sábado, 30 de outubro de 2010

RECONHECIMENTO DOS NÚMEROS PRIMOS

Para se saber se um número natural ou primo é ou não, divide-se esse número pelos sucessivos números primos: 2, 3, 5, 7, 11, 13,17, 19... até obter-se um quociente exato (se não for primo) ou um quociente igual ou menor que o divisor se for primo)

Exemplos:

O número 157 é primo?



157 ∶ 2= 78  (resto 1)       157 : 3 = 52  (resto 1)       157 : 5 = 31  (resto 2)     157 : 7 = 22  (resto 3)        ( 157 : 11 = 14 (resto 3)

157: 13 = 12 (resto 1)

Solução: O número 157 é primo, pois o (12) DA ÚLTIMA DIVISÃO é menor que o divisor (13) e nenhuma das DIVISÕES foi exata.



O número 161 é primo?



161 : 2 = 80                161 : 3 = 53                   161 : 5 = 32               161 : 7 = 23 (resto zero)



Solução: O número 161 não é primo, pois a última divisão é exata

sexta-feira, 29 de outubro de 2010

MÚLTIPLOS E DIVISORES DE UM NÚMERO

MÚLTIPLO
   Um número natural é múltiplo de um outro , quando a sua divisão por esse outro é exata. Assim, 21 é múltiplo de 3 e 7 pois:   

 a)          21 : 3 =  7                                          b)       21 :  7  =  3

DEFINIÇÃO:
MÚLTIPLO  de um número é  o produto desse número por um número natural qualquer.
Dessa forma, para se obter os múltiplos de um número, basta multiplicá-lo suessivamente pelos termos da sequencia natural dos números. Como essa sequencia é ilimitada, concluí-se que:
  1. Todo  número tem uma infinidade de múltiplos.
  2. Excluindo o zero,o menor múltiplo de um número é o próprio número. Exemplos: 
  • Os múltiplos de 2  são :  M (2) =  {0, 2, 4, 6, 8, 10 ...}
  • Os múltiplos de 5  são  : M (5) =  {0, 5, 10, 15, 20, ...}

D IVISOR
Um número natural é divisor de outro, quando ele divide esse outro exatamente, isto é múltiplo dele. Exemplos:
  1. 2 é divisor de 6, pois 6  é múltiplo de 2
  2. 5 é divisor de 10, pois 10 é múltiplo de 5.
Os divisores de um  número fomam sempre um conjunto finito.  Exemplos:
  • Os divisores de 4 são:  D (4) = {1, 2, 4}
  • Os divisores de 15 são:  D (15) = {1, 3, 5, 15}
OBSERVAÇÕES:

1.  O UM é divisor de qual número natural.
2.  O ZERO é múltiplo de qualquer número natural.
3.  O ZERO não é divisor de nenhum número.
4.  O MAIOR DIVISOR  de um número natural é ele mesmo.
5.  O MAIOR MÚLTIPLO de um número de natural é infinito.
6.  O MENOR DIVISOR de um número natural é UM.
7.  O MENOR MÚLTIPLO de um número natural é ZERO.
8.  Um   número natural, com exceção  de zero, é simultaneamente  múltiplo e divisor de si  mesmo.

 CRITÉRIOS DE DIVISIBLIDADE:

   São algumas regras práticas  que nos permitem  verificar se um número é divisível por outro (ou se é múltiplo do outro), sem eferuar a divisão.
   Assim, um número é divisível:
  1.  POR 2:        quando for par.
  2.  POR 3:         quando a soma dos valores absolutos  de seus algarismos for divisível por 3.
  3.  POR 4:         quando os dois últimos algarismos forem 00 ou formarem um número divisível por 4.
  4.  POR 5:         quando terminar em 0 ou 5.
  5.  POR 6:         quando for divisível  por 2 e por 3 ao mesmo  tempo.
  6.  POR 8:         quando  os três  últimos últimos forem 000 ou formarem um número divisível por 8.
  7.  POR 9:         quando a soma dos valores absolutos de seus algarismos for divisível por 9.
  8.  POR 10:       quando terminar  em 0.
  9.  POR 12:       quando for divisível por 3 e 4 ao mesmo tempo.
  10.  POR 15:       quando for divisível por 3 e por 5 ao mesmo tempo.
EXEMPLO:   O número 894.960 é divisível:
  •  por  2, pois é par.
  •  por  3, pois 8+9+4+9+6+0 = 36, que é divisível por 3.
  •  por  4, pois 60 é divisível por 4.
  •  por  5, pois termina em zero.
  •  por  6, pois é divisível por 2 e por 3 ao mesmo tempo.
  • por   8, pois 960 é divisível por 8.
  • por    9, pois 8+9+4+9+6+0 = 36 , que é divisível por 9.
  • por 10, pois  termina em zero.
  • por 12, pois é divisível por 3 e por 4 ao  mesmo tempo.
  • por 15, pois é divisível por  3 e por 5 ao mesmo tempo.

quarta-feira, 27 de outubro de 2010

A VIDA

... a respeito do livro que é a vida, o importante são as emoções vividas, porque devemos passar pela vida e não deixar a vida passar por nós...o passado, passou, o presente é aqui e agora, o futuro só a Deus pertence, e nesssa relatividade o futuro volta a ser passado...

Curiosidades com números inteiros

12345679 x 9 = 111111111
12345679 x 18 = 222222222
12345679 x 27 = 333333333
12345679 x 36 = 444444444
12345679 x 45 = 555555555
12345679 x 54 = 666666666
12345679 x 63 = 777777777
12345679 x 72 = 888888888
12345679 x 81 = 999999999

9 x 9 + 7 = 88
9 x 98 + 6 = 888
9 x 987 + 5 = 8888
9 x 9876 + 4 = 88888
9 x 98765 + 3 = 888888
9 x 987654 + 2 = 8888888
9 x 9876543 + 1 = 88888888
9 x 98765432 + 0 = 888888888

9 x 1 + 2 = 11
9 x 12 + 3 = 111
9 x 123 + 4 = 1111
9 x 1234 + 5 = 11111
9 x 12345 + 6 = 111111
9 x 123456 + 7 = 1111111
9 x 1234567 + 8 = 11111111
9 x 12345678 + 9 = 111111111
9 x 123456789 + 10 = 1111111111

11 x 11 = 121
111 x 111 = 12321
1111 x 1111 = 1234321
11111 x 11111 = 123454321
111111 x 111111 = 12345654321
1111111 x 1111111 = 1234567654321
11111111 x 11111111 = 123456787654321
111111111 x 111111111 = 12345678987654321

9 x 7 = 63
99 x 77 = 7623
999 x 777 = 776223
9999 x 7777 = 77762223
99999 x 77777 = 7777622223
999999 x 777777 = 777776222223
9999999 x 7777777 = 77777762222223
99999999 x 77777777 = 7777777622222223

1 x 7 + 3 = 10
14 x 7 + 2 = 100
142 x 7 + 6 = 1000
1428 x 7 + 4 = 10000
14285 x 7 + 5 = 100000
142857 x 7 + 1 = 1000000
1428571 x 7 + 3 = 10000000
14285714 x 7 + 2 = 100000000
142857142 x 7 + 6 = 1000000000
1428571428 x 7 + 4 = 10000000000
14285714285 x 7 + 5 = 100000000000
142857142857 x 7 + 1 = 1000000000000

9 x 9 = 81
99 x 99 = 9801
999 x 999 = 998001
9999 x 9999 = 99980001
99999 x 99999 = 9999800001
999999 x 999999 = 999998000001

12 x 12 = 144, 21 x 21 = 441
13 x 13 = 169, 31 x 31 = 961
102x102 = 10404, 201x201 = 40401
103x103 = 10609, 301x301 = 90601
112x112 = 12544, 211x211 = 44521
122x122 = 14884, 221x221 = 48841

ATITUDES

Você acredita que atitudes sustentáveis podem mudar o mundo?



Que reciclando o lixo, agredimos menos nosso planeta?


E que plantando árvores, respiramos um ar mais puro?


Eu acredito que além de tudo isso, atitudes sustentáveis inspiram pessoas!


Eu quero inspirar você a mudar o mundo, começando pela sua vida!


sexta-feira, 22 de outubro de 2010

NÚMEROS IMAGINÁRIOS


















NÚMEROS COMPLEXOS
1. Definições
Vimos na resolução de uma equação do 2º grau que se o discriminante é negativo, ela não admite raízes reais. Por exemplo, a equação
x2 + 9 = 0
não admite raízes reais. Se usarmos os métodos que conhecemos para resolvê-la, obtemos
x2 = -9
x = ±
mas é inaceitável tal resultado para x; os números negativos não têm raiz quadrada.
Para superar tal impossibilidade e poder, então, resolver todas equações do 2º grau, os matemáticos ampliaram o sistema de números, inventando os números complexos.
Primeiro, eles definiram um novo número
i =
Isso conduz a i2 = -1. Um número complexo é então um número da forma a + bi onde a e b são números reais.
Para a equação acima fazemos
x = ±
x = ±
x = ± .
x = ± 3 i
As raízes da equação x2 + 9 = 0 são 3i e - 3i.
Definição
Um número complexo é uma expressão da forma
a + bi
onde a e b são números reais e i2 = -1.
No número complexo a + bi, a é a parte real e b é a parte imaginária.
Exemplos
2 + 5i parte real 2 parte imaginária 5
i parte real parte imaginária
12i parte real 0 parte imaginária 12
-9 parte real -9 parte imaginária 0
Um número como 12i, com parte real 0, chama-se número imaginário puro. Um número real como -9, pode ser considerado como um número complexo com parte imaginária 0.

Igualdade de números complexos
Os números complexos a + bi e c + di são iguais se suas partes reais são iguais e suas partes imaginárias são iguais, isto é:
a + bi = c + di se
Exemplos
2 + 5i =
Se x e y são números reais e x + yi = 7 - 4i, então x = 7 e y = - 4.

2. Aritmética dos números complexos
Adição e Subtração
Adição
(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i Para adicionarmos dois números
complexos, adicionamos as partes
reais e as partes imaginárias
Subtração
(a + bi) - (c + di) = (a – c) + (b – d)i Para subtrairmos dois números
complexos, subtraímos as partes
reais e as partes imaginárias
Exemplos
(3 + 4i) + (- 7 + 8i) = (3 - 7) + (4 + 8) i
= - 4 + 12i
Na prática, fazemos
(3 + 4i) + (-7 + 8i) =
(- 5 + 6i) - (4 - 2i) = (- 5 - 4) + [6 - (- 2)] i
= - 9 + 8i
Na prática fazemos
(-5 + 6i)
Multiplicação
(a + bi) . (c + di) = (ac – bd) + (ad + bc)i Multiplicamos números
complexos como multiplicamos
binômios, usando i2 = - 1
Exemplos
= 6 – 8i + 9i – 12i2 Distributiva
= 6 + i – 12 . (-1) -8i + 9i = i e i2 = - 1
= 6 + i + 12
= 18 + i
= – 8 – 4i + 4i + 2i2 Distributiva
= – 8 + 2 . (-1) -4i + 4i = 0 e i2 = - 1
= – 8 – 2
= – 10
= – 3i . (4) – 3i . (-2i)
= - 12i + 6i2
= - 12i + 6 . (-1)
= - 6 - 12i


3. O conjugado e a divisão
Divisão de números complexos é semelhante à racionalização do denominador de uma fração com radicais. Assim, se temos o quociente nosso objetivo é escrevê-lo na forma a + bi. Para isso, introduziremos inicialmente o conceito de conjugado de um número complexo.
Complexos conjugados
O conjugado de um número complexo a + bi é a - bi, e o conjugado de a - bi é a + bi.
Os números complexos a + bi e a - bi são chamados complexos conjugados.
Para um número complexo z, seu conjugado é representado com ; então, se z = a + bi escrevemos = a - bi.
Exemplos
O conjugado de z = 2 + 3i é = 2 - 3i
O conjugado de z = 2 - i é = 2 + 3i
O conjugado de z = 5i é = - 5i
O conjugado de z = 10 é = 10
Quando multiplicamos um número complexo z = a + bi pelo seu conjugado = a - bi, o resultado que se obtém é um número real não negativo:
z . = (a + bi) . (a – bi)
= a2 – abi + abi – b2i2
= a2 – b2 . (-1) A soma dos quadrados
de dois números reais
nunca é negativa
= a2 + b2
Usamos essa propriedade para expressar o quociente de dois números complexos na forma a + bi.
Dividindo dois números complexos
Para escrevermos o quociente na forma A + Bi, multiplicamos o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador.
Exemplo
Vamos escrever o quociente na forma a + bi.
Multiplicamos o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador, para obter um número real no denominador.

=
=
=
= i
= 1 – i

4. Potências de i
Temos:
i0 = 1 i4 = i2 . i2 = (-1) . (-1) = 1
i1 = i i5 = i4 . i = 1 . i = i
i2 = -1 i6 = i4 . i2 = 1 . (-1) = -1
i3 = i2 . i = -1 . i = -i i7 = i4 . i3 = 1 (-i) = -i
Observe que as quatro potências de i na coluna da esquerda, repetem-se nos quatro casos seguintes na coluna da direita. Este ciclo
1, i, -1, -i
repete-se indefinidamente.
Então, para simplificar ix para x > 4, buscamos o maior múltiplo de 4 contido em x; por exemplo
i26 = i24 . i2 = (i4)6 . i2
= 16 . (-1)
= -1
i43 = i40 . i3 = (i4)10 . i3
= i10 . (-i)
= -i
5. O caso da raiz quadrada
Sabemos que um número real positivo r tem duas raízes quadradas
e - ,
Os números reais negativos também tem duas raízes quadradas. Por exemplo, 2i e - 2i são as raízes quadradas de - 4 porque
(2i)2 = 22 . i2 = 4 . (-1) = - 4
(- 2i)2 = (- 2)2 . i2 = (- 2)2 . i2 = 4 . (- 1) = - 4
De um modo mais geral, se r > 0 é um número real, o número real negativo - r, tem duas raízes quadradas, porque
(i )2 = i2 . ( )2 = -1 . r = -r
(-i 2) = (-1) 2 . i2 . ( )2 = 1 . (-1) . r = -r
Chamamos i de raiz quadrada principal de - r, e usamos o desenho para representá-la; a outra raiz quadrada - i é representada com - . Note que as duas raízes quadradas são números complexos imaginários puros, e que são conjugados.
Raízes quadradas de números negativos
Se - r < 0, então as raízes quadradas de - r são i e - i A raiz quadrada principal de - r é i : = i Exemplos = i =i = i = 5i = i Observação Devemos ter especial cuidado quando efetuamos operações envolvendo raízes quadradas de números negativos. Quando a e b são positivos vale a propriedade . = . Mas, quando ambos são negativos a propriedade não é verdadeira. Por exemplo, a definição dada permite-nos escrever . = i . i = i2 . . = Entretanto, se usarmos a propriedade temos . = Quando multiplicamos radicais de números negativos, devemos em primeiro lugar, escrevê-los na forma i , com r > 0.

6. Representação dos números complexos
Um número complexo é constituído por duas componentes: a parte real e a parte imaginária. Isso sugere a utilização de dois eixos para representá-lo: um para a parte real e o outro para a parte imaginária. Esses dois eixos chamam-se eixo real e eixo imaginário, respectivamente. O plano determinado por esses dois eixos chama-se plano complexo.
Para desenharmos o gráfico do número complexo a + bi, marcamos o ponto (a; b) no plano.

Exemplo

7. Módulo de número complexo
O módulo (ou valor absoluto) do número complexo a + bi é distância de a + bi à origem do plano complexo. Usando o Teorema de Pitágoras, concluímos que a distância de (a; b) a (0; 0) é .
Definição
O módulo (ou valor absoluto) do complexo z = a + bi é
| z | =
Exemplos
O módulo do número complexo - 3 + 4i é
|-3 + 4i| = = = 5
O módulo do número complexo 7 + 4i é
|7 + 4i| = =

domingo, 17 de outubro de 2010

PENSAMENTOS FILOSÓFICOS

1) A geometria é uma ciência de todas as espécies possíveis de espaços. (Kant)


2) O espaço é o objeto que o geômetra deve estudar. (Poincaré)


3) O livro da natureza foi escrito exclusivamente com figuras e símbolos matemáticos. (Galileu Galilei)


4) Entre dois espíritos iguais, postos nas mesmas condições, aquele que sabe geometria é superior ao outro e adquire um vigor especial. (Blaise Pascal)


5) A Matemática é a honra do espiríto humano. (Gottfried Leibniz)


6) O céu deve ser necessariamente esférico, pois a esfera, sendo gerada pela rotação do círculo, é, de todos os corpos o mais perfeito. (Aristóteles)


7) A Geometria faz com que possamos adquirir o hábito de raciocinar, e esse hábito pode ser empregado, então, na pesquisa da verdade e ajudar-nos na vida. (Jacques Bernoulli)


8) Deus é o Geômetra onipotente para quem o mundo é imenso problema matemático. (Gottfried Leibniz)




10) Tomando a Matemática desde o início do mundo até o tempo de Newton, o que ele fez é de longe a melhor metade. (Gottfried Leibniz

quarta-feira, 13 de outubro de 2010

     A Matemática é uma ciência que relaciona o entendimento coerente e pensativo com situações práticas habituais. Ela compreende uma constante busca pela veracidade dos fatos através de técnicas precisas e exatas. Ao longo da história, a Matemática foi sendo construída e aperfeiçoada, organizada em teorias válidas e utilizadas atualmente.

     Ela prossegue em sua constante evolução, investigando novas situações e estabelecendo relações com os acontecimentos cotidianos.
    É considerada uma das ciências mais aplicadas em nosso cotidiano. Um simples olhar ao nosso redor e notamos a sua presença nas formas, nos contornos, nas medidas. As operações básicas são utilizadas constantemente, e os cálculos mais complexos são concluídos de forma prática e adequada de acordo com os princípios matemáticos postulados.
    Possui uma estreita relação com as outras ciências, que buscam nos fundamentos matemáticos explicações práticas para suas teorias. Dizemos que a Matemática é a ciência das ciências.
    Determinados assuntos ligados à Química, Física, Biologia, Administração, Contabilidade, Economia, Finanças, entre outras áreas de ensino e pesquisa, utilizam das bases matemáticas para estabelecerem resultados concretos e objetivos.
    Atualmente a Matemática é subdividida, dessa forma constatou-se que ficaria mais fácil o seu aprendizado. Podemos organizá-la da seguinte forma:
Aritmética


Álgebra:


Conjuntos Numéricos


Equações


Equações Algébricas


Funções


Sistemas Lineares


Progressões


Análise Combinatória


Probabilidade e Estatística


Matemática Financeira


Trigonometria


Geometria Plana


Geometria Espacial


Geometria Analítica


Cálculos