domingo, 13 de dezembro de 2009

REGRA DE TRES SIMPLES E COMPOSTA




REGRA DE TRÊS SIMPLES


Regra de três simples é um processo prático para resolver problemas que envolvam quatro valores dos quais conhecemos três deles. Devemos, portanto, determinar um valor a partir dos três já conhecidos.

Passos utilizados numa regra de três simples:

1º) Construir uma tabela, agrupando as grandezas da mesma espécie em colunas e mantendo na mesma linha as grandezas de espécies diferentes em correspondência.

2º) Identificar se as grandezas são diretamente ou inversamente proporcionais.

3º) Montar a proporção e resolver a equação.

Exemplos:

1) Com uma área de absorção de raios solares de 1,2m², uma lancha com motor movido a energia solar consegue produzir 400 watts por hora de energia. Aumentando-se essa área para 1,5m², qual será a energia produzida?

Solução: montando a tabela:

Área (m²) Energia (Wh)
1,2--------400
1,5-------- x

Identificação do tipo de relação:

Área--------Energia
1,2---------400↓
1,5---------- X↓



Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x (2ª coluna).
Observe que: Aumentando a área de absorção, a energia solar aumenta.
Como as palavras correspondem (aumentando - aumenta), podemos afirmar que as grandezas são diretamente proporcionais. Assim sendo, colocamos uma outra seta no mesmo sentido (para baixo) na 1ª coluna. Montando a proporção e resolvendo a equação temos:


Área--------Energia
1,2---------400↓
1,5-----------x↓


1,2X = 400.1,5


x= 400.1,5 / 1,2

x= 500

Logo, a energia produzida será de 500 watts por hora.


2) Um trem, deslocando-se a uma velocidade média de 400Km/h, faz um determinado percurso em 3 horas. Em quanto tempo faria esse mesmo percurso, se a velocidade utilizada fosse de 480km/h?

Solução: montando a tabela:

Velocidade (Km/h) Tempo (h)
400-----------------3
480---------------- x

Identificação do tipo de relação:

velocidade----------tempo
400↓-----------------3↑
480↓---------------- x↑

Obs: como as setas estão invertidas temos que inverter os números mantendo a primeira coluna e invertendo a segunda coluna ou seja o que esta em cima vai para baixo e o que esta em baixo na segunda coluna vai para cima

velocidade----------tempo
400↓-----------------X↓
480↓---------------- 3↓



480X = 400 . 3

x = 400 . 3 / 480

X = 2,5


Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x
(2ª coluna).
Observe que: Aumentando a velocidade, o tempo do percurso diminui.
Como as palavras são contrárias (aumentando - diminui), podemos afirmar que as grandezas são inversamente proporcionais. Assim sendo, colocamos uma outra seta no sentido contrário (para cima) na 1ª coluna. Montando a proporção e resolvendo a equação temos:

Logo, o tempo desse percurso seria de 2,5 horas ou 2 horas e 30 minutos.


3) Barbara comprou 3 camisetas e pagou R$120,00. Quanto ela pagaria se comprasse 5 camisetas do mesmo tipo e preço?

Solução: montando a tabela:

Camisetas----preço (R$)
3------------- 120
5---------------x

3x=5.120

o três vai para o outro lado do igual dividindo

x = 5.120/3

x= 200


Observe que: Aumentando o número de camisetas, o preço aumenta.
Como as palavras correspondem (aumentando - aumenta), podemos afirmar que as grandezas são diretamente proporcionais. Montando a proporção e resolvendo a equação temos:



Logo, a Barbara pagaria R$200,00 pelas 5 camisetas.


4) Uma equipe de operários, trabalhando 8 horas por dia, realizou determinada obra em 20 dias. Se o número de horas de serviço for reduzido para 5 horas, em que prazo essa equipe fará o mesmo trabalho?

Solução: montando a tabela:

Horas por dia-----Prazo para término (dias)

8↑------------------------20↓
5↑------------------------x ↓

invertemos os termos

Horas por dia-----Prazo para término (dias)

8↑-------------------------x↑
5↑------------------------20↑


5x = 8. 20

passando-se o 5 para o outro lado do igual dividindo temos:

5x = 8. 2 / 5

x = 32

Observe que: Diminuindo o número de horas trabalhadas por dia, o prazo para término aumenta.
Como as palavras são contrárias (diminuindo - aumenta), podemos afirmar que as grandezas são inversamente proporcionais. Montando a proporção e resolvendo a equação temos:



EXERCICIOS


1) Uma roda dá 80 voltas em 20 minutos. Quantas voltas dará em 28 minutos? (R:112)

2) Com 8 eletricistas podemos fazer a instalação de uma casa em 3 dias. Quantos dias levarão 6 eletricistas para fazer o mesmo trabalho? (R: 4)

3) Com 6 pedreiros podemos construir um a parede em 8 dias. Quantos dias gastarão 3 pedreiros para fazer a mesma parede? (R:16)

4) Uma fabrica engarrafa 3000 refrigerantes em 6 horas. Quantas horas levará para engarrafar 4000 refrigerantes? (R: 8)

5) Quatro marceneiros fazem um armário em 18 dias. Em quantos dias 9 marceneiros fariam o mesmo armário? (R:8)

6) Trinta operários constroem uma casa em 120 dias. Em quantos dias 40 operários construiriam essa casa? (R: 90)

7) Uma torneira despeja em um tanque 50 litros de água em 20 minutos. Quantas horas levará para despejar 600 litros? (R: 4)

8) Na construção de uma escola foram gastos 15 caminhões de 4 m³ de areia. Quantos caminhões de 6 m³ seriam necessários para fazer o mesmo trabalho? (R: 10)

9) Com 14 litros de tinta podemos pintar uma parede de 35 m². Quantos litros são necessários para pintar uma parede de 15 m²? (R: 6)

10) Um ônibus, a uma velocidade média de 60 km/h, fez um percurso em 4 horas. Quanto levará, aumentando a velocidade média para 80 km/h? (R:3)

11) Para se obterem 28 kg de farinha, são necessários 40 kg de trigo. Quantos quilogramas do mesmo trigo são necessários para se obterem 7 kg de farinha? (R:10)

12) Cinco pedreiros fazem uma casa em 30 dias. Quantos dias levarão 15 pedreiros para fazer a mesma casa? (R:10)

13) Uma máquina produz 100 peças em 25 minutos. Quantoas peças produzirá em 1 hora? (R:240)

14) Um automóvel faz um percurso de 5 horas à velocidade média de 60 km/h. Se a velocidade fosse de 75 km /h quantas horas gastaria para fazer o mesmo percurso? (R:4)

15)Uma maquina fabrica 5000 alfinetes em 2 horas. Qauntos alfinetes ela fabricará em 7 horas? (R:17.500)

16) Quatro quilogramas de um produto químico custam R$ 24.000,00 quanto custarão 7,2 Kg desse mesmo produto? (R:43.200,00)

17) Oito operarios fazem um casa em 30 dias. quantos dias gastarão 12 operários para fazer a mesma casa? (R:20)

18) Uma torneira despeja 2700 litros de água em 1 hora e meia. Quantos litros despeja em 14 minutos? (R: 420)

19) Quinze homens fazem um trabalho em 10 dias, desejando-se fazer o mesmo trabalho em 6 dias, quantos homens serão necessários? (R:25)

20) Um ônibus, à velocidade de 90 Km/h, fez um percurso em 4 horas. Quanto tempo levaria se aumentasse a velocidade para 120 Km/h? (R: 3)

21) Num livro de 270 páginas, há 40 linhas em cada página. Se houvesse 30 linhas, qual seria o número de páginas desse livro? (R:360)





REGRA DE TRÊS COMPOSTA


regra de três composta é utilizada em problemas com mais de duas grandezas, direta ou inversamente proporcionais.

Exemplos:

1) Em 8 horas, 20 caminhões descarregam 160m3 de areia. Em 5 horas, quantos caminhões serão necessários para descarregar 125m3?

Solução: montando a tabela, colocando em cada coluna as grandezas de mesma espécie e, em cada linha, as grandezas de espécies diferentes que se correspondem:
Horas --------caminhões-----------volume
8↑----------------20↓----------------------160↑
5↑------------------x↓----------------------125↑

A seguir, devemos comparar cada grandeza com aquela onde está o x.
Observe que:
Aumentando o número de horas de trabalho, podemos diminuir o número de caminhões. Portanto a relação é inversamente proporcional (seta para cima na 1ª coluna).
Aumentando o volume de areia, devemos aumentar o número de caminhões. Portanto a relação é diretamente proporcional (seta para baixo na 3ª coluna). Devemos igualar a razão que contém o termo x com o produto das outras razões de acordo com o sentido das setas.
Montando a proporção e resolvendo a equação temos:

Horas --------caminhões-----------volume
8↑----------------20↓----------------------160↑
5↑------------------x↓----------------------125↑


20/ x = 160/125 . 5/8 onde os temos da ultima fração foram invertidos

simplificando fica

20/x = 4/5

4x = 20 . 5

4x = 100

x = 100 / 4

x = 25

Logo, serão necessários 25 caminhões

2) Numa fábrica de brinquedos, 8 homens montam 20 carrinhos em 5 dias. Quantos carrinhos serão montados por 4 homens em 16 dias?
Solução: montando a tabela:



Homens----- carrinhos------ dias
8-----------------20--------------5
4-------------------x-------------16

Observe que:
Aumentando o número de homens, a produção de carrinhos aumenta. Portanto a relação é diretamente proporcional (não precisamos inverter a razão).
Aumentando o número de dias, a produção de carrinhos aumenta. Portanto a relação também é diretamente proporcional (não precisamos inverter a razão). Devemos igualar a razão que contém o termo x com o produto das outras razões.
Montando a proporção e resolvendo a equação temos:

20/x= 8/4 . 5/16

20 / x = 40 / 64

40x = 20 . 64

40 x = 1280

x = 1280 / 40

x = 32

Logo, serão montados 32 carrinhos



EXERCICIOS


1) Uma olaria produz 1470 tijolos em 7 dias, trabalhando 3 horas por dia. Quantos tijolos produzirão em 10 dias, trabalhando 8 horas por dia? (R=5600)

2) Oitenta pedreiros constroem 32m de muro em 16 dias. Quantos pedreiros serão necessários para construir 16 m de muro em 64 dias? (R=10)

3) Um ônibus percorre 2232 km em 6 dias, correndo 12 horas por dia. Quantos quilômetros percorrerão em 10 dias, correndo 14 horas por dia? (R=4340)

4) Numa fábrica, 12 operários trabalhando 8 horas por dia conseguem fazer 864 caixas de papelão. Quantas caixas serão feitas por 15 operários que trabalhem 10 horas por dia? (R=1350)

5) Vinte máquinas, trabalhando 16 horas por dia, levam 6 dias para fazer um trabalho. Quantas máquinas serão necessárias para executar o mesmo serviço, se trabalharem 20 horas por dia durante 12 dias? (R=8)

6) Numa indústria têxtil, 8 alfaiates fazem 360 camisas em 3 dias quantos alfaiates são necessários para que sejam feitas 1080 camisas em 12 dias ? (R=6)

7) Um ciclista percorre 150 km em 4 dias pedalando 3 horas por dia. Em quantos dias faria uma viagem de 400 km, pedalando 4 horas por dia? (R=8)

8) Uma máquina fabricou 3200 parafusos, trabalhando 12 horas por dia durante 8 dias. Quantas horas deverá trabalhar por dia para fabricar 5000 parafusos em 15 dias? (R=10)

9) Três torneiras enchem uma piscina em 10 horas. Quantas horas levarão 10 torneiras para encher 2 piscinas? (R: 6 horas.)

10) Uma equipe composta de 15 homens extrai, em 30 dias, 3,6 toneladas de carvão. Se for aumentada para 20 homens, em quantos dias conseguirão extrair 5,6 toneladas de carvão? (R: 35 dias).

11) Vinte operários, trabalhando 8 horas por dia, gastam 18 dias para construir um muro de 300m. Quanto tempo levará uma turma de 16 operários, trabalhando 9 horas por dia, para construir um muro de 225m? (R: 15 dias.)

12) Um caminhoneiro entrega uma carga em um mês, viajando 8 horas por dia, a uma velocidade média de 50 km/h. Quantas horas por dia ele deveria viajar para entregar essa carga em 20 dias, a uma velocidade média de 60 km/h? (R: 10 horas por dia.)

13) Com uma certa quantidade de fio, uma fábrica produz 5400m de tecido com 90cm de largura em 50 minutos. Quantos metros de tecido, com 1 metro e 20 centímetros de largura, seriam produzidos em 25 minutos? (R: 2025 metros.)

calculo dos juros compostos

No mercado financeiro o regime de juros compostos é o mais comum, neste processo os juros de um dado período entram no cálculo do capital inicial para o cálculo dos juros de um período seguinte. De uma maneira simples podemos dizer que ocorrem juros sobre juros.
A equação que descreve este tipo de atividade é explicitada da seguinte forma:



onde:
M = Montante;
P = Capital Inicial;
i = taxa de juros (em percentual);
n = número de períodos;
Atenção: A taxa de juros “i” deve ser expressa na mesma medida de tempo do período “n”, por exemplo uma taxa de juros ao mês para “n” meses.
Para compreender melhor, veja o exemplo:
Qual o montante ao final de 1 ano de um capital inicial de R$ 6000,00 aplicado num sistema financeiro de juros compostos e taxa de 3,5% a.m.?
P = R$6.000,00
t = 1 ano = 12 meses
i = 3,5 % a.m. = 0,035
M = ?
Usando a fórmula M=P.(1+i)n, obtemos:
M = 6000.(1+0,035)12 = 6000. (1,035)12
Ou seja, o Montante ao final do período indicado é de R$ 9.054,00.

domingo, 8 de novembro de 2009

JUROS - SIMPLES E COMPOSTOS

MATEMÁTICA FINANCEIRA
JUROS SIMPLES
O regime de juros será simples quando o percentual de juros incidir apenas sobre o valor principal. Sobre os juros gerados a cada período não incidirão novos juros. Valor Principal ou simplesmente principal é o valor inicial emprestado ou aplicado, antes de somarmos os juros. Transformando em fórmula temos:


Onde:
J = juros
P = principal (capital)
i = taxa de juros
n = número de períodos
Exemplo: Temos uma dívida de R$ 1000,00 que deve ser paga com juros de 8% a.m. pelo regime de juros simples e devemos pagá-la em 2 meses. Os juros que pagarei serão:
J = 1000 x 0.08 x 2 = 160
Ao somarmos os juros ao valor principal temos o montante.
Montante = Principal + Juros
Montante = Principal + ( Principal x Taxa de juros x Número de períodos )




Exemplo: Calcule o montante resultante da aplicação de R$70.000,00 à taxa de 10,5% a.a. durante 145 dias.
SOLUÇÃO:
M = P . ( 1 + (i.n) )
M = 70000 [1 + (10,5/100).(145/360)] = R$72.960,42
Observe que expressamos a taxa i e o período n, na mesma unidade de tempo, ou seja, anos. Daí ter dividido 145 dias por 360, para obter o valor equivalente em anos, já que um ano comercial possui 360 dias.
________________________________________
Exercícios sobre juros simples:
1) Calcular os juros simples de R$ 1200,00 a 13 % a.t. por 4 meses e 15 dias.
0.13 / 3 = 0.0433.. implica que 13% a.t. equivale a 4,33..% a.m.
4 m 15 d = 4,5 m, pois 15 dias significa 0,5 m.
Então j = 1200 x 0.0433..x 4,5 = 234
2 - Calcular os juros simples produzidos por R$40.000,00, aplicados à taxa de 36% a.a., durante 125 dias.
Temos: J = P.i.n
A taxa de 36% a.a. equivale a 0,36/360 = 0,001 a.d.
Agora, como a taxa e o período estão referidos à mesma unidade de tempo, ou seja, dias, poderemos calcular diretamente:
J = 40000.0,001.125 = R$5000,00
3 - Qual o capital que aplicado a juros simples de 1,2% a.m. rende R$3.500,00 de juros em 75 dias?
Temos imediatamente: J = P.i.n ou seja: 3500 = P.(1,2/100).(75/30)
Observe que expressamos a taxa i e o período n em relação à mesma unidade de tempo, ou seja, meses. Logo,
3500 = P. 0,012 x 2,5 = P . 0,030;
Daí, vem: P = 3500 / 0,030 = R$116.666,67
4 - Se a taxa de uma aplicação é de 150% ao ano, quantos meses serão necessários para dobrar um capital aplicado através de capitalização simples?

Objetivo: M = 2.P
Dados: i = 150/100 = 1,5
Fórmula: M = P (1 + i . n)
Desenvolvimento:
2P = P (1 + 1,5 n)
2 = 1 + 1,5 n
n = 2/3 ano = 8 meses
JUROS COMPOSTOS
O regime de juros compostos é o mais comum no sistema financeiro e portanto, o mais útil para cálculos de problemas do dia-a-dia. Os juros gerados a cada período são incorporados ao principal para o cálculo dos juros do período seguinte.
Chamamos de capitalização o momento em que os juros são incorporados ao principal. Após três meses de capitalização, temos:
1º mês: M =P.(1 + i)
2º mês: o principal é igual ao montante do mês anterior: M = P x (1 + i) x (1 + i)
3º mês: o principal é igual ao montante do mês anterior: M = P x (1 + i) x (1 + i) x (1 + i)
Simplificando, obtemos a fórmula:



Importante: a taxa i tem que ser expressa na mesma medida de tempo de n, ou seja, taxa de juros ao mês para n meses.
Para calcularmos apenas os juros basta diminuir o principal do montante ao final do período:



Exemplo:
Calcule o montante de um capital de R$6.000,00, aplicado a juros compostos, durante 1 ano, à taxa de 3,5% ao mês.

Resolução:
P = R$6.000,00
t = 1 ano = 12 meses
i = 3,5 % a.m. = 0,035
M = ?
Usando a fórmula M=P.(1+i)n, obtemos:
M = 6000.(1+0,035)12 = 6000. (1,035)12 = 6000.1,511 = 9066,41.
Portanto o montante é R$9.066,41
Relação entre juros e progressões
No regime de juros simples:
M( n ) = P + P.i.n ==> P.A. começando por P e razão J = P.i.n

No regime de juros compostos:
M( n ) = P . ( 1 + i ) n ==> P.G. começando por P e razão ( 1 + i ) n
Portanto:
• num regime de capitalização a juros simples o saldo cresce em progressão aritmética
• num regime de capitalização a juros compostos o saldo cresce em progressão geométrica

quarta-feira, 14 de outubro de 2009

EXPOSIÇÃO MATEMATICA E LITERATURA -PROJETO RAIZES LITERÁRIAS


Este projeto foi desenvolvido com a disciplina de Literatura, pelas turmas 21 e 22 da Escola Estadual de Ensino Médio 9 de Maio - Imbé - RS - Brasil.
As figuras geométricas, fórmulas trabalhadas em Matematica, deram origem as poesias feitas pelos alunos em Literatura.














segunda-feira, 12 de outubro de 2009

MATRIZES ESPECÍFICAS


Uma matriz recebe certo tipo de nome dependendo da quantidade de elementos em suas linhas e colunas ou apenas por características específicas.

►Matriz linhas

Recebe o nome de Matriz linha toda matriz que possui apenas uma linha. O número de colunas é independente. Por exemplo:

[-5 1 2]1 x 3

►Matriz coluna

Recebe o nome de Matriz coluna toda matriz que possuir apenas uma coluna. O número de linhas é independente. Por exemplo:



►Matriz nula

Recebe o nome de Matriz nula toda matriz que independentemente do número de linhas e colunas todos os seus elementos são iguais a zero. Por exemplo:


Podendo ser representada por 3 x 2.
►Matriz quadrada
Matriz quadrada é toda matriz que o número de colunas é o mesmo do número de linhas. Por exemplo:

Quando a matriz é quadrada nela podemos perceber a presença de uma diagonal secundária e uma diagonal principal.


►Matriz diagonal

Será uma matriz diagonal, toda matriz quadrada que os elementos que não pertencem à diagonal principal sejam iguais a zero. Sendo que os elementos da diagonal principal podem ser iguais a zero ou não. Por exemplo:



►Matriz identidade

Para que uma matriz seja matriz identidade ela tem que ser quadrada e os elementos que pertencerem à diagonal principal devem ser iguais a 1 e o restante dos elementos iguais a zero. Veja o exemplo:



►Matriz oposta

Dada uma matriz B, a matriz oposta a ela é - B. Se tivermos uma matriz:


A matriz oposta a ela é:



Concluímos que, para encontrar a matriz oposta de uma matriz qualquer basta trocar os sinais dos elementos.

►Matrizes iguais ou igualdade de matrizes

Dada uma matriz A e uma matriz B, as duas poderão ser iguais se somente seus elementos correspondentes forem iguais.


As matrizes A e B são iguais, pois seus elementos correspondentes são iguais

segunda-feira, 5 de outubro de 2009

BHASKARA

O hábito de dar nome de Bhaskara para a fórmula de resolução da equação de 2ºgrau se estabeleceu no Brasil por volta de 1960. Esse costume, aparentemente só brasileiro (não se encontra o nome de Bhaskara para essa fórmula na literatura internacional), não é adequado, pois:
Problemas que recaem numa equação de 2º grau já apareciam, há quase 4.000 anos, em textos escritos pelos babilônicos. Nestes textos o que se tinha era uma receita (escrita em prosa, sem uso de símbolos) que ensinava como proceder para determinar as raízes em exemplos concretos com coeficientes numéricos;
Bhaskara que nasceu na Índia em 1.114 e viveu cerca de 1.185 e foi um dos mais importantes matemáticos do século XII. As duas coleções de seus trabalhos mais conhecidas são Lilavati ("bela") e Vijaganita ("extração de raízes"), que tratam de aritmética e álgebra respectivamente, e contêm numerosos problemas sobre equações de lineares e quadráticas (resolvidas também com receitas em prosa), progressões aritméticas e geométricas, radicais, tríadas pitagóricas e outros.
Até o fim do século XVI não se usava uma fórmula para obter as raízes de uma equação do 2º grau, simplesmente porque não se representavam por letras os coeficientes de uma equação. Isso só começou a ser feito a partir da François Viéte, matemático francês que viveu de 1540 a 1603.
Logo, embora não se deva negar a importância e a riqueza da obra de Bhaskara, não é correto atribuir a ele a conhecida fórmula de resolução da equação de 2º grau.


A FÓRMULA DA EQUAÇÃO DO 2º GRAU
A ideia é completar o trinômio ax2 + bx + c de modo a fatorá-lo num quadrado perfeito:
ax² + bx + c = 0, inicialmente multiplicamos a igualdade por 4a,

4a²x² + 4abx + 4ac = 0, agora somamos b2 aos dois lados da igualdade:

· 4a²x² + 4abx + 4ac + b² = b²


Passamos 4ac para o segundo membro



· 4a²x² + 4abx + b² = b² - 4ac

Fatoramos o trinômio 4a2x2 + 4abx + b2

· (2ax + b) 2 = b2 - 4ac

Utilizamos a operação inversa da potenciação




· 2ax + b =

Passamos o termo b para o segundo membro

· 2ax = - b

Passamos 2a para o segundo termo usando a operação inversa



Obtemos a fórmula para calcularar as raízes de uma equação do 2º grau.


Fontes:

www.sandroatini.sites.uol.com.br/bhaskara.htm
Revista do Professor de Matemática - nº 39

sábado, 19 de setembro de 2009

ANO LUZ

SAIBA MAIS:

Um ano luz equivale a cerca de 9,6 trilhões de quilômetros.
Como comparação, o diâmetro da Via Láctea é de aproximadamente 100 mil anos luz.

NÚMEROS COMPLEXOS

1. Definições
Vimos na resolução de uma equação do 2º grau que se o discriminante é negativo, ela não admite raízes reais.
Por exemplo, a equação x² + 9 = 0não admite raízes reais. Se usarmos os métodos que conhecemos para resolvê-la, obtemos x² = -9x = ± -9 mas é inaceitável tal resultado para x; os números negativos não têm raiz quadrada.
Para superar tal impossibilidade e poder, então, resolver todas equações do 2º grau, os matemáticos ampliaram o sistema de números, inventando os números complexos.Primeiro, eles definiram um novo número i = -1 Isso conduz a i² = -1. Um número complexo é então um número da forma a + bi onde a e b são números reais.
Para a equação acima fazemos x = ± x = ± x = ± . x = ± 3 i As raízes da equação x² + 9 = 0 são 3i e - 3i.
Definição: Um número complexo é uma expressão da forma a + bi onde a e b são números reais e i² = -1. No número complexo a + bi, a é a parte real e b é a parte imaginária.Exemplos 2 + 5i parte real 2 parte imaginária 5 i parte real parte imaginária 12i parte real 0 parte imaginária 12-9 parte real -9 parte imaginária 0. Um número como 12i, com parte real 0, chama-se número imaginário puro. Um número real como -9, pode ser considerado como um número complexo com parte imaginária 0.
Um número complexo por exemplo x² +25 =o temos:

Multimplicamos o valor do discriminante por -1 e obteremos raiz positiva, como -1 é=
i², fica x= +- Raiz de 25i² tirando da raiz obtemos +- 5i


Os números complexos são escritos na sua forma algébrica da seguinte forma: a + bi, sabemos que a e b são números reais e que o valor de a é a parte real do número complexo e que o valor de bi é a parte imaginária do número complexo.

Podemos então dizer que um número complexo z será igual a a + bi (z = a + bi).

Com esses números podemos efetuar as operações de adição, subtração e multiplicação, obedecendo à ordem e características da parte real e parte imaginária.

Adição

Dado dois números complexos quaisquer z1 = a + bi e z2 = c + di, ao adicionarmos teremos:

z1 + z2
(a + bi) + (c + di)

a + bi + c + di

a + c + bi + di

a + c + (b + d)i

(a + c) + (b + d)i

Portanto, z1 + z2 = (a + c) + (b + d)i.

Exemplo:
Dado dois números complexos z1 = 6 + 5i e z2 = 2 – i, calcule a sua soma:

(6 + 5i) + (2 – i)
6 + 5i + 2 – i
6 + 2 + 5i – i
8 + (5 – 1)i
8 + 4i

Portanto, z1 + z2 = 8 + 4i.

Subtração

Dado dois números complexos quaisquer z1 = a + bi e z2 = c + di, ao subtraímos teremos:

z1 - z2
(a + bi) - (c + di)

a + bi – c – di

a – c + bi – di

(a – c) + (b – d)i

Portanto, z1 - z2 = (a - c) + (b - d)i.

Exemplo:
Dado dois números complexos z1 = 4 + 5i e z2 = -1 + 3i, calcule a sua subtração:

(4 + 5i) – (-1 + 3i)
4 + 5i + 1 – 3i
4 + 1 + 5i – 3i
5 + (5 – 3)i
5 + 2i

Portanto, z1 - z2 = 5 + 2i.

Multiplicação

Dado dois números complexos quaisquer z1 = a + bi e z2 = c + di, ao multiplicarmos teremos:

z1 . z2
(a + bi) . (c + di)

ac + adi + bci + bdi2
ac + adi + bci + bd (-1)
ac + adi + bci – bd
ac - bd + adi + bci
(ac - bd) + (ad + bc)i

Portanto, z1 . z2 = (ac + bd) + (ad + bc)I.

Exemplo:

Dado dois números complexos z1 = 5 + i e z2 = 2 - i, calcule a sua multiplicação:

(5 + i) . (2 - i)
5 . 2 – 5i + 2i – i2
10 – 5i + 2i + 1
10 + 1 – 5i + 2i
11 – 3i

Portanto, z1 . z2 = 11 – 3i.

Ao dividirmos dois números complexos devemos escrevê-los em forma de fração e multiplicarmos o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador, veja como:

Dado dois números complexos z1 e z2, para efetuarmos a divisão dos dois devemos seguir a seguinte regra:
z1 : z2 = z1 .
z2



De uma forma geral podemos demonstrar a divisão de dois números complexos por:

Dado z1 = a + bi e z2 = c + di a divisão de z1 : z2 será:




Os números complexos são identificados por z = a + bi, onde a é a parte real e b a parte imaginária. A letra i acompanha a parte imaginária e dependo do valor de sua potência ela irá assumir um valor que irá facilitar vários cálculos.

i 0 = 1, pois todo número ou letra elevando à zero é um.
i 1 = i, pois todo número elevado a 1 é ele mesmo.
i 2 = -1, a partir dessa potência que as outras irão derivar, veja:
i 3 = i2 . i = -1 . i = - i
i 4 = i2 . i2 = -1 . (-1) = 1
i 5 = i4 . i = 1 . i = i
i 6 = i4 . i2 = 1 . (-1) = -1.
i 7 = i4 . i3 = 1 . (-i) = - i. E assim por diante.

Para descobrir, por exemplo, qual era o valor da potência i243, basta observar o seguinte: nas potências acima elas repetem-se de 4 em 4, então basta dividirmos 243 por 4, o resto será 3 então i243 será o mesmo que i3, portanto i243 = - i.

Podemos concluir que in = ir, onde r é o resto da divisão.

quarta-feira, 9 de setembro de 2009

CONCEITOS DE GEOMETRIA

Geometria

A necessidade de medir terras determinou os primeiros passos da geometria. O filósofo grego Eudemo de Rodes, do século IV a.C., um dos primeiros historiadores das ciências, conta que os egípcios mediam suas terras para acompanhar o regime de inundações anuais do rio Nilo. De fato, o termo provém das palavras gregas geo (terra) e metron (medida).

No sentido moderno, geometria é a disciplina matemática que tem por objetivo o estudo do espaço e das formas nele contidas.

Aspectos históricos

Nas antigas culturas do Egito e da Mesopotâmia, a geometria consistia simplesmente de um conjunto de regras empíricas. Os gregos, entre os quais destacou-se Euclides, no século III a.C., sistematizaram todos os conhecimentos existentes sobre o tema e estabeleceram seus fundamentos num conjunto de axiomas dos quais, segundo princípios dedutivos, se obtinham os demais resultados. A discussão dos princípios da geometria euclidiana levou à construção, no século XIX, de novos sistemas geométricos, denominados geometrias não-euclidianas, e desembocou na generalização de seus métodos e sua aplicação a espaços cada vez mais abstratos.

Elementos e figuras geométricas

A geometria, em qualquer de suas abordagens, apresenta uma série de elementos primários comuns. Distinguem-se nesse nível os conceitos de plano, ponto, linha (reta, curva etc.), superfície, segmento e outros que, combinados, formam todas as figuras geométricas. As geometrias descritiva e projetiva clássicas se ocupam da representação e das propriedades das figuras e de suas projeções. Distinguem-se nelas algumas figuras geométricas fundamentais.

Polígonos. Um polígono de n lados (sendo n maior ou igual a três) está definido por n pontos ordenados de um plano (A1, A2, ... An) chamados vértices, entre os quais não pode haver três colineares consecutivos. Os n segmentos (A1A2, A2A3, ... AnA1) são chamados lados, e sua interseção forma os vértices.

Polígono é uma linha fechada, isto é, divide o plano em duas regiões, uma interior e outra exterior ao polígono. A diferença entre elas é que qualquer semi-reta cuja origem seja um ponto na região interior corta pelo menos um lado do polígono, o que não acontece necessariamente se o ponto estiver na região exterior. Em função do número de lados (ou ângulos), os polígonos classificam-se em triângulos, quadriláteros, pentágonos, hexágonos, heptágonos, octógonos, eneágonos, decágonos etc.

Triângulos

Os polígonos de três lados recebem o nome de triângulos. Podem ser eqüiláteros (quando os três lados são iguais, ou seja, têm o mesmo comprimento), isósceles (dois lados iguais) ou escalenos (três lados desiguais). De acordo com a medida de seus ângulos, os triângulos dividem-se em acutângulos (se todos os ângulos são menores que 90o), retângulos (se um dos ângulos é reto, ou seja, igual a 90°) e obtusângulos (se um de seus ângulos é maior que 90°). Os três ângulos de um triângulo somam sempre 180°.

Dois triângulos são semelhantes quando os comprimentos dos lados de um deles são respectivamente proporcionais aos lados do outro. Para isso, a condição necessária e suficiente é que os dois triângulos tenham os três ângulos respectivamente iguais. Na verdade, como a soma dos ângulos é sempre 180°, basta que um dos triângulos tenha dois ângulos respectivamente iguais a dois ângulos do outro triângulo para serem semelhantes.

A propriedade da semelhança permite demonstrar várias leis referentes aos triângulos retângulos. Considere-se o triângulo ABC. Os triângulos ABC, ABP e ACP -- onde AP é a altura da hipotenusa (lado oposto ao ângulo reto) - são semelhantes por terem os ângulos iguais. Conseqüentemente, seus lados são proporcionais.

Daí se inferem dois importantes teoremas: um cateto (lado que não é a hipotenusa) é a média proporcional entre a hipotenusa e a projeção dele sobre esta (teorema do cateto, de Euclides); e a altura da hipotenusa é a média proporcional entre as duas partes em que divide esta última (teorema da altura, de Euclides). Ao aplicar-se repetidamente o teorema do cateto, deduz-se o teorema fundamental de Pitágoras: a soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa.

Segundo outra demonstração do teorema, a área dos quatro triângulos retângulos é igual à área do quadrado de lado a menos a área do quadrado de lado c~- b:

A perpendicular a cada um dos lados de um triângulo que passa pelo vértice oposto chama-se altura. As três alturas de um triângulo passam por um mesmo ponto, denominado ortocentro. Bissetriz é o segmento, contido no triângulo, que divide o ângulo interno em dois ângulos iguais. O ponto de interseção das bissetrizes dos três ângulos chama-se incentro, por ser o centro da circunferência inscrita no triângulo.

As medianas, ou segmentos que unem cada vértice com o ponto mediano do lado oposto, cortam-se no baricentro, ou centro de gravidade do triângulo. Finalmente, as mediatrizes dos lados (perpendiculares que passam pelo ponto mediano de cada lado) cortam-se no circuncentro, ou centro da circunferência circunscrita ao triângulo. Esses pontos se representam graficamente como mostra a figura.

Para calcular a área de um triângulo, multiplica-se a metade de um de seus lados pela altura correspondente a esse lado. Se são conhecidos os comprimentos dos três lados, a, b e c, pode-se calcular a área pela fórmula de Heron:

onde p é o semiperímetro do triângulo, ou seja, a metade da soma dos comprimentos dos três lados.

Quadriláteros e Polígonos Regulares

Chama-se quadrilátero todo polígono de quatro lados. Os quadriláteros classificam-se em paralelogramos, trapézios e trapezóides, segundo tenham respectivamente dois, um ou nenhum par de lados paralelos. Os paralelogramos podem ser quadrados, retângulos, losangos (ou rombos) e rombóides. Se os ângulos entre os lados forem retos, os paralelogramos serão chamados quadrados e retângulos. Se não forem, serão chamados losangos e rombóides. Os quadrados e losangos têm os quatro lados iguais. Nos retângulos e rombóides os lados são iguais dois a dois.

Para determinar a área, ou superfície (S), de um paralelogramo, multiplica-se a base (qualquer lado) pela altura (distância entre lados paralelos). A área do losango também pode ser determinada como a metade do produto de suas diagonais (diagonal é o segmento de reta que une dois vértices não consecutivos).

Os trapézios podem ser isósceles, quando os dois lados não paralelos são iguais, escalenos, quando são desiguais, e retângulos, quando têm dois ângulos retos. A área de um trapézio é a metade da soma de suas bases (lados paralelos) multiplicada pela altura (distância entre as bases).

Um polígono é regular se todos os seus ângulos, assim como seus lados, forem iguais. Os polígonos regulares se caracterizam pelo fato de poderem ser inscritos ou circunscritos a uma circunferência. A perpendicular a qualquer de seus lados que passa pelo centro do polígono (e que coincide com o raio da circunferência inscrita) chama-se apótema. Ao multiplicar o apótema pela metade do perímetro (soma de todos os lados), obtém-se a área do polígono.

Circunferência

Chama-se circunferência toda curva plana e fechada cujos pontos são eqüidistantes de um ponto interior chamado centro. A porção do plano que está no interior de uma circunferência denomina-se círculo. Os segmentos que unem o centro com qualquer ponto da circunferência chamam-se raios, e os que unem dois pontos quaisquer da circunferência, cordas. As cordas de maior comprimento, que são as que passam pelo centro, são chamadas diâmetros, cada um deles resultante também da união de dois raios em linha reta.

O comprimento linear de uma circunferência é igual a duas vezes o seu raio, multiplicado por um número irracional denominado , que vale 3,14159... Nos cálculos, costuma-se deixá-lo indicado sem substituir por seu valor aproximado. A área do círculo é o produto do número pelo quadrado do raio.

O cálculo de - que é o quociente entre o comprimento linear de uma circunferência qualquer e seu diâmetro - se faz a partir da sucessão de perímetros de polígonos regulares (de três, quatro, cinco, seis etc. lados), inscritos e circunscritos em circunferências de raio igual a 1. As duas sucessões de perímetros (a dos polígonos inscritos e a dos circunscritos) têm como limite o número , que seria o perímetro de um polígono com um número tão grande de lados que coincidiria com uma circunferência. Arquimedes demonstrou que o valor de estava compreendido entre .

Por meio de computadores e séries de potências, já foi possível calcular cem mil casas decimais de . Para as quinze primeiras casas temos igual a 3,141592653589793... O número é irracional, por não ter dízimas periódicas, e transcendente, por não ser solução de nenhuma equação algébrica com coeficientes inteiros.

A porção de círculo compreendida entre um arco e dois raios chama-se setor circular, e a limitada por um arco e uma corda, segmento circular. Calculam-se as áreas dessas superfícies por meio das fórmulas que se seguem à figura.

Poliedros

Os sólidos limitados por polígonos planos denominam-se poliedros, que são chamados regulares quando suas faces são polígonos regulares iguais. Há cinco tipos de poliedros regulares: com faces triangulares (o tetraedro, com quatro faces; o octaedro, com oito; e o icosaedro, com vinte); com faces quadradas (o cubo, ou hexaedro, com seis faces); e com faces pentagonais (o dodecaedro, com 12 faces).

Denomina-se superfície poliédrica aquela formada por um número finito de polígonos ou faces, e que satisfaz duas condições: (1) cada lado de uma face pertence também a uma outra face, e só a uma, contígua; (2) duas faces contíguas não pertencem a um mesmo plano.

Uma superfície com essas características é fechada, uma vez que é demarcada pelos polígonos e permite distinguir entre pontos interiores e exteriores a ela. Poliedro é o conjunto dos pontos interiores a uma superfície poliédrica. Os pontos comuns a três ou mais faces (e portanto a três ou mais lados dos polígonos que compõem as faces) chamam-se vértices. Cada lado de polígono, comum ao polígono de uma face contígua, chama-se aresta.

Chama-se prisma todo poliedro que tem duas faces iguais e paralelas de n lados (bases) e n faces laterais em forma de paralelogramo. Se as faces laterais forem perpendiculares às bases, os prismas são chamados retos; caso contrário, chamam-se oblíquos. Se as bases de um prisma são paralelogramos, esse prisma é um paralelepípedo.

Se o poliedro é formado por um polígono de n lados (base) e n faces triangulares com um vértice comum, chama-se pirâmide. O ponto comum é o vértice da pirâmide, e sua distância até a base, a altura. Se a pirâmide for cortada por um plano paralelo à base, obtêm-se dois poliedros: uma outra pirâmide, menor, e um tronco de pirâmide. As duas faces paralelas do tronco de pirâmide são polígonos semelhantes de n lados, e as n faces laterais são trapezoidais.

Esfera, cilindro e cone. Toda superfície fechada formada por pontos eqüidistantes de um ponto interior chamado centro é uma superfície esférica. Essa figura geométrica também pode ser definida como a superfície gerada por uma circunferência que gira tendo um de seus diâmetros como eixo. Esfera é o conjunto dos pontos de uma superfície esférica e dos pontos interiores a ela. A interseção de uma esfera com um plano forma um círculo, que será máximo se o plano passar pelo centro da esfera, e tanto menor quanto mais distante passar do centro.

Cilindro é um corpo gerado por um retângulo que gira, tendo um de seus lados como eixo. O cilindro é demarcado por duas bases circulares e uma superfície lateral.

Se um triângulo retângulo gira tendo como eixo um de seus catetos, ele gera um cone, que é demarcado por duas superfícies apenas: a base circular e a superfície lateral

sexta-feira, 31 de julho de 2009

ELEMENTOS DE EUCLIDES


Euclides viveu por volta de 300 a.C., isto considerando sua existência é claro, já que alguns historiadores dizem o contrário e atribuem suas obras a outros autores da época. Neste texto você encontra um pouco sobre a vida e obra de Euclides.
Na cidade de Alexandria, construída por Alexandre ao conquistar o Egito, no delta do Nilo estava o centro das atividades literárias e científicas, o Museu. Neste espaço do saber encontrava-se a grande biblioteca de Alexandria e foi neste contexto que Euclides organizou e liderou um grupo de matemáticos que realizaram estudos importantíssimos para a história da ciência.

Os Elementos é a principal obra de Euclides, a mais famosa da matemática e a que mais teve edições depois da Bíblia. Nos treze livros que constituem os Elementos, Euclides trata de tópicos de Geometria, Teoria dos Números e Álgebra.

Os elementos de Euclides contém 465 proposições nos trezes livros que estão organizados da seguinte maneira:

Livro I: Definições, postulados, axiomas, triângulos, construções, congruência, paralelismo, teorema de Pitágoras.

Livro II: transformações de áreas, razão áurea.

Livro III: Circunferências, cordas, secantes, tangentes e medidas de ângulos.

Livro IV: Polígonos Inscritos e Circunscritos.

Livro V: estudo geométrico das proporções.

Livro VI: Semelhança de polígonos.

Livro VII a IX: Aritmética (teoria dos números).

Livro X: comprimentos de segmentos de reta incomensuráveis com um segmento de reta dado (irracionais).

Livro XI a XIII: Geometria espacial.
Os treze livros

* Os livros I-IV tratam de geometria plana elementar. Partindo das mais elementares propriedades de retas e ângulos conduzem à congruência de triângulos, à igualdade de áreas, ao teorema de Pitágoras (livro I, proposição 47) e ao seu recíproco (livro I, proposição 48), à construção de um quadrado de área igual à de um retângulo dado, à seção de ouro, ao círculo e aos polígonos regulares. O teorema de Pitágoras e a seção de ouro são introduzidos como propriedades de áreas.

Como a maioria dos treze livros, o livro I começa com uma lista de Definições (23, ao todo) sem qualquer comentário como, por exemplo, as de ponto, reta, círculo, triângulo, ângulo, paralelismo e perpendicularidade de retas tais como:

*

"um ponto é o que não tem parte",
*

"uma reta é um comprimento sem largura"
*

"uma superfície é o que tem apenas comprimento e largura".

A seguir às definições, aparecem os Postulados e as Noções Comuns ou Axiomas, por esta ordem. Os Postulados são proposições geométricas específicas. "Postular" significa "pedir para aceitar". Assim, Euclides pede ao leitor para aceitar as cinco proposições geométricas que formula nos Postulados:
1. Dados dois pontos, há um segmento de reta que os une;
2. Um segmento de reta pode ser prolongado indefinidamente para construir uma reta;
3. Dados um ponto qualquer e uma distância qualquer pode-se construir um círculo de centro naquele ponto e com raio igual à distância dada;
4. Todos os ângulos retos são iguais;
5. Se uma linha reta cortar duas outras retas de modo que a soma dos dois ângulos internos de um mesmo lado seja menor do que dois retos, então essas duas retas, quando suficientemente prolongadas, cruzam-se do mesmo lado em que estão esses dois ângulos
(É este o célebre 5º Postulado de Euclides)

Assim, três conceitos fundamentais - o de ponto, o de reta e o de círculo - e cinco postulados a eles referentes, servem de base para toda a geometria euclidiana.

* O livro V apresenta a teoria das proporções de Eudoxo (408 a. C. - 355 a. C.) na sua forma puramente geométrica e

* O livro VI aplica-a à semelhança de figuras planas. Aqui voltamos ao teorema de Pitágoras e à seção de ouro (livro VI, proposições 31 e 30), mas agora como teoremas respeitados a razões de grandezas. É de particular interesse o teorema (livro VI, proposição 27) que contém o primeiro problema de máxima que chegou até nós, com a prova de que o quadrado é, de todos os retângulos de um dado perímetro, o que tem área máxima.

* Os livros VII-IX são dedicados à teoria dos números tais como a divisibilidade de inteiros, a adição de séries geométricas, algumas propriedades dos números primos e a prova da irracionalidade do número
.
Aí encontramos tanto o «algoritmo de Euclides», para achar o máximo divisor comum entre dois números, como o «teorema de Euclides», segundo o qual existe uma infinidade de números primos (livro IX, proposição 20).

* O livro X, o mais extenso de todos e muitas vezes considerado o mais difícil, contém a classificação geométrica de irracionais quadráticos e as suas raízes quadráticas.

* Os livros XI-XIII ocupam-se com a geometria sólida e conduzem, pela via dos ângulos sólidos, aos volumes dos paralelepípedos, do prisma e da pirâmide, à esfera e àquilo que parece ter sido considerado o clímax - a discussão dos cinco poliedros regulares («platônicos») e a prova de que existem somente estes cinco poliedros regulares.

Euclides foi um dos primeiros a utilizar o método axiomático, e desta maneira, produziu um sistema lógico que serviu de exemplo para muitos na construção do conhecimento científico. O método axiomático é uma técnica de apresentação e construção de uma teoria que foi desenvolvida por Aristóteles.

terça-feira, 28 de julho de 2009

FUNÇÃO DO 1° GRAU

Vamos iniciar o estudo da função do 1º grau, lembrando o que é uma correspondência:
Correspondência: é qualquer conjunto de pares ordenados onde o primeiro elemento pertence ao primeiro conjunto dado e o segundo elemento pertence ao segundo conjunto dado.
Assim: Dado os conjuntos A={1,2,3} e B={1,2,3,4,5,6} consideremos a correspondência de A em B, de tal modo que cada elemento do conjunto A se associa no conjunto B com o seu sucessor. Assim ; ; . A correspondência por pares ordenados seria:

Noções de função:
Considere os diagramas abaixo:


Analisando os diagramas acima:
O diagrama 1 não satisfaz a condição (1); os diagramas 3, 4 e 5 não satisfazem a condição (2).
Logo, somente o diagrama 2 representa uma função.
Domínio, Contradomínio e Imagem
Observe o diagrama a seguir:

Chamemos esta função de f, logo o conjunto de pares ordenados serão:
f={(1,2),(2,3),(3,4)}
O conjunto X={1,2,3} denomina-se domínio da função f.
D(F)=X
O conjunto Y={1,2,3,4,5} denomina-se contradomínio da função f.
C(F)=Y
Dizemos que 2 é a imagem de 1 pela função f.
f(1)=2
Ainda, f(2)=3 e f(3)=4.
Logo o conjunto das imagens de f e dado por:
Im(f)={2,3,4}
Determinação de função:
Observe:
1) Associe cada elemento de X com o seu consecutivo:

2) Associe cada elemento de X com a sua capital.


3) Determine o conjunto imagem de cada função:
a) D(f) = {1,2,3}
y = f(x) = x + 1
[Solução] f(1) = 1+1 = 2
f(2) = 2+1 = 3
f(3) =3+1 = 4
Logo: Im(f)={2,3,4}
b) D(f) = {1,3,5}
y = f(x) = x²
[Solução] f(1) = 1² = 1
f(3) = 3² = 9
f(5) = 5² = 25
Logo: Im(f)={1,9,25}
Plano cartesiano


Consideremos dois eixos x e y perpendiculares em 0, os quais determinam o plano A.
Dado um plano P qualquer, pertencente ao plano A, conduzamos por ele duas retas:
x // x' e y // y'
Denominemos P1 a interseção de x com y' e P2 a interseção de y com x'
Nessas condições, definimos:
- Abscissa de P é um número real representado por P1
- Ordenada de P é um número real representado por P2
- A coordenada de P são números reais x' e y' , geralmente indicados na forma de par ordenado ( x' , y' )
- O eixo das abscissas é o eixo x
- O eixo das ordenadas é o eixo y
- A origem do sistema é o ponto 0
- Plano cartesiano é o plano A.
________________________________________

Depois desta revisão, vamos finalmente ver a Função do 1º grau!
Exemplo:
Numa loja, o salário fixo mensal de um vendedor é 500 reais. Além disso, ele recebe de comissão 50 reais por produto vendido.
a) Escreva uma equação que expresse o ganho mensal y desse vendedor, em função do número x de produto vendido.
[Sol] y=salário fixo + comissão
y=500 + 50x
b) Quanto ele ganhará no final do mês se vendeu 4 produtos?
[Solução] y=500+50x , onde x=4
y=500+50.4 = 500+200 = 700
c) Quantos produtos ele vendeu se no final do mês recebeu 1000 reais?
[Solução] y=500+50x , onde y=1000
1000=500+50x » 50x=1000-500 » 50x=500 » x=10
A relação assim definida por uma equação do 1º grau é denominada função do 1º grau, sendo dada por:

y=f(x)=ax+b com , e

Gráfico da função do 1º grau:

O gráfico de uma função do 1º grau de R -> R é uma reta.

Exemplo:
1) Construa o gráfico da função determinada por f(x)=x+1:
[Solução] Atribuindo valores reais para x, obtemos seus valores correspondentes para y.


O conjunto dos pares ordenados determinados é f={(-2,-1),(-1,0),(0,1),(1,2),(2,3)}

2) Construa o gráfico da função determinada por f(x)=-x+1.

[Solução] Atribuindo valores reais para x, obtemos seus valores correspondentes para y.



O conjunto dos pares ordenados determinados é f={(-2,3),(-1,2),(0,1),(1,0),(2,-1)}

Gráficos crescente e decrescente respectivamente:

y = x+1 ( a> 0 ) ; onde a = 1


Função crescente

y = -x+1 ( a<0 ); onde a=-1


Função decrescente

Raiz ou zero da função do 1º grau:

Para determinarmos a raiz ou zero de uma função do 1º grau, definida pela equação y=ax+b, como a é diferente de 0, basta obtermos o ponto de intersecção da equação com o eixo x, que terá como coordenada o par ordenado (x,0).


1) Considere a função dada pela equação y=x+1, determine a raiz desta função.
[Sol] Basta determinar o valor de x para termos y=0
x+1=0 » x=-1
Dizemos que -1 é a raiz ou zero da função.

Note que o gráfico da função y=x+1, interceptará (cortará) o eixo x em -1, que é a raiz da função.
2) Determine a raiz da função y=-x+1 e esboce o gráfico.
[Sol] Fazendo y=0, temos:
0 = -x+1 » x = 1
Gráfico:


Note que o gráfico da função y=-x+1, interceptará (cortará) o eixo x em 1, que é a raiz da função.
Sinal de uma função de 1º grau:
Observe os gráficos:

a>0 a<0

Note que para x=-b/a, f(x)=0 (zero da função). Para x>-b/a, f(x) tem o mesmo sinal de a. Para x<-b/a, f(x) tem o sinal contrário ao de a.
Exemplos:
1) Determine o intervalo das seguintes funções para que f(x)>0 e f(x)<0.
a) y=f(x)=x+1
[Solução] x+1>0 » x>-1
Logo, f(x) será maior que 0 quando x>-1
x+1<0 » x<-1
Logo, f(x) será menor que 0 quando x<-1
b) y=f(x)=-x+1
[Solução]* -x+1>0 » -x>-1 » x<1
Logo, f(x) será maior que 0 quando x<1
-x+1<0 » -x<-1 » x>1
Logo, f(x) será menor que 0 quando x>1

(*ao multiplicar por -1, inverte-se o sinal da desigualdade)