente um sistema posicional, ainda que o conceito de zero não estivesse plenamente desenvolvido. Muitas das tábuas babilônicas indicam apenas um espaço entre grupos de símbolos quando uma potência particular de 60 não era necessária, de maneira que as potências exatas de 60 envolvidas devem ser determinadas, em parte, pelo contexto. Nas tábuas babilônicas mais tardias (aquelas dos últimos três séculos a.C.) usava-se um símbolo para indicar uma potência ausente, mas isto só ocorria no interior de um grupo numérico e não no final. Quando os gregos prosseguiram o desenvolvimento de tabelas astronômicas, escolheram explicitamente o sistema sexagesimal babilônico para expressar suas frações, e não o sistema egípcio de frações unitárias. A subdivisão repetida de uma parte em 60 partes menores precisava que às vezes “nem uma parte” de uma unidade fosse envolvida, de modo que as tabelas de Ptolomeu no Almagesto (c.150 d.C.) incluem o símbolo ou 0 para indicar isto. Bem mais tarde, aproximadamente no ano 500, textos gregos usavam o ômicron, que é a primeira letra palavra grega oudem (“nada”). Anteriormente, o ômicron, restringia a representar o número 70, seu valor no arranjo alfabético regular.

Talvez o uso sistemático mais antigo de um símbolo para zero num sistema de valor relativo se encontre na matemática dos maias das Américas Central e do Sul. O símbolo maia do zero era usado para indicar a ausência de quaisquer unidades das várias ordens do sistema de base vinte modificado. Esse sistema era muito mais usado, provavelmente, para registrar o tempo em calendários do que para propósitos computacionais.

É possível que o mais antigo símbolo hindu para zero tenha sido o ponto negrito, que aparece no manuscrito Bakhshali, cujo conteúdo talvez remonte do século III ou IV d.C., embora alguns historiadores o localize até no século XII. Qualquer associação do pequeno círculo dos hindus, mais comuns, com o símbolo usado pelos gregos seria apenas uma conjectura.

Como a mais antiga forma do símbolo hindu era comumente usado em inscrições e manuscritos para assinalar um espaço em branco, era chamado sunya, significando “lacuna” ou “vazio”. Essa palavra entrou para o árabe como sifr, que significa “vago”. Ela foi transliterada para o latim como zephirum ou zephyrum por volta do ano 1200, mantendo-se seu som mas não seu sentido. Mudanças sucessivas dessas formas, passando inclusive por zeuero, zepiro e cifre, levaram as nossas palavras “cifra” e “zero”. O significado duplo da palavra “cifra” hoje - tanto pode se referir ao símbolo do zero como a qualquer dígito - não ocorria no original hindu.



Fonte. Tópicos de História da Matemática para uso em sala de aula; números e numerais, de Bernard GUNDLACH

HISTÓRIA DOS NÚMEROS

A noção de número e suas extraordinárias generalizações estão intimamente ligadas à história da humanidade. E a própria vida está impregnada de matemática: grande parte das comparações que o homem formula, assim como gestos e atitudes cotidianas, aludem conscientemente ou não a juízos aritméticos e propriedades geométricas. Sem esquecer que a ciência, a indústria e o comércio nos colocam em permanente contato com o amplo mundo da matemática.

A LINGUAGEM DOS NÚMEROS
Em todas as épocas da evolução humana, mesmo nas mais atrasadas, encontra-se no homem o sentido do número. Esta faculdade lhe permite reconhecer que algo muda em uma pequena coleção (por exemplo, seus filhos, ou suas ovelhas) quando, sem seu conhecimento direto, um objeto tenha sido retirado ou acrescentado.

O sentido do número, em sua significação primitiva e no seu papel intuitivo, não se confunde com a capacidade de contar, que exige um fenômeno mental mais complicado. Se contar é um atributo exclusivamente humano, algumas espécies de animais parecem possuir um sentido rudimentar do número. Assim opinam, pelo menos, observadores competentes dos costumes dos animais. Muitos pássaros têm o sentido do número. Se um ninho contém quatro ovos, pode-se tirar um sem que nada ocorra, mas o pássaro provavelmente abandonará o ninho se faltarem dois ovos. De alguma forma inexplicável, ele pode distinguir dois de três.

O corvo assassinado
Um senhor feudal estava decidido a matar um corvo que tinha feito ninho na torre de seu castelo. Repetidas vezes tentou surpreender o pássaro, mas em vão: quando o homem se aproximava, o corvo voava de seu ninho, colocava-se vigilante no alto de uma árvore próxima, e só voltava à torre quando já vazia. Um dia, o senhor recorreu a um truque: dois homens entraram na torre, um ficou lá dentro e o outro saiu e se foi. O pássaro não se deixou enganar e, para voltar, esperou que o segundo homem tivesse saído. O estratagema foi repetido nos dias seguintes com dois, três e quatro homens, sempre sem êxito. Finalmente, cinco homens entraram na torre e depois saíram quatro, um atrás do outro, enquanto o quinto aprontava o trabuco à espera do corvo. Então o pássaro perdeu a conta e a vida.

As espécies zoológicas com sentido do número são muito poucas (nem mesmo incluem os monos e outros mamíferos). E a percepção de quantidade numérica nos animais é de tão limitado alcance que se pode desprezá-la. Contudo, também no homem isso é verdade. Na prática, quando o homem civilizado precisa distinguir um número ao qual não está habituado, usa conscientemente ou não - para ajudar seu sentido do número - artifícios tais como a comparação, o agrupamento ou a ação de contar. Essa última, especialmente, se tornou parte tão integrante de nossa estrutura mental que os testes sobre nossa percepção numérica direta resultaram decepcionantes. Essas provas concluem que o sentido visual direto do número possuído pelo homem civilizado raras vezes ultrapassa o número quatro, e que o sentido tátil é ainda mais limitado.

Limitações vêm de longe
Os estudos sobre os povos primitivos fornecem uma notável comprovação desses resultados. Os selvagens que não alcançaram ainda o grau de evolução suficiente para contar com os dedos estão quase completamente disprovidos de toda noção de número. Os habitantes da selva da África do Sul não possuem outras palavras numéricas além de um, dois e muitos, e ainda essas palavras estão desvinculadas que se pode duvidar que os indígenas lhes atribuam um sentido bem claro.

Realmente não há razões para crer que nossos remotos antepassados estivessem mais bem equipados, já que todas as linguagens européias apresentam traços destas antigas limitações: a palavra inglesa thrice, do mesmo modo que a palavra latina ter, possui dois sentidos: "três vezes" e "muito". Há evidente conexão entre as palavras latinas tres (três) e trans (mais além). O mesmo acontece no francês: trois (três) e très (muito).

Como nasceu o conceito de número? Da experiência? Ou, ao contrário, a experiência serviu simplesmente para tornar explícito o que já existia em estado latente na mente do homem primitivo? Eis aqui um tema apaixonante para discussão filosófica.

Julgando o desenvolvimento dos nossos ancestrais pelo estado mental das tribos selvagens atuais, é impossível deixar de concluir que sua iniciação matemática foi extremamente modesta. Um sentido rudimentar de número, de alcance não maior que o de certos pássaros, foi o núcleo do qual nasceu nossa concepção de número. Reduzido à percepção direta do número, o homem não teria avançado mais que o corvo assassinado pelo senhor feudal. Todavia, através de uma série de circunstâncias, o homem aprendeu a completar sua percepção limitada de número com um artifício que estava destinado a exercer influência extraordinária em sua vida futura. Esse artifício é a operação de contar, e é a ele que devemos o progresso da humanidade.

O número sem contagem
Apesar disso, ainda que pareça estranho, é possível chegar a uma idéia clara e lógica de número sem recorrer a contagem. Entrando numa sala de cinema, temos diante de nós dois conjuntos: o das poltronas da sala e o dos espectadores. Sem contar, podemos assegurar se esses dois conjuntos têm ou não igual número de elementos e, se não têm, qual é o de menor número. Com efeito, se cada assento está ocupado e ninguém está de pé, sabemos sem contar que os dois conjuntos têm igual número. Se todas as cadeiras estão ocupadas e há gente de pé na sala, sabemos sem contar que há mais pessoas que poltronas.

Esse conhecimento é possível graças a um procedimento que domina toda a matemática, e que recebeu o nome de correspondência biunívoca. Esta consiste em atribuir a cada objeto de um conjunto um objeto de outro, e continuar assim até que um ou ambos os conjuntos se esgotem.

A técnica de contagem, em muitos povos primitivos, se reduz precisamente a tais associações de idéias. Eles registram o número de suas ovelhas ou de seus soldados por meio de incisões feitas num pedaço de madeira ou por meio de pedras empilhadas. Temos uma prova desse procedimento na origem da palavra "cálculo", da palavra latina calculus, que significa pedra.

A idéia de correspondência
A correspondência biunívoca resume-se numa operação de "fazer corresponder". Pode-se dizer que a contagem se realiza fazendo corresponder a cada objeto da coleção (conjunto), um número que pertence à sucessão natural: 1,2,3...

A gente aponta para um objeto e diz: um; aponta para outro e diz: dois; e assim sucessivamente até esgotar os objetos da coleção; se o último número pronunciado for oito, dizemos que a coleção tem oito objetos e é um conjunto finito. Mas o homem de hoje, mesmo com conhecimento precário de matemática, começaria a sucessão numérica não pelo um mas por zero, e escreveria 0,1,2,3,4...

A criação de um símbolo para representar o "nada" constitui um dos atos mais audaciosos da história do pensamento. Essa criação é relativamente recente (talvez pelos primeiros séculos da era cristã) e foi devida às exigências da numeração escrita. O zero não só permite escrever mais simplesmente os números, como também efetuar as operações. Imagine o leitor - fazer uma divisão ou multiplicação em números romanos! E no entanto, antes ainda dos romanos, tinha florescido a civilização grega, onde viveram alguns dos maiores matemáticos de todos os tempos; e nossa numeração é muito posterior a todos eles.

Do relativo ao absoluto
Pareceria à primeira vista que o processo de correspondência biunívoca só pode fornecer um meio de relacionar, por comparação, dois conjuntos distintos (como o das ovelhas do rebanho e o das pedras empilhadas), sendo incapaz de criar o número no sentido absoluto da palavra. Contudo, a transição do relativo ao absoluto não é difícil.

Criando conjuntos modelos, tomados do mundo que nos rodeia, e fazendo cada um deles caracterizar um agrupamento possível, a avaliação de um dado conjunto fica reduzida à seleçào, entre os conjuntos modelos, daquele que possa ser posto em correspondência biunívoca com o conjunto dado.

Começou assim: as asas de um pássaro podiam simbolizar o número dois, as folhas de um trevo o número três, as patas do cavalo o número quatro, os dedos da mão o número cinco. Evidências de que essa poderia ser a origem dos números se encontram em vários idiomas primitivos.

É claro que uma vez criado e adotado, o número se desliga do objeto que o representava originalmente, a conexão entre os dois é esquecida e o número passa por sua vez a ser um modelo ou um símbolo. À medida que o homem foi aprendendo a servir-se cada vez mais da linguagem, o som das palavras que exprimiam os primeiros números foi substituindo as imagens para as quais foi criado. Assim os modelos concretos iniciais tomaram a forma abstrata dos nomes dos números. É impossível saber a idade dessa linguagem numérica falada, mas sem dúvida ela precedeu de vários milhões de anos a aparição da escrita.

Todos os vestígios da significação inicial das palavras que designam os números foram perdidos, com a possível excessão de cinco (que em várias línguas queria dizer mão, ou mão estendida). A explicação para isso é que, enquanto os nomes dos números se mantiveram invariáveis desde os dias de sua criação, revelando notável estabilidade e semelhança em todos os grupos linguísticos, os nomes dos objetos concretos que lhes deram nascimento sofreram uma metamorfose completa.
Fonte: Dicionário Enciclopédico Conhecer - Abril Cultural



MESOPOTÂMIA
Trabalho de pesquisa elaborado por
MÁRCIO LUÍS FREIRE
em novembro de 2005
INTRODUÇÃO



A Matemática como a concebem nos dias atuais foi fruto de uma demorada e profícua evolução, desde os homens das cavernas, passando por todas as grandes civilizações do passado até chegar à complexidade do mundo mercantilista e globalizado atual. A finalidade desse trabalho é mostrar, em forma de evidenciação, que a matemática desenvolvida pelos povos da Mesopotâmia entre os anos de 2800 a 1880 a.C. dão suportes lógicos e consistentes aos anseios de todas as culturas posteriores, demonstrando, assim, sua grande relevância histórica.

ASPECTOS GEOGRÁFICOS E SOCIOLÓGICOS DA MESOPOTÂMIA
Geograficamente a Mesopotâmia está situada entre os rios Tigre e Eufrates no Oriente Médio, no chamado crescente fértil, onde atualmente se localiza o Iraque e a Síria. Em grego, a palavra Mesopotâmia significa entre rios. Os povos que formavam a Mesopotâmia foram os Sumérios, Acádios, Amoritas, Caldeus e Hititas, os quais lutavam pela posse das terras aráveis.. Porém ao contrário do que ocorria com as águas do rio Nilo, os períodos de cheia dos rios Tigre e Eufrates eram bastante irregulares, obrigando a realização de numerosas obras de irrigação e drenagem, com períodos de observação e desenvolvimento com uma maior dificuldade.. As civilizações que habitam essa região prosperaram com base na agricultura. Desenvolveram-se nos vales dos rios Tigre e Eufrates devido, à fertilidade da terra decorrente das inundações destes.
O centro, correspondendo ao curso médio dos rios, era chamado de Acádia, sobressaindo as cidades de Babilônia, Uruc, Nipur, Sipar e Acad. O norte era denominado Assíria, destacando-se as cidades de Nínive, Nimrud e Assur.
Por volta de 3 500 a.C., vindos provavelmente da Ásia Central, os sumérios fixaram-se na Baixa Mesopotâmia, fundindo-se étnica e culturalmente com a população local. Com a sua chegada, deu-se o aperfeiçoamento dos métodos de cultivo e de irrigação. A agricultura, além de abastecer regularmente a população, passou a gerar excedentes para o comércio. Desenvolveram-se o artesanato especializado, o uso de metais e surgiram inovações técnicas como a roda.
A população expandiu-se, dando origem a novos grupos sociais como sacerdotes, funcionários, mercadores, artesãos e soldados. Assim, as aldeias transformaram-se em cidades, como Ur, Uruk, Lagash, com governo próprio e profissões variadas. Estabeleceu-se ativo comércio entre as cidades de Suméria e seus vizinhos. Caravanas de mercadores levavam cargas de cevados e tecidos para a Ásia Menor e para o Irã, retornando com madeira, pedra e metais, que eram transformados em instrumentos, armas e jóias.
A revolução urbana fez surgir na Suméria e posteriormente em Acade, cerca de 15 ou 20 cidades-Estado politicamente independentes, mas com língua, religião, organização social e sistema econômico semelhantes.
Para desenvolver a agricultura, os habitantes desses vales inventaram sistemas de canalização e de diques para controlar a direção da água durante as enchentes. Estes sistemas também controlavam a drenagem das águas de volta aos rios. Os sumérios, babilônicos e os acádios formaram os principais ocupantes desta região entre os anos 2800 a.C. e 1800 a.C. Foi neste período que surgiram os primeiros centros urbanos da humanidade, com uma vida de ostentação da riqueza, complexa e variada, em que a lealdade política não era mais em relação a tribos ou clãs, mas sim ao rei que governava. As principais cidades dessa época foram:Ur, Uruk, Eridu, Nipur e Zagash. Essas cidades eram governadas pelos patesis, que representavam ao mesmo tempo a figura do chefe militar e sacerdote. Desenvolveu-se uma sociedade baseada em atividades agrícolas, pastoris, comerciais e artesanais. A formação de castas, organizada em forma piramidal foi inevitável.
O posicionamento social do individuo, geralmente, era determinado pelo critério de nascimento e hereditariedade. Sua estrutura era dividida em camadas sendo a base da pirâmide composta pelos escravos, um número significativo e constituído principalmente por prisioneiros de guerra e homens livres pobres que se vendiam para sobreviver. Acima dos escravos, existiam os artesãos e os camponeses, que pertenciam às classes de homens livres, mas não recebiam o suficiente pelo trabalho que realizavam. E no topo da hierarquia social estava o rei, que possuía riquezas fabulosas, palácios grandiosos e vários funcionários que auxiliavam na administração do império. Administração essa que se caracterizava pelo domínio de todos os grupos sociais em um governo de fundamento teocrático. O centro de cada cidade da Mesopotâmia era dominado pelo “temenos”, conjunto de templos, destacando-se o “zigurat” ou torre de degraus com um pequeno santuário no alto da elevação.
O templo era dedicado ao culto e às oferendas, como mostra a figura abaixo.

Indiscutivelmente, a principal contribuição que os mesopotâmicos realizaram para o desenvolvimento do conhecimento foi à invenção de um tipo de escrita, a qual era feita por estiletes em uma placa de argila mole que depois secavam ao sol. Tais letras tinham a forma de cunha e, por isso, foram chamadas de cuneiforme. Eram monopolizadas pelos sacerdotes que tinham como uma de suas funções registrar as atividades comerciais. Os sacerdotes dos templos religiosos, através de seu vasto sistema tributário, coletavam e administravam gigantescas somas de bens, tais como terrenos, incluindo rebanhos, manadas, rendas e propriedades rurais. Entretanto, por causa da amplitude e variedade da riqueza acumulada, os sacerdotes enfrentaram problemas sem precedentes na história humana.

Para essa prestação de contas como intendentes, não era possível confiar na memória a respeito dos tributos pagos, transações concluídas, sendo necessária uma forma de registro permanente. O surgimento da escrita justificou-se pelo crescimento das economias centralizadas, quando os funcionários dos palácios e templos sentiram a necessidade de manter o controle das quantidades de cereais e dos rebanhos de carneiros e gado que entravam e saíam dos celeiros e fazendas. Era impossível depender apenas da memória de um homem para armazenar todas as transações realizadas, além da necessidade de se transmitir os fatos a outros sacerdotes quando houvesse o falecimento de quem controlava essas operações, assim, tornou-se indispensável à criação de novos métodos que mantivessem registros confiáveis e permanentes.
COMÉRCIO E ECONOMIA NA MESOPOTÂMIA
Os mesopotâmicos possuíam uma economia bastante desenvolvida, com métodos de intercâmbio comercial que incluíam o uso de uma moeda metálica e já dispunham de uma rede bancária primitiva. Baseada na agricultura, principalmente no cultivo da cevada, produzia também outros produtos como o óleo de linhaça e de gergelim, linho, trigo e hortigranjeiros. A cevada muitas vezes era usada como meio de pagamento de salários e em rações diárias, sendo matéria-prima para a fabricação da bebida natural: a cerveja. Os rebanhos de ovelhas e cabras pastavam nos campos fora da estação de plantio e o gado quando havia água suficiente. A produção da lã era extensa e convertida em peças de tecidos. Santos (2001) nos afirma que:
Os sumérios eram excelentes agricultores, eram peritos em irrigação; sendo favorecidos pelos rios Tigre e Eufrates. Eram bons comerciantes. A economia do país se fundamenta na lavoura e no comércio. Desenvolveram-se intensas relações comerciais com os países próximos. Trocavam-se metais, madeiras, produtos agrícolas e manufaturados. Usavam-se recibos, faturas, títulos de créditos, notas promissórias. Circulavam como dinheiro, barras de ouro ou prata. A unidade monetária padrão de troca era um ciclo de prata. O comércio era ativo e empregava muita gente.
Outra atividade econômica era a pesca, utilizando-se de pequenos barcos de junco, anzol e rede os sumérios pescavam no Golfo Pérsico, nos rios, canais e pântanos. O artesanato foi um dos responsáveis pelo grande impulso dado ao comércio. Os artesãos eram muito habilidosos e fabricavam móveis de madeira; vasilhas de argila, de pedra, de madeira e de vidro; objetos de metal, de couro (sandálias, roupas, equipamentos militares), bijuterias e tijolos (secos ao sol ou cozidos em forno). As lãs retiradas das ovelhas eram utilizadas para confecção de tecido. As famílias ou oficinas têxteis, constituídas pelos homens livres, eram os realizadores do trabalho artesanal.
Segundo texto publicado no site Vbcontrol (2003) “há duas formas básicas para se obter os materiais que países necessitam: pela guerra ou comércio. Tais materiais são geralmente exigidos como tributos ou tomados por pilhagem após uma expedição militar”.
A região mesopotâmia carecia de recursos minerais e de madeira, indispensáveis para a construção de grandes monumentos, além de resistentes. Ao longo da história, os mesopotâmicos tiveram cada vez mais necessidade destes materiais, que vinham de longe: ou das florestas do Líbano ou das montanhas do Irã (atualmente). Essas montanhas também eram ricas em minerais, pedras e metais. Por este motivo, o comércio começava a ser executado com todas as regiões vizinhas. De acordo com Cruz e Silva (2002) devido ao incremento na atividade mercantil, bem como ao aumento de mercadorias em circulação, o sistema de tábuas contábeis tornou-se complexo. Segundo Iudícibus (1997) “a preocupação com as propriedades e a riqueza é uma constante no homem da Antigüidade,[...] e o homem teve de ir aperfeiçoando seu instrumento de avaliação patrimonial à medida que as atividades foram desenvolvendo-se em dimensão e em complexidade”. A situação geográfica da Mesopotâmia, na rota do comércio entre Oriente e Ocidente, estimulou as atividades comerciais, tornando necessários rudimentos de aritmética aplicada, tais como sistemas de contabilidade, noção de juros, etc. Em meados do terceiro milênio os comerciantes da Suméria já empregavam um sistema de pesos e medidas, fazendo uso de juros simples e compostos.
APLICAÇÕES DA MATEMÁTICA E DA GEOMETRIA MESOPOTÂMICA
Os Babilônicos (assim também eram chamados os povos mesopotâmicos) tinham uma maior habilidade e facilidade para efetuar cálculos, talvez em virtude de sua linguagem ser mais acessível que a egípcia. Eles tinham técnicas para equações quadráticas e bi-quadráticas, além de possuírem fórmulas para áreas de figuras retilíneas simples e fórmulas para o cálculo do volume de sólidos simples. Sua geometria tinha suporte algébrico. Também conheciam as relações entre os lados de um triângulo retângulo e trigonometria básica, conforme descrito na tábua “Plimpton 322”.
Os mesopotâmicos foram os inventores da álgebra, do sistema posicional, desenvolveram os cálculos de divisão e multiplicação, incluindo a criação da raiz quadrada e da raiz cúbica. E utilizando símbolos para unidades e dezenas, podiam representar qualquer número. Os símbolos utilizados por este povo para representar os números eram: v que correspondia a 1 (um) e o < que correspondia ao 10 (dez). O sistema numérico adotado pelos sumérios é uma combinação do sistema decimal e do sistema sexagesimal. Assim tem-se:
Os babilônios usavam um sistema posicional que, em alguns aspectos era semelhante ao dos egípcios. Algumas inscrições mostram que, surpreendentemente, eles usavam não somente um sistema decimal mas também um sistema sexagesimal (isto é, base 60) , o qual trazia enormes facilidades para os cálculos, visto que os divisores naturais de 60 são 1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60, facilitando o cálculo com frações.
Usavam um traço vertical para representar as unidades e outro desenho para as dezenas:
No sistema decimal, os números de 1 a 99 eram representados por agrupamentos destes símbolos, por exemplo,
O símbolo para 100 era composto por traços:
e números superiores a 100, representados novamente por agrupamento. Assim, por exemplo, temos:

O símbolo indica 10 vezes 100, isto é, 1000.


Também empregava, em algumas tabuletas, o sistema sexagesimal. Os números de 1 a 59 eram representados novamente por agrupamento simples e a partir dali, se escreviam "grupos de cunhas", com base 60. Por exemplo,

Os babilônios chegaram a empregar um símbolo, formado por duas cunhas inclinadas, para representar a ausência de um grupo. Por exemplo,

Como este símbolo não era de uso freqüente, e ainda, nunca foi usado no fim de uma expressão, o sistema babilônio apresentava ambigüidades. Por exemplo,

poderia representar o número , etc.
Nosso sistema de numeração indo-arábico é um sistema de numeração posicional de base 10. Ele é preciso e não apresenta ambigüidades, justamente porque temos o símbolo 0 (zero) para representar ausência de uma casa.
A base de numeração 10 é o sistema usado quase que universalmente pelo fato de termos dez dedos disponíveis nas mãos para nos auxiliar nos cálculos.
Cidade da informática (2001) nos traz o seguinte texto:
A astronomia e as matemáticas começaram a buscar essas respostas, e a criar aparatos que lhes serviam como para ordenar o mundo e os ciclos que a natureza dispõe. Os primeiors calendarios usados pelos babilonicos mediam os meses de acordo com as fases lunares e os anos, conforme a posição do sol. Pelo testemunho que perdura nas tabuas de argila que tem chegado até nós, hoje sabemos que por volta do ano de 1950 a.c, o povo babilônico adotou a base 60 para medir o tempo, ou seja, uma hora é igual a 60 minutos. Mas para que isso pudesse acontecer deveriam contar no solo com sistemas de numeração, e também com signos que representava quantidades.
Ou seja, o sistema sexagesimal teve sua origem na astronomia, especificamente, na contagem do tempo, ou melhor na divisão do tempo em horas, minutos e segundos. No qual 1 (uma) hora equivale a 60 minutos.
Estes números eram escritos mediante a pressão da extremidade mais larga ou menor de um cálamo de junco sobre a argila ou verticalmente (para desenhar um círculo) ou obliquamente. Com o passar do tempo esses números passaram a apresentar uma forma angular.
Exemplificando o sistema numérico utilizado pelos sumérios, tem-se:
1º) << << = 20 x 60 + 20 = 1.220
2º) yyyy v = 2 x 602 + 2 x 60 + 11 = 7.331
Observa-se que os mesopotâmicos começaram a calcular da direita para esquerda, ou seja, o primeiro grupo de símbolos representam as unidades, o segundo grupo representa as dezenas, depois seriam as centenas e assim por diante. Um outro fato curioso é que, retirando o grupo das unidades, os demais grupos são multiplicados pelo fator 60, onde as dezenas apenas por 60, as centenas por 60 ao quadrado, e assim continuaria, aumentando-se as casas aumentam-se os expoentes. Este tipo de cálculo deixa bem claro que os sumérios já conheciam e utilizavam as potências quadradas e cúbicas.
. Os sumérios utilizaram a formula:

para utilizar a multiplicação. A divisão se assimila a multiplicação a seguir:


Algumas tábuas mostram que os mesopotâmicos chegaram a resolver equações do 2. º e 3. º graus, usando palavras como incógnitas num sentido abstrato e conheciam bem o processo de fatoração. Não só resolviam as equações quadráticas, seja pelo método equivalente ao da substituição numa fórmula geral, seja pelo método de completar quadrados, como também discutiam algumas cúbicas e algumas biquadradas.
Acredita-se que os povos mesopotâmicos dominavam também as fórmulas de progressões geométricas. Seus desenvolvimentos podem ser constatados em tabuletas que indicavam relações entre os lados de um triângulo. Porém, essas tabuletas mostram apenas as questões e os resultados.
As implantações dos sistemas de irrigação desenvolvidos exigiam, para a execução do trabalho, alguma forma primitiva de engenharia e agrimensura, atividades que pressupõem a aplicação de certos conhecimentos geométricos, tais como mediadas de áreas, linhas de nível, etc.
Da matemática mesopotâmica constata-se também a familiarização com as regras gerais de cálculo da área do retângulo, do triângulo retângulo e isóscele, de um trapézio retângulo e, do volume de um paralelepípedo e mais, geralmente do volume de um prisma reto de base trapezional.
Tinham também uma fórmula para calcular o perímetro da circunferência a que equivale. Conheciam o volume de um tronco de cone e de um tronco de pirâmide quadrangular regular. Sabiam que os lados correspondentes de dois triângulos retângulos semelhantes são proporcionais. Utilizavam-se de uma ‘corda com 13 nós’ de forma a que o espaço entre eles fosse igual, isto é, a corda media 12 unidades, sendo cada unidade o espaço entre dois nós consecutivos, para construir um triângulo retângulo, mas não sabiam expressar teoricamente esse conhecimento.
Essa técnica foi divulgada por Pitágoras, em 560 a.C. após ter realizado várias viagens à Mesopotâmia, cujo saber havia fascinado Tales, onde estudou geometria com sacerdotes, vindo a ter contato com o método da ‘corda de 13 nós’. Com base nesta técnica desenvolveu o que hoje conhecemos como Teorema de Pitágoras ‘num triângulo, o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos’. Pitágoras não só se satisfez com a generalização da propriedade a que chegou, como também se preocupou com a sua demonstração, ou seja, em provar que essa regra se aplicava a todos os triângulos retângulos.
Somente em 1637 d.C. foi provada a relação de posicionamento utilizado pelos sumérios nas construções de seus templos, palácios e monumentos arquitetônicos. Tal feito foi realizado por Descartes. Ele criou uma fórmula algébrica para representar um fato trivial e infantil já conhecido por todos; de que um ponto em uma folha de papel retangular está infalivelmente, como é evidente, onde as duas linhas de suas duas distâncias medidas perpendiculares a duas margens adjacentes da folha, se encontram. Em linguagem geométrica, isto quer dizer que um ponto em um plano pode ser representado pelos valores (hoje chamado coordenadas cartesianas) das suas duas distâncias (x, y), tomadas perpendiculares a dois eixos que se cruzam em ângulo reto nesse plano, como a convenção de lado positiva e negativa para um e outro lado do http://www.blogger.com/post-edit.g?blogID=8057911454459131264&postID=740516922785073364#ponto de cruzamento dos eixos.
O APARECIMENTO DE

Uma das características mais relevantes da matemática suméria era o uso do sistema de numeração posicional. Isto possibilitava o cálculo do valor numérico de grandezas geométricas com uma precisão admirável para a época. Um exemplo notável pode ser visto em um tablete sumeriano da Yale Babylonian Collection, catalogado sob a sigla YBC7289.

Tablete sumério YBC7289, da Yale Babylonian Collection.
Nele vemos representado um quadrado, suas duas diagonais e três números:

escritos no sistema sexagesimal sumeriano. Nessa notação os algarismos do sistema sexagesimal são indicados por 0, 1, 2,..., 9, 10, 11, 12,...,59, e a vírgula separam as casas.

Desenho esquemático do tablete sumério YBC7289, mostrando um quadrado, suas duas diagonais, e três números sexagesimais, um sendo o valor do lado do quadrado, outro uma aproximação do valor de , e o terceiro uma aproximação do valor de sua diagonal.
Calculando na base sexagesimal temos

portanto c = a.b
Por outro lado, interpretando na figura acima como o valor da diagonal do quadrado de lado a, temos, em virtude do Teorema de Pitágoras,

Assim, relacionando c=a.b e, vemos que b deve ser uma aproximação de

Lembrando que os sumérios não tinham notação para separar a parte inteira da parte fracionária na representação escrita dos números, passamos a interpretar a, b, e c como:
a=(0;30) 60
b=(1;24,51,10)60
c=(0;42,25,35)60
Vemos que

que é próximo de 2.
Resulta a aproximação


No sistema decimal isso equivale a

Comparando com
vemos que a aproximação calculada pelos sumérios tem erro de

Este foi sem dúvida um cálculo notável
PARTIDAS DOBRADAS E CONHECIMENTO MATEMÁTICO
A matemática sempre foi utilizada como um instrumento, através do qual se podia explicar os fenômenos naturais, ou seja, suas causas e conseqüências. Por exemplo, aplicando-se a dualidade dos fatos, pela matemática, obtêm-se na Astronomia a relação do tempo em horas-dia e horas-noite.
Os mesopotâmicos também representavam a natureza dos seres através da matemática, ou seja, os números pares eram considerados seres femininos e os ímpares, masculinos. Até mesmo na grafia estava presente a dualidades das coisas, o que se pode verificar claramente no símbolo utilizado para representar o infinito. Esse símbolo representa a união de dois círculos (4), onde um deles representa o mundo material e o outro o mundo imaterial, em outras palavras, o infinito significa graficamente a união dos dois mundos.
Os números também representam o bem e o mal. Representavam o bem, os números positivos, que significam a soma, o acréscimo; já os números negativos o mal, a exclusão, a subtração. Paralelamente a esse raciocínio desenvolveu-se o controle do patrimônio, o sentido do que me pertence e o que pertence à outra pessoa. Segundo Sá (2002) “o ‘meu’ e o ‘seu’ deram, na época, origem a registros especiais de ‘débito’ (o que alguém tem que me pagar) e ‘crédito’ (o que devo pagar a alguém)”, onde teríamos uma primeira versão do registro por Partidas Dobradas.
Uma outra aplicação da matemática pelos mesopotâmicos se refere às funções. Este povo conhecia o sentido amplo da palavra ‘relação’. Conforme Brito [s.d] diz-se que existe uma relação entre duas coisas quando existe um elo de ligação, uma correspondência, uma vinculação entre elas.
Usando a representação de conjuntos podemos visualizar estes exemplos mais facilmente. Dentro de cada conjunto podemos apresentar seus elementos (valores) e associá-los na relação. Como pode ser observado na figura 1.

Figura 1 Correlação entre conjuntos
Observe que do conjunto origem (A) partem os elos de ligação em direção ao conjunto destino (B).
Com esta noção de ‘relação’ em mente e, particularmente, evidenciando as situações acima ilustradas, podemos definir o que vem a ser uma função. A idéia de relação biunívoca de conjunto que predomina numa função entre origem e destino coaduna com a idéia das Partidas Dobradas de origem e aplicação de recursos.
A forma intuitiva do aprendizado das funções através da representação de conjuntos é trocada, na prática, pelo Sistema Cartesiano, no qual colocamos o domínio no eixo do x e o contradomínio (em que estarão as imagens) no eixo do y. Desta forma podemos visualizar melhor o par ordenado (x,y) e o comportamento das funções que se deseja estudar. Assim temos:

Figura 2 Sistema Cartesiano
Como já foi dito antes, os mesopotâmicos não deixaram registro desse conhecimento, mas já foi provado que não só conheciam, como os utilizavam para a edificação de suas construções monumentais.
CONCLUSÃO
Concluímos que a matemática, assim como as ciências de modo geral desenvolveram-se devido as necessidades que surgiam dia-dia. A matemática na Mesopotâmia surgiram como uma ciência prática, com o objetivo de facilitar o cálculo do calendário, a administração das colheitas, organização de obras públicas e a cobrança de impostos, bem como seus registros.
As águas dos rios Tigre e Eufrates proporcionavam facilidades para o transporte de mercadorias, o que ajudou a desenvolver um processo de navegação.
Foram desenvolvidos nestes rios grandes projetos de irrigação das terras cultiváveis e a construção de grandes diques de contenção, abrindo assim o caminho para o desenvolvimento de uma engenharia primitiva.
Procedeu-se ao desenvolvimento de uma astronomia rudimentar para o cálculo do período de cheias e vazantes dos rios, mesmo que estes períodos não fossem regulares como os do rio Nilo no Egito.
E também, pelo fato da Mesopotâmia estar situada no centro do mundo conhecido da época, o que propiciava muito contato com outros povos, ela teve um papel muito grande no desenvolvimento da matemática de um povo que teve um papel muito importante na história: o povo Grego. Graças a este contato com o povo Grego, muito desta matemática chegou até os nossos dias.
Referências bibliográficas
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CIUDAD DE LA INFORMÁTICA. Antigüedad. Disponível em: .
CRUZ, Carlos Geraldo Caixeta; SILVA,
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BERUTTI, Flávio. História. Ed. Saraiva. 2004.

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STRUIK, História concisa das matemáticas. Gradiva. 1989.

Fábio Costa Pedro e Olga M. A. Fonseca Coulon - História: Pré-História, Antiguidade e Feudalismo, 1989