sábado, 31 de janeiro de 2009

Progressões

Progressão aritmética
OBSERVAÇÃO: ESTE CONTEÚDO ESTA EM CONSTRUÇÃO...


A progressão é um tipo de seqüência que envolve apenas números. Podendo dizer então que progressão, matematicamente dizendo, é uma seqüência de números que estão dispostos conforme uma determinada regra, veja o exemplo:
Dada a seguinte seqüência numérica: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, esses números obedecem a uma ordem que é de dois em dois, então a regra da progressão é que os números que estão na seqüência devem ser de dois em dois.

Por existir essas regras das seqüências numéricas que existem dois tipos de progressão:
- Progressão aritmética
- Progressão geométrica


Chamamos de progressão aritmética, ou simplesmente de PA, a toda seqüência em que cada número, somado a um número fixo, resulta no próximo número da seqüência. O número fixo é chamado de razão da progressão e os números da seqüência são chamados de termos da progressão.

Observe os exemplos:

50, 60, 70, 80 é uma PA de 4 termos, com razão 10.

3, 5, 7, 9, 11, 13 é uma PA de 6 termos, com razão 2.

-8, -5, -2, 1, 4 é uma PA de 5 termos, com razão 3.

156, 152, 148 é uma PA de 3 termos, com razão -4.

100, 80, 60, 40 é uma PA de 4 termos, com razão -20.

6, 6, 6, 6,..... é uma PA de infinitos termos, com razão 0.



Numa PA de 7 termos, o primeiro deles é 6, o segundo é 10. Escreva todos os termos dessa PA.

6, 10, 14, 18, 22, 26, 30



Numa PA de 5 termos, o último deles é 201 e o penúltimo é 187. Escreva todos os termos dessa PA.

145, 159, 173, 187, 201



Numa PA de 8 termos, o 3º termo é 26 e a razão é -3. Escreva todos os termos dessa PA.

32, 29, 26, 23, 20, 17, 14, 11



Numa PA, o 1º termo é 45 e o 2º termo é 80. Qual a razão dessa PA.




Numa PA, o 5º termo é -7 e o 6º termo é 15. Qual a razão dessa PA.




Símbolos usados nas progressões

Em qualquer seqüência, costumamos indicar o primeiro termo por a1, o segundo termo por a2, o terceiro termo por a3, e assim por diante. Generalizando, o termo da seqüência que está na posição n é indicado por an.



Veja alguns exemplos



Na PA 2, 12, 22, 32 temos: a1 = 2, a2 = 12, a3 = 22 e a4 = 32

Quando escrevemos que, numa seqüência, tem-se a5 = 7, por exemplo, observe que o índice 5 indica a posição que o termo ocupa na seqüência. No caso, trata-se do 5º termo da seqüência. Já o símbolo a5 indica o valor do termo que está na 5º posição. No caso o valor do quinto termo é 7.

A razão de uma PA é indicada por r, pois ela representa a diferença entre qualquer termo da PA e o termo anterior.

Observe os exemplos:



Na PA 1856, 1863, 1870, 1877, 1884 a razão é r = 7, pois:

a2 – a1 = 1863 - 1856 = 7

a3 – a2 = 1870 – 1863 = 7

a4 – a3 = 1877 – 1870 = 7

a5 – a4 = 1884 – 1877 = 7



Na PA 20, 15, 10, 5 a razão é r = -5, pois:

a2 – a1 = 15 – 20 = -5

a3 – a2 = 10 – 15 = -5

a4 – a3 = 5 – 10 = -5



Classificação das progressões aritméticas



Uma PA é crescente quando cada termo, a partir do segundo, é maior que o termo que o antecede. Para que isso aconteça é necessário e suficiente que a sua razão seja positiva.

Exemplo:

(7, 11, 15, 19,...) é uma PA crescente. Note que sua razão é positiva, r = 4

Uma PA é decrescente quando cada termo, a partir do segundo, é menor que o termo que o antecede. Para que isso aconteça é necessário e suficiente que a sua razão seja negativa.

Exemplo:

(50, 40, 30, 20,...) é uma PA decrescente. Note que sua razão é negativa, r = -10

Uma PA é constante quando todos os seus termos são iguais. Para que isso aconteça é necessário e suficiente que sua razão seja igual a zero.

Exemplo:





Determine x para que a seqüência (3+ x, 5x, 2x + 11) seja PA.

5x – ( 3 + x ) = 2x + 11 – 5x

5x – 3 – x = 2x +11 – 5x

5x – x – 2x + 5x = 11 + 3

7x = 14

x = 14/7 = 2



Fórmula do termo geral da PA



an = a1 + (n – 1).r
An = último termo
n = número de termos
a1 = primeiro termo
r = razão ( segundo termo menos o primeiro termo)



Determinar o 61º termo da PA (9, 13, 17, 21,...)

r = 4
a1 = 9
n = 61
a61 = ?

a61 = 9 + (61 – 1).4
a61 = 9 + 60.4 = 9 + 240 = 249



Determinar a razão da PA (a1, a2, a3,...) em que a1 = 2 e a8 = 3

an = a1 + ( n – 1 ).r

a8 = a1 + (8 – 1 ).r

a8 = a1 + 7.r

3 = 2 + 7.r

7r = 3 – 2

7r = 1

r = 1/7

Determinar o número de termos da PA (4,7,10,...,136)

a1 = 4 an = 136 r = 7 – 4 = 3

an = a1 + (n – 1).r

136 = 4 + (n – 1).3

136 = 4 + 3n – 3

3n = 136 – 4 + 3

3n = 135

n = 135/3 = 45 termos



Determinar a razão da PA tal que:

a1 + a4 = 12
a3 + a5 = 18
a4 = a1 + (4 – 1).r
a3 = a1 + (3 – 1).r
a5 = a1 + 4r
a4 = a1 + 3r
a3 = a1 + 2r
a1 + a1 + 3r = 12
a1 + 2r + a1 + 4r = 18
2a1 + 3r = 12

2a1 + 6r = 18

3r = 6

r = 6/3 = 2



Interpolar (inserir) cinco meios aritméticos entre 1 e 25, nessa ordem .



Interpolar (ou inserir) cinco meios aritméticos entre 1 e 25, nessa ordem, significa determinar a PA de primeiro termo igual a 1 e último termo igual a 25.

(1,_,_,_,_,_,25)

a7 = a1 + 6r

25 = 1 + 6r

6r = 24

r = 24/6

r = 4

(1, 5, 9, 13, 17, 21, 25)



Representação genérica de uma PA



PA de três termos:

(x, x + r, x + 2r)

ou

(x – r, x , x + r), em que a razão é r



PA de quatro termos:

(x, x + r, x + 2r, x + 3r)

ou

(x – 3r, x – r, x + r, x + 3r), em que a razão é 2r



Cálculo da soma dos n primeiros termos de uma PA

Em uma pequena escola do principado de Braunschweig, Alemanha, em 1785, o professor Buttner propôs a seus alunos que somassem os números naturais de 1 a 100. Apenas três minutos depois, um gurizote de oito anos de idade aproximou-se da mesa do senhor Buttner e, mostrando-lhe sua prancheta, proclamou: “ taí “. O professor, assombrado, constatou que o resultado estava correto. Aquele gurizote viria a ser um dos maiores matemáticos de todos os tempos: Karl Friedrich Gauss (1777-1855). O cálculo efetuado por ele foi simples e elegante: o menino percebeu que a soma do primeiro número, 1, com o último, 100, é igual a 101; a soma do segundo número, 2 , com o penúltimo, 99 , é igual a 101; também a soma do terceiro número, 3 , com o antepenúltimo, 98 , é igual a 101; e assim por diante, a soma de dois termos eqüidistantes dos extremos é igual a soma dos extremos.

1 2 3 4..................................97 98 99 100



4 + 97 = 101

3 + 98 = 101

2 + 99 = 101

1 + 100 = 101



Como são possíveis cinqüenta somas iguais a 101, Gauss concluiu que:

1 + 2 + 3 + 4 + .......................... + 97 + 98 + 99 + 100 = 50.101 = 5050

Esse raciocínio pode ser estendido para o cálculo da soma dos n primeiros termos de uma progressão aritmética qualquer:






Calcular a soma dos trinta primeiros termos da PA (4, 9, 14, 19,...).



a30 = a1 + (30 – 1).r

a30 = a1 + 29r

a30 = 4 + 29.5 = 149





Calcular a soma dos n primeiros termos da PA (2, 10, 18, 26,...).



an = 2 + (n – 1).8

an = 2 + 8n – 8

an = 8n – 6





Determine a soma dos termos da PA (6, 10, 14,..., 134).





Calcule a soma dos múltiplos de 7 compreendidos entre 100 e 300.



Múltiplos de 7 (0, 7, 14, 21, 28,...).

O primeiro múltiplo de 7 compreendido entre 100 e 300 é o 105.

O último múltiplo de 7 compreendido entre 100 e 300 é o 294.

294 = 105 + (n – 1).7

294 = 105 + 7n – 7

7n = 294 – 105 + 7

7n = 196

n = 196/7 = 28






Progressão geométrica

Denominamos de progressão geométrica, ou simplesmente PG, a toda seqüência de números não nulos em que cada um deles, multiplicado por um número fixo, resulta no próximo número da seqüência. Esse número fixo é chamado de razão da progressão e os números da seqüência recebem o nome de termos da progressão.



Observe estes exemplos:

8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024 é uma PG de 8 termos, com razão 2.

5, 15, 45,135 é uma PG de 4 termos, com razão 3.

3000, 300, 30, 3 é uma PG de 4 termos, com razão 1/10



Numa PG de 5 termos o 1º termo é 2 e o 2º termo é 12. Escreva os termos dessa PG.

2, 12, 72, 432, 2592

Numa PG de 4 termos, o último termo é 500 e o penúltimo é 100. Escreva os termos dessa PG.

4,20,100,500



Numa PG de 6 termos, o 1º termo é 3 e a razão é 10. Qual o 6º termo dessa PG.

3,30,300,3000,30000,300000

a6 = 300000



Numa PG de 5 termos, o 3º termo é -810 e a razão é -3. Escreva os termos dessa PG.

-90,270,-810,2430,-7290



Numa PG, o 9º termo é 180 e o 10º termo é 30. Qual a razão dessa PG.

q = 30/180 = 3/18 = 1/6

A razão é 1/6





Fórmula do termo geral de uma progressão geométrica.






Determinar o 15º termo da progressão geométrica (256, 128, 64,...).





Determinar a razão da PG tal que:




Determinar o número de termos da PG (128, 64, 32,......, 1/256).





Determinar a razão da PG tal que:





Representação genérica de uma PG:



a) PG de três termos, (x, xq, xq²) em que a razão é q;

(x/q, x, xq), com razão q, se q ≠ 0.



b) PG de quatro termos, (x, xq, xq², xq³), com razão q;

(x/q³, x/q, xq, xq³), com razão q², se q ≠ 0.



Determinar a PG de três termos, sabendo que o produto desses termos é 8 e que a soma do segundo com o terceiro termo é 10.




Fórmula da Soma de uma PROGRESSÃO GEOMÉTRICA
Soma dos n primeiros termos de uma PG:





Sendo Sn a soma dos n primeiros termos da PG (a1,a2, a3,...an,...) de razão q, temos:

Se q = 1, então Sn = n.a1





Calcular a soma dos dez primeiros termos da PG (3, 6, 12,....).

Teoria dos Logaritmos

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Definição de Logaritmos
Teoria dos Logaritmos

1. DEFINIÇÃO

Sejam a e b números reais positivos diferentes de zero e b1. Chama-se logaritmo de a na base b o expoente x tal que bx = a:
logb a = x bx = az

Na sentença logb a = x temos:

a) a é o logaritmando;

b) b é a base do logaritmo;

c) x é o logaritmo de a na base b.

Exemplos:



Observação 1: Quando a base não vier expressa, fica subentendido que esta vale 10.

Exemplos:

a) log 3 = log 10 3

b) log 20 = log10 20

Condições de existência

a) A base tem de ser um número real positivo e diferente de 1.

b) O logaritmando tem de ser um número real positivo.


2. PROPRIEDADES DOS LOGARITMOS

a) O logaritmo de um número, na base de valor igual a ele mesmo, é sempre igual a 1.

logb b = 1.

Exemplo:
log8 8 = 1.

b) O logaritmo de 1 em qualquer base é sempre igual a 0.

logb 1 = 0

Exemplo:
log9 1 = 0

c) Logaritmo de uma potência

logb ay = y. logb a

Exemplo:
Log2 34 = 4. log2 3

d) O logaritmo de um número b, na base b, elevado a um expoente x é sempre igual a x.

logb bx = x

Exemplo:

Log3 37 = 7

e) Um número b, elevado ao logaritmo de a na base b, é sempre igual a a.

blogb a = a

Exemplo:

7log7 13 = 13

f) Logaritmo do produto:

logc (m . n) = logc m + logc n, sendo m > 0, n > 0 e b 1.

Exemplo:
log2 (4 . 3) = log2 4 + log2 3

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quinta-feira, 29 de janeiro de 2009

NUMEROS INTEIROS

NÚMEROS INTEIROS



Na época do Renascimento, os matemáticos sentiram cada vez mais a necessidade de um novo tipo de número que pudesse ser solução de equações tão simples como,

x + 2 = 0, 2x + 10 = 0, 4y + y = 0

e as ciências precisavam de símbolos para representar temperaturas acima e abaixo de 0ºC.

Mas a tarefa não ficava só por criar um novo número, era necessário encontrar um símbolo que permitisse operar com esse número criado de um modo prático e eficiente.



O CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS ( Z )



Definimos o conjunto dos números inteiros como a reunião do conjunto dos números naturais, o conjunto dos números opostos dos números naturais e o zero. Este conjunto é denotado pela letra Z e pode ser escrito por

Z = {..., -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, ...}



Exemplos de subconjuntos do conjunto Z:



Conjunto dos números inteiros não negativos:

Z+={ 0, 1, 2, 3, 4, ...}

Conjunto dos números inteiros não positivos:

Z-={..., -4, -3, -2, -1, 0}



Os números inteiros podem ser representados numa reta numerada, pelo que possuem uma determinada ordem. Visto aqui serem apresentados os números negativos, poderemos também discutir o módulo de um número assim como as operações que podemos realizar com eles. As operações que iremos abordar, juntamente com as suas propriedades, são a adição e a multiplicação.

EXPRESSÕES ALGÉBRICAS

Ensino Fundamental: Expressões algébricas

* O uso das Expressões algébricas
* Elementos históricos
* Expressões Numéricas
* Expressões algébricas
* Prioridade das operações
* Exercícios
* Monômios e polinômios



* Identificando express. algébricas
* Valor numérico expr.algébrica
* A regra dos sinais (X e ÷)
* Regras de potenciação
* Eliminação de parênteses
* Operações com expr. algébricas
* Alguns Produtos notáveis


O uso das expressões algébricas

No cotidiano, muitas vezes usamos expressões sem perceber que as mesmas representam expressões algébricas ou numéricas.

Numa papelaria, quando calculamos o preço de um caderno somado ao preço de duas canetas, usamos expressões como 1x+2y, onde x representa o preço do caderno e y o preço de cada caneta.

Num colégio, ao comprar um lanche, somamos o preço de um refrigerante com o preço de um salgado, usando expressoes do tipo 1x+1y onde x representa o preço do salgado e y o preço do refrigerante.

Usamos a subtração para saber o valor do troco. Por exemplo, se V é o valor total de dinheiro disponível e T é o valor do troco, então temos uma expresão algébrica do tipo V-(1x+1y)=T.

As expressões algébricas são encontradas muitas vezes em fórmulas matemáticas. Por exemplo, no cálculo de áreas de retângulos, triângulos e outras figuras planas.
Expressão algébrica Objeto matemático Figura
A = b x h Área do retângulo
A = b x h / 2 Área do triângulo
P = 4 a Perímetro do quadrado

Elementos históricos

Na Antiguidade, as letras foram pouco usadas na representação de números e relações. De acordo com fontes históricas, os gregos Euclides e Aristóteles (322-384 a.C), usaram as letras para representar números. A partir do século XIII o matemático italiano Leonardo de Pisa (Fibonacci), que escreveu o livro sobre Liber Abaci (o livro do ábaco) sobre a arte de calcular, observamos alguns cálculos algébricos.

O grande uso de letras para resumir mais racionalmente o cálculo algébrico passou a ser estudado pelo matemático alemão Stifel (1486-1567), pelos matemáticos italianos Germano (1501-1576) e Bombelli (autor de Álgebra publicada em 1572), porém, foi com o matemático francês François Viéte (1540-1603), que introduziu o uso ordenado de letras nas analogias matemáticas, quando desenvolveu o estudo do cálculo algébrico.

Expressões Numéricas

São expressões matemáticas que envolvem operações com números. Por exemplo:

a = 7+5+4
b = 5+20-87
c = (6+8)-10
d = (5×4)+15


Expressões algébricas

São expressões matemáticas que apresentam letras e podem conter números. São também denominadas expressões literais. Por exemplo:

A = 2a+7b
B = (3c+4)-5
C = 23c+4

As letras nas expressões são chamadas variáveis o que significa que o valor de cada letra pode ser substituída por um valor numérico.

Prioridade das operações numa expressão algébrica

Nas operações em uma expressão algébrica, devemos obedecer a seguinte ordem:

1.

Potenciação ou Radiciação
2.

Multiplicação ou Divisão
3.

Adição ou Subtração

Observações quanto à prioridade:

1.

Antes de cada uma das três operações citadas, deve-se realizar a operação que estiver dentro dos parênteses, colchetes ou chaves.
2.

A multiplicação pode ser indicada por × ou por um ponto · ou às vezes sem sinal, desde que fique clara a intenção da expressão.
3.

Muitas vezes devemos utilizar parênteses quando substituímos variáveis por valores negativos.

Exemplos:

1.

Consideremos P=2A+10 e tomemos A=5. Assim

P = 2.5+10 = 10+10 = 20

Aqui A é a variável da expressão, 5 é o valor numérico da variável e 20 é o valor numérico da expressão indicada por P. Observe que ao mudar o valor de A para 9, teremos:

A = 2.9 + 10 = 18 + 10 = 28

Se A=9, o valor numérico de P=2A+10 é igual a 28.
2.

Seja X=4A+2+B-7 e tomemos A=5 e B=7. Assim:

X = 4.5+2+7-7 = 20+2-0 = 22

Se A=5 e B=7, o valor numérico de X=4A+2+B-7, muda para 22.
3.

Seja Y=18-C+9+D+8C, onde C= -2 e D=1. Então:

Y = 18-(-2)+9+1+8(-2) = 18+2+9+1-16 = 30-16 = 14

Se C=-2 e D=1, o valor numérico de Y=18-C+9+D+8C, é 14.

Conclusão: O valor numérico de uma expressão algébrica é o valor obtido na expressão quando substituímos a variável por um valor numérico.

Exemplos:

1.

Um triângulo eqüilátero possui os três lados com mesma medida. Calcular o perímetro de um triângulo equilátero cujo lado mede 5 cm, sabendo-se que o perímetro de um triangulo equilátero pode ser representado por uma expressão algébrica da forma: P=a+a+a=3a. Substituindo a=5cm nesta expressão, obtemos P=3×5cm=15cm.

2.

Para obter a área do quadrado cujo lado mede 7cm, devemos usar a expressão algébrica para a área do quadrado de lado L que é A=L×L=L². Assim, se L=7cm, então A=7×7=49cm².

Observação: Mudando o valor do lado para L=8cm, o valor da área mudará para A=8×8=64cm².
3.

Escreva expressões algébricas para representar o perímetro de cada uma das figuras abaixo:

4.

Se a letra y representa um número natural, escreva a expressão algébrica que representa cada um dos seguintes fatos:
1.

O dobro desse número.
2.

O sucessor desse número.
3.

O antecessor desse número (se existir).
4.

Um terço do número somado com seu sucessor.
5.

Como caso particular do exercício anterior, tome y=9 e calcule o valor numérico:
1.

do dobro de y
2.

do sucessor de y
3.

do antecessor de y
4.

da terça parte de y somado com o sucessor de y
6.

Calcular a área do trapézio ilustrado na figura, sabendo-se que esta área pode ser calculada pela expressão algébrica A=(B+b)×h/2, onde B é a medida da base maior, b é a medida da base menor e h é a medida da altura.


Monômios e polinômios

São expressões matemáticas especiais envolvendo valores numéricos e literais, onde podem aparecer somente operações de adição, subtração ou multiplicação. Os principais tipos são apresentados na tabela:
Nome No.termos Exemplo
monômio um m(x,y) = 3 xy
binômio dois b(x,y) = 6 x²y - 7y
trinômio três f(x) = a x² + bx + c
polinômio vários p(x)=aoxn+a1xn-1+a2xn-2+...+an-1x+an

Identificação das expressões algébricas

Com muita frequência, as expressões algébricas aparecem na forma:

3x²y

onde se observa que ela depende das variáveis literais x e y, mas é importante identificá-las com nomes como:

p(x,y) = 3x²y

para deixar claro que esta é uma expressão algébrica que depende das variáveis x e y.

Esta forma de notação é muito útil e nos leva ao conceito de função de várias variáveis que é um dos conceitos mais importantes da Matemática.

Valor numérico de uma expressão algébrica identificada

É o valor obtido para a expressão, ao substituir as variáveis literais por valores numéricos.

Exemplo: Tomando p(x,y)=3x²y, então para x=7 e y=2 temos que:

p(7,2) = 3 × 7² × 2 = 294

Se alterarmos os valores de x e de y para x=-1 e y=5, teremos outro valor numérico:

p(-1,5) = 3 × (-1)² × 5 = 3 × 5 = 15

mas dependendo da mudança de x e de y, poderíamos ter o mesmo valor numérico que antes. Se x=-7 e y=2, teremos:

p(7,2) = 3 × (-7)² × 2 = 294

A regra dos sinais (multiplicação ou divisão)

(+1) x (+1) = +1 (+1) ÷ (+1) = +1
(+1) x (-1) = -1 (+1) ÷ (-1) = -1
(-1) x (+1) = -1 (-1) ÷ (+1) = -1
(-1) x (-1) = +1 (-1) ÷ (-1) = +1

Regras de potenciação

Para todos os números reais x e y diferentes de zero, e, m e n números inteiros, tem-se que:
Propriedades Alguns exemplos
xº=1 (x não nulo) 5º = 1
xm xn = xm+n 5².54 = 56
xm ym = (xy)m 5² 3² = 15²
xm ÷ xn = xm-n 520 ÷ 54 = 516
xm ÷ ym = (x/y)m 5² ÷ 3² = (5/3)²
(xm)n = xmn (53)² = 125² = 15625 = 56
xm÷n = (xm)1/n 53÷2 = (53)1/2 = 1251/2
x-m = 1 ÷ xm 5-3 = 1 ÷ 53 = 1/125
x-m/n = 1 ÷ (xm)1/n 5-3/2 = 1 ÷ (53)1/2= 1 ÷ (125)1/2

Eliminação de parênteses em Monômios

Para eliminar os parênteses em uma expressão algébrica, deve-se multiplicar o sinal que está fora (e antes) dos parênteses pelo sinal que está dentro (e antes) dos parênteses com o uso da regra dos sinais. Se o monômio não tem sinal, o sinal é o positivo. Se o monômio tem o sinal +, o sinal é o positivo.

Exemplos:

A = -(4x)+(-7x) = -4x-7x = -11x
B = -(4x)+(+7x) = -4x+7x = 3x
C = +(4x)+(-7x) = 4x-7x = - 3x
D = +(4x)+(+7x) = 4x+7x = 11x

Operações com expressões algébricas de Monômios

1.

Adição ou Subtração de Monômios

Para somar ou subtrair de monômios, devemos primeiramente eliminar os parênteses e depois realizar as operações.

Exemplos:
1.

A = -(4x)+(-7x) = -4x-7x = -11x
2.

B = -(4x)+(+7x) = -4x+7x = 3x
3.

C = +(4x)+(-7x) = 4x-7x = -3x
4.

D = +(4x)+(+7x) = 4x+7x = 11x
2.

Multiplicação de Monômios

Para multiplicar monômios, deve-se primeiramente multiplicar os valores numéricos observando com muito cuidado a regra de multiplicação dos sinais, multiplicar as potências literais de mesma base e escrever a resposta de uma forma simplificada:

Exemplos:
1.

A = -(4x²y).(-2xy) = +8x³y²
2.

B = -(4x²y).(+2xy) = -8x³y²
3.

C = +(4x²y).(-2xy) = -8x³y²
4.

D = +(4x²y).(+2xy) = +8x³y²
3.

Divisão de Monômios

Para dividir monômios, deve-se primeiramente dividir os valores numéricos observando com muito cuidado a regra de divisão dos sinais, dividir as potências literais de mesma base e escrever a resposta de uma forma simplificada:

Exemplos:
1.

A = -(4x²y)÷(-2xy) = 2x
2.

B = -(4x²y)÷(+2xy) = -2x
3.

C = +(4x²y)÷(-2xy) = -2x
4.

D = +(4x²y)÷(+2xy) = 2x
4.

Potenciação de Monômios

Para realizar a potenciação de um monômio, deve-se primeiramente realizar a potenciação do valor numérico levando em consideração o sinal, tomar as potências literais e escrever a resposta de uma forma simplificada:

Exemplos:
1.

A =(+4x²y)³= 4³ x²y x²y ²y = 256 x6 y³
2.

B =(-4x²y)³ = -4³x²y x²y x²y = -256x6 y³


Alguns Produtos notáveis

No link Produtos Notáveis, existem outros trinta (30) produtos notáveis importantes.

1.

Quadrado da soma de dois termos

Sabemos que x²=x.x, y²=y.y, mas não é verdade que

x² + y² = (x+y)²

a menos que um dos dois termos seja nulo. Este é um erro muito comum, mas o correto é:

(x+y)² = x² + 2xy + y²

Isto significa que o quadrado da soma de dois números sem sempre é igual à soma dos quadrados desses números.

Existe um algoritmo matemático que permite obter o quadrado da soma de x e y, e este algoritmo é semelhante àquele que permite obter o quadrado de um número com dois dígitos. Por exemplo, o número 13 pode ser decomposto em 10+3:
x+y
x+y
+xy+y²
x²+xy
x²+2xy+y²
Compare
as duas
operações
10+3
10-3
+10.3+3²
10²+10.3
10²+2.10.3+3²

Assim temos que o quadrado da soma de dois termos x e y, é a soma do quadrado do primeiro termo com o quadrado do segundo termo e com o dobro do produto do primeiro termo pelo segundo termo. Em resumo:

(x+y)² = x² + 2xy + y²

Exemplos:

(x+8)² = x²+2.x.8+8² = x²+16x+64
(3k+y)² = (3k)²+2.3k.y+y² = 9k²+6ky+y²
(1+x/5)² = 1+ 2x/5 +x²/25

Exercícios: Desenvolver as expressões:

(a+8)² =
(4y+2)² =
(9k/8 +3)² =

Pensando um pouco:
1.

Se (x+7)²=x²+[ ]+49, qual é o termo que deve ser colocado no lugar de [ ]?
2.

Se (5a+[ ])² = 25a²+30a+[ ], quais são os termos que devem ser colocados nos lugares de [ ]?
3.

Se ([ ]+9)² = x²+[ ]+81, quais são os termos que devem ser colocados nos lugares de [ ]?
4.

Se (4b+[ ])² = l6b²+36b+[ ], substitua os [ ] por algo coerente.
5.

Se (c+8)²=c²+[ ]+[ ], substitua os [ ] por algo coerente.
2.

Quadrado da diferença de dois termos

Como um caso particular da situação anterior, o quadrado da diferença de x e y é igual ao quadrado de x somado com o quadrado de y menos duas vezes xy. Resumindo:

(x-y)² = x² - 2xy + y²

Exemplos:

(x-4)² = x²-2.x.4+4² = x²-8x+16
(9-k)² = 9²-2.9.k+k² = 81-18k+k²
(2/y -x)² = (2/y)²-2.(2/y).x+x²

Exercícios: Complete o que falta.

(5x-9)² =[ ]
(k-6s)² =[ ]
(p-[ ])² = p²-10p+[ ]

3.

Produto da soma pela diferença de dois termos

Vamos utilizar o mesmo algoritmo já usado para o produto da soma de dois termos.
x+y
x-y
-xy-y²
x²+xy
x² -y²
Compare
as duas
operações
10+3
10-3
-10.3-3²
10²+10.3
10² - 3²

Em geral, o produto da soma de x e y pela diferença entre x e y é igual ao quadrado de x menos o quadrado de y.

(x+y)(x-y) = x² - y²

Exemplos:

(x+2)(x-2) = x²-2x+2x-4 = x²-4
(g-8)(g+8) = g²-8g+8g-64 = g²-64
(k-20)(k+20) = k²-400
(9-z)(9+z) = 81-z²

Exercícios: Complete as expressões:

(6-m)(6+m) =
(b+6)(b-6) =
(6+b)(b-6) =

TEORIA DOS CONJUNTOS




Origem
Georg Cantor.

A teoria teve seu início com a publicação em 1874 de um trabalho de Cantor que tratava sobre a comparação de coleções infinitas. O trabalho apresentava uma forma de comparar conjuntos infinitos pelo "casamento" 1-1 entre os elementos destes conjuntos.

Desde 1638, com Galileu Galilei, sabe-se que se pode obter uma correspondência 1-1 entre os números inteiros e seus quadrados, o que violava a concepção euclidiana de que o todo é sempre maior que qualquer uma de suas partes.

Esta aplicação da correspondência 1-1 permitiu a Cantor introduzir um método de diagonalização, que por contradição, permitia provar que o conjunto dos números reais não tinha correspondência 1-1 com o conjunto dos números inteiros. Isto, mais tarde, levou ao desenvolvimento do conceito de contínuo por Richard Dedekind.

Iniciando com estas descobertas, Cantor acabou desenvolvendo uma teoria dos conjuntos abstratos, que constitui-se em uma generalização do conceito de conjunto.

ENSINO MÉDIO
Teoria dos Conjuntos No estudo de Conjuntos, trabalhamos com alguns conceitos primitivos, que devem ser entendidos e aceitos sem definição. Para um estudo mais aprofundado sobre a Teoria dos Conjuntos, pode-se ler: Naive Set Theory, P.Halmos ou Axiomatic Set Theory, P.Suppes. O primeiro deles foi traduzido para o português sob o título (nada ingênuo de): Teoria Ingênua dos Conjuntos.


Alguns conceitos primitivos

Conjunto: representa uma coleção de objetos.

  1. O conjunto de todos os brasileiros.

  2. O conjunto de todos os números naturais.

  3. O conjunto de todos os números reais tal que x²-4=0.

Em geral, um conjunto é denotado por uma letra maiúscula do alfabeto: A, B, C, ..., Z.

Elemento: é um dos componentes de um conjunto.

  1. José da Silva é um elemento do conjunto dos brasileiros.

  2. 1 é um elemento do conjunto dos números naturais.

  3. -2 é um elemento do conjunto dos números reais que satisfaz à equação x²-4=0.

Em geral, um elemento de um conjunto, é denotado por uma letra minúscula do alfabeto: a, b, c, ..., z.

Pertinência: é a característica associada a um elemento que faz parte de um conjunto.

  1. José da Silva pertence ao conjunto dos brasileiros.

  2. 1 pertence ao conjunto dos números naturais.

  3. -2 pertence ao conjunto de números reais que satisfaz à equação x²-4=0.

Símbolo de pertinência: Se um elemento pertence a um conjunto utilizamos o símbolo in que se lê: "pertence".

Para afirmar que 1 é um número natural ou que 1 pertence ao conjunto dos números naturais, escrevemos:

1 in N

Para afirmar que 0 não é um número natural ou que 0 não pertence ao conjunto dos números naturais, escrevemos:

0 notin N

Um símbolo matemático muito usado para a negação é a barra / traçada sobre o símbolo normal.


Algumas notações para conjuntos

Muitas vezes, um conjunto é representado com os seus elementos dentro de duas chaves { e } através de duas formas básicas e de uma terceira forma geométrica:

Apresentação: Os elementos do conjunto estão dentro de duas chaves { e }.

  1. A={a,e,i,o,u}

  2. N={1,2,3,4,...}

  3. M={João,Maria,José}

Descrição: O conjunto é descrito por uma ou mais propriedades.

  1. A={x: x é uma vogal}

  2. N={x: x é um número natural}

  3. M={x: x é uma pessoa da família de Maria}

Diagrama de Venn-Euler: (lê-se: "Ven-óiler") Os conjuntos são mostrados graficamente.


Subconjuntos

Dados os conjuntos A e B, diz-se que A está contido em B, denotado por AsubsetB, se todos os elementos de A também estão em B. Algumas vezes diremos que um conjunto A está propriamente contido em B, quando o conjunto B, além de conter os elementos de A, contém também outros elementos. O conjunto A é denominado subconjunto de B e o conjunto B é o superconjunto que contém A.


Alguns conjuntos especiais

Conjunto vazio: É um conjunto que não possui elementos. É representado por { } ou por Ø. O conjunto vazio está contido em todos os conjuntos.

Conjunto universo: É um conjunto que contém todos os elementos do contexto no qual estamos trabalhando e também contém todos os conjuntos desse contexto. O conjunto universo é representado por uma letra U. Na sequência não mais usaremos o conjunto universo.


Reunião de conjuntos

A reunião dos conjuntos A e B é o conjunto de todos os elementos que pertencem ao conjunto A ou ao conjunto B.

A B = { x: x A ou x B }

Exemplo: Se A={a,e,i,o} e B={3,4} então AB={a,e,i,o,3,4}.


Interseção de conjuntos

A interseção dos conjuntos A e B é o conjunto de todos os elementos que pertencem ao conjunto A e ao conjunto B.

A B = { x: x A e x B }

Exemplo: Se A={a,e,i,o,u} e B={1,2,3,4} então AB=Ø.

Quando a interseção de dois conjuntos A e B é o conjunto vazio, dizemos que estes conjuntos são disjuntos.


Propriedades dos conjuntos

  1. Fechamento: Quaisquer que sejam os conjuntos A e B, a reunião de A e B, denotada por AB e a interseção de A e B, denotada por AB, ainda são conjuntos no universo.

  2. Reflexiva: Qualquer que seja o conjunto A, tem-se que:

    A A = A e A A = A

  3. Inclusão: Quaisquer que sejam os conjuntos A e B, tem-se que:

    A subset A B, B subset A B, A B subset A, A B subset B

  4. Inclusão relacionada: Quaisquer que sejam os conjuntos A e B, tem-se que:

    A subset B equivale a A B = B
    A subset B equivale a A B = A

  5. Associativa: Quaisquer que sejam os conjuntos A, B e C, tem-se que:

    A (B C) = (A B) C
    A (B C) = (A B) C

  6. Comutativa: Quaisquer que sejam os conjuntos A e B, tem-se que:

    A B = B A
    A B = B A

  7. Elemento neutro para a reunião: O conjunto vazio Ø é o elemento neutro para a reunião de conjuntos, tal que para todo conjunto A, se tem:

    A Ø = A

  8. Elemento "nulo" para a interseção: A interseção do conjunto vazio Ø com qualquer outro conjunto A, fornece o próprio conjunto vazio.

    A Ø = Ø

  9. Elemento neutro para a interseção: O conjunto universo U é o elemento neutro para a interseção de conjuntos, tal que para todo conjunto A, se tem:

    A U = A

  10. Distributiva: Quaisquer que sejam os conjuntos A, B e C, tem-se que:

    A (B C ) = (A B) (A C)
    A (B C) = (A B) (A C)

    Os gráficos abaixo mostram a distributividade.


Diferença de conjuntos

A diferença entre os conjuntos A e B é o conjunto de todos os elementos que pertencem ao conjunto A e não pertencem ao conjunto B.

A-B = {x: x A e x B}

Do ponto de vista gráfico, a diferença pode ser vista como:


Complemento de um conjunto

O complemento do conjunto B contido no conjunto A, denotado por CAB, é a diferença entre os conjuntos A e B, ou seja, é o conjunto de todos os elementos que pertencem ao conjunto A e não pertencem ao conjunto B.

CAB = A-B = {x: x A e x B}

Graficamente, o complemento do conjunto B no conjunto A, é dado por:

Quando não há dúvida sobre o universo U em que estamos trabalhando, simplesmente utilizamos a letra c posta como expoente no conjunto, para indicar o complemento deste conjunto. Muitas vezes usamos a palavra complementar no lugar de complemento.

Exemplos: Øc=U e Uc=Ø.


Leis de Augustus De Morgan

  1. O complementar da reunião de dois conjuntos A e B é a interseção dos complementares desses conjuntos.

    (A B)c = Ac Bc

  2. O complementar da reunião de uma coleção finita de conjuntos é a interseção dos complementares desses conjuntos.

    (A1 A2 ... An)c = A1c A2c ... Anc

  3. O complementar da interseção de dois conjuntos A e B é a reunião dos complementares desses conjuntos.

    (A B)c = Ac Bc

  4. O complementar da interseção de uma coleção finita de conjuntos é a reunião dos complementares desses conjuntos.

    (A1 A2 ... An)c = A1c A2c ... Anc


Diferença simétrica

A diferença simétrica entre os conjuntos A e B é o conjunto de todos os elementos que pertencem à reunião dos conjuntos A e B e não pertencem à interseção dos conjuntos A e B.

AB = { x: xAB e xAB }

O diagrama de Venn-Euler para a diferença simétrica é:


Exercício: Dados os conjuntos A, B e C, pode-se mostrar que:

  1. A=Ø se, e somente se, B=AB.

  2. O conjunto vazio é o elemento neutro para a operação de diferença simétrica. Usar o ítem anterior.

  3. A diferença simétrica é comutativa.

  4. A diferença simétrica é associativa.

  5. AA=Ø (conjunto vazio).

  6. A interseção entre A e BC é distributiva, isto é:

    A (B C) = (A B) (A C)

  7. A B está contida na reunião de AC e de BC, mas esta inclusão é própria, isto é:

    A B subset (A C) (B C)