RELAÇÕES MÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO

Triângulo retângulo é todo triângulo que tem um ângulo reto. O triângulo ABC é retângulo em A e seus elementos são:

a: hipotenusa
b e c: catetos
h: altura relativa a hipotenusa
m e n: projeções ortogonais dos catetos sobre a hipotenusa.

Relações métricas

Para um triângulo retângulo ABC podemos estabelecer algumas relações entre as medidas de seus elementos:
- O quadrado de um cateto é igual ao produto da hipotenusa pela projeção desse cateto sobre a hipotenusa.
b² = a.n c² = a.m

- O produto dos catetos é igual ao produto da hipotenusa pela altura relativa a hipotenusa.
b.c = a.h

- O quadrado da altura é igual ao produto das projeções dos catetos sobre a hipotenusa.
h² = m.n

- O quadrado da hipotenusa é igual a soma dos quadrados dos catetos.
a² = b² + c²
Essa relação é conhecida pelo nome de TEOREMA DE PITÁGORAS.
Exemplo:
Neste triângulo ABC, vamos calcular a, h, m e n:

a² = b² + c² → a² = 6² + 8² → a² = 100 → a = 10

b.c = a.h → 8.6 = 10.h → h = 48/10 = 4,8

c² = a.m → 6² = 10.m → m = 36/10 = 3,6

b² = a.n → 8² = 10.n → n = 64/10 = 6,4

Determine os valores literais indicados nas figuras:

a)

13² = 12² + x² 5.12 = 13.y
169 = 144 + x² y = 60/13
x² = 25
x = 5

b)




c)


d)


Determine a altura de um triângulo eqüilátero de lado l.


Determine x nas figuras.

a)



O triângulo ABC é eqüilátero.

b)



c)



Determine a diagonal de um quadrado de lado l.




Razões trigonométricas

Considere um triângulo retângulo ABC. Podemos definir:


- Seno do ângulo agudo: razão entre o cateto oposto ao ângulo e a hipotenusa do triângulo.
senÊ = e/a senÔ = o/a

- Cosseno do ângulo agudo: razão entre o cateto adjacente ao ângulo e a hipotenusa do triângulo.
cosÊ = o/a cosÔ = e/a

- Tangente do ângulo agudo: razão entre o cateto oposto ao ângulo e o cateto adjacente.
tgÊ = e/o tgÔ = o/e

Observe: senÊ = cosÔ, senÔ = cosÊ e tgÊ = 1/tgÔ, sempre Ê + Ô = 90º

Exemplo:

senÔ = 3/5 = 0,6 senÊ = 4/5 = 0,8
cosÔ = 4/5 = 0,8 cosÊ = 3/5 = 0,6
tgÔ = 3/4 = 0,75 tgÊ = 4/3 = 1,333....

Ângulos notáveis

Podemos determinar seno, cosseno e tangente de alguns ângulos. Esses ângulos chamados de notáveis, são: 30°, 45° e 60°. A partir das definições de seno, cosseno e tangente, vamos determinar esses valores para os ângulos notáveis. Considere um triângulo eqüilátero de lado l. Traçando a altura AM, obtemos o triângulo retângulo AMC de ângulos agudos iguais a 30° e 60°. Aplicando as razões trigonométricas ao triângulo AMC temos:


Para obter as razões trigonométricas do ângulo de 45°, considere um quadrado de lado l. A diagonal divide o quadrado em dois triângulos retângulos isósceles.

No triângulo ABD, temos:



Observação: sen45° = cos45°


Resumindo temos a tabela:




Exercícios resolvidos:

1) Calcule o perímetro do triângulo retângulo ABC da figura, sabendo que o segmento BC é igual a 10 m e cos α = 3/5