sexta-feira, 13 de março de 2009

CIRCUNFERÊNCIA CONTEÚDO EM DESENVOLVIMENTO NA SALA DE AULA


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Circunferência
Seja um ponto qualquer do plano e um número real. A circunferência de centro e raio é o lugar geométrico dos pontos desse plano tais que .

Arco de circunferência
Consideremos uma circunferência de centro . Sejam e dois pontos distintos de .


Um arco de circunferência de extremos e é cada uma das partes em que fica dividida uma circunferência por dois de seus pontos.

Quando teremos dois arcos: o arco nulo (um ponto) e o arco de uma volta (uma circunferência).









Arco de circunferência e ângulo central correspondente


A medida de um arco é, por definição, a medida do ângulo central correspondente. Medir significa comparar com uma unidade padrão previamente adotada. Contudo, para evitar possíveis divergências na escolha da unidade para medir um mesmo arco, as unidades de medida restringem-se a três principais: o grau (), o radiano () e o grado, sendo este último não muito comum.















O grau
Um grau é um arco de circunferência cujo comprimento equivale a da circunferência que contém o arco a ser medido. Portanto, a medida, em graus, de um arco de uma volta completa (uma circunferência) é .


Submúltiplos do grau
O minuto : , ou seja, .
O segundo : , ou seja, e .
O radiano
Um radiano é um arco de circunferência cujo comprimento é igual ao raio da circunferência que contém o arco a ser medido. É a unidade do Sistema Internacional (SI).











Conseqüentemente, para medir um ângulo em radianos, convém calcular a razão entre o comprimento do arco pelo raio , ou seja, calcular quantos radianos mede o arco . Portanto, como consequência da definição de radiano, podemos estabelecer a seguinte relação:


, onde e devem estar na mesma unidade de comprimento.




O comprimento de uma circunferência de raio é . Logo, a medida do arco de uma volta completa, em radianos, é . Para converter unidades, podemos usar as correspondências ou e uma regra de três simples.


O grado
É a medida de um arco cujo comprimento equivale a da circunferência que contém o arco a ser medido. É evidente que, para conversão de unidades, pode-se utilizar as relações ou e uma regra de três simples.

O ciclo trigonométrico
Consideremos no plano um sistema de eixos perpendiculares , em que . Seja uma circunferência de centro , raio e o ponto .


A cada número real associaremos um único ponto de .

Se , então tomamos ;
Se , realizamos, a partir de , um percurso de comprimento , no sentido anti-horário e marcamos o ponto como final desse percurso.

Se , realizamos, a partir de ,um percurso de comprimento , no sentido horário, e marcamos o ponto como final desse percurso.
.



Assim, a circunferência sobre a qual foi fixado o ponto como orientação é chamada ciclo trigonométrico ou circunferência trigonométrica

O ponto é chamado imagem de no ciclo trigonométrico.

O sistema de eixos perpendiculares divide o ciclo trigonométrico em quatro partes, cada uma das quais é chamada quadrante.






Ângulos côngruos
Os ângulos e , em graus, são côngruos ou congruentes se, e somente se, , para algum , ou seja, se e têm a mesma imagem no ciclo trigonométrico. Para indicar que e são côngruos escrevemos .

Por exemplo, os ângulos e são congruentes, pois .




Expressão geral dos arcos que têm imagem em um ponto do ciclo trigonométrico..
Consideremos um sistema de eixos perpendiculares e uma circunferência de centro e raio . Sendo um ponto qualquer pertencente à a imagem de um ângulo na circunferência, podemos estabelecer uma expressão geral dos arcos que têm imagem em um determinado ponto do ciclo trigonométrico.


Por exemplo, a expressão geral dos arcos que têm imagem no ponto dar-se-á por ou , sendo o número de voltas completas. Quando , deve-se andar no sentido anti-horário; se , deve-se andar no sentido horário.

Analogamente, temos:

Para : ou .
Para : ou .
Para : ou .
Para ou : ou .
Para ou : ou .
Para ou ou ou : ou .




Considerando a figura acima, a expressão geral dos arcos que têm imagem em ou é:

em graus:
em radianos:
Expressão geral dos arcos que têm imagem em :

em graus:
em radianos:

No caso da figura seguinte, a expressão geral dos arcos fica:


em graus:
em radianos:
Imagens de alguns arcos importantes
Primeira volta no sentido anti-horário:



Ângulos correspondentes
Em graus:


Em radianos:

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