quarta-feira, 4 de março de 2009

GEOMETRIA ANALITICA

CONTEÚDO DESENVOLVIDO COM AS TURMAS 34 E 35
DIA 02 DE MARÇO DE 2009
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1 - Introdução
A Geometria Analítica é uma parte da Matemática , que através de processos particulares , estabelece as relações existentes entre a Álgebra e a Geometria. Desse modo , uma reta , uma circunferência ou uma figura podem ter suas propriedades estudadas através de métodos algébricos .
Os estudos iniciais da Geometria Analítica se deram no século XVII , e devem-se ao filósofo e matemático francês René Descartes (1596 - 1650), inventor das coordenadas cartesianas (assim chamadas em sua homenagem), que permitiram a representação numérica de propriedades geométricas. No seu livro Discurso sobre o Método, escrito em 1637, aparece a célebre frase em latim "Cogito ergo sum" , ou seja: "Penso, logo existo".
O estudo da geometria é dividido em algumas partes, uma delas é a Geometria Analítica.
A geometria analítica faz a análise detalhada de termos importantes para o estudo da geometria em geral, como analisar a reta, o plano, o ponto.
Essa análise é dividida em tópicos:

• Coordenadas na reta
• Coordenadas no plano
• Segmentos de reta no plano
• A distância entre dois pontos
• Escolhendo o sistema de coordenadas
• Outros tipos de coordenadas
• As equações da reta
• Ângulo entre duas retas
• Distância de um ponto a uma reta
• Área de um triângulo
• Desigualdades lineares
• Equação da circunferência
• Reconhecimento da equação da circunferência
• Vetores no plano
• Operações com vetores
• Equação da elipse
• Equação da hipérbole
• Equação da parábola
• Mudança de coordenadas
• Formas quadráticas
• A equação geral do segundo grau
• O sinal de uma forma quadrática
• As equações paramétricas de uma reta
• Distância entre dois pontos no espaço
• Segmentos de Reta no Espaço
• Vetores no Espaço
• Equação do Plano

1.1 - Coordenadas cartesianas na reta
Seja a reta r na Fig. abaixo e sobre ela tomemos um ponto O chamado origem.
Adotemos uma unidade de medida e suponhamos que os comprimentos medidos a partir de O, sejam positivos à direita e negativos à esquerda.

______A'_________0___________A_______________>

______-1_________0___________+1______________>


O comprimento do segmento OA é igual a 1 u.c (u.c = unidade de comprimento). É fácil concluir que existe uma correspondência um a um (correspondência biunívoca) entre o conjunto dos pontos da reta e o conjunto R dos números reais. Os números são chamados abscissas dos pontos. Assim, a abscissa do ponto A’ é -1, a abscissa da origem O é 0, a abscissa do ponto A é 1, etc.

A reta r é chamada eixo das abscissas.
r_________________u________________

1.2 - Coordenadas cartesianas no plano
Com o modo simples de se representar números numa reta, visto acima, podemos estender a idéia para o plano, basta que para isto consideremos duas retas perpendiculares que se interceptem num ponto O, que será a origem do sistema.








Para começar o estudo da geometria analítica, é necessário conhecer o Plano Cartesiano:


O Eixo Y (linha vertical) é chamado de eixo das ordenadas, enquanto que o Eixo X (linha horizontal), é chamado de eixo das abscissas.
O ponto P (ponto vermelho da figura) possui duas coordenadas: X e Y , que indicam em que lugar dos eixos das ordenadas e abscissas ele se encontra. Representa-se isso por (Xp, Yp).

Os números romanos nos cantos mostram os quadrantes do plano cartesiano. Os pontos do eixo X que estão nos quadrantes II e III são negativos, enquanto que em I e IV são positivos. Os valores de Y nos quadrantes I e II são positivos, e nos restantes (III e IV), esses valores são negativos.

Bissetrizes
As bissetrizes são retas que cortam exatamente o centro do plano cartesiano ( ponto (0, 0) ), e formam um ângulo de 45º com os eixos X e Y. As coordenadas dos pontos que estão sobre a bissetriz que se encontra nos quadrantes pares são sempre opostos (se X for positivo, Y será negativo, e vice-versa).

Já os pontos sobre a bissetriz dos quadrantes ímpares, terão os valores de X e Y iguais. Veja no desenho abaixo:





1.1 - Coordenadas cartesianas no plano

Com o modo simples de se representar números numa reta, visto acima, podemos estender a idéia para o plano, basta que para isto consideremos duas retas perpendiculares que se interceptem num ponto O, que será a origem do sistema. Veja a Fig. a seguir:


Dizemos que a é a abscissa do ponto P e b é a ordenada do ponto P. O eixo OX é denominado eixo das abscissas e o eixo OY é denominado eixo das ordenadas. O ponto O(0,0) é a origem do sistema de coordenadas cartesianas.Os sinais algébricos de a e b definem regiões do plano denominadas QUADRANTES. No 1º quadrante, a e b são positivos, no 2º quadrante, a é negativo e b positivo, no 3º quadrante, ambos são negativos e finalmente no 4º quadrante a é positivo e b negativo.Observe que todos os pontos do eixo OX tem ordenada nula e todos os pontos do eixo OY tem abscissa nula. Assim, dizemos que a equação do eixo OX é y = 0 e a equação do eixo OY é x = 0. Os pontos do plano onde a = b, definem uma reta denominada bissetriz do 1º quadrante, cuja equação evidentemente é y = x. Já os pontos do plano onde a = -b (ou b = - a), ou seja, de coordenadas simétricas, definem uma reta denominada bissetriz do 2º quadrante, cuja equação evidentemente é y = - x. Os eixos OX e OY são denominados eixos coordenados.


Exercícios Resolvidos




EXERCÍCIOS SOBRE DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS


1. Calcule a distância entre os pontos dados:

a) A (3, 7) e B(1, 4)
b) E (3, -1) e F (3, 5)
c) H (-2, -5)e O (0, 0)

2. A distância do ponto A(a, 1) ao ponto b 0, 2) é igual a 3. Calcule o valor da abscissa a.
3. Um ponto P pertence ao eixo das abscissas e é eqüidistante dos pontos A(-1,2) e B (1 , 4) Quais s]ao as coordenadas do ponto P?


SOLUÇÃO:

l.
a) d(A,B) = V13
b) d(A,B) = 6
c) d(A,B) = V29

2. Se d (A,B) = 3 então a2 =8 => a = ± 2 √2


3.Se P pertence ao eixo das abscissas, então suas coordenadas são a e 0.
Como P (a,0) é equidistante de A e B, devemos ter d(P,A) = d(P,B). Assim:
a=3
Logo, o ponto P é (3,0) e as coordenadas do ponto P são 3 e 0.




Distância entre dois pontos

Se soubermos as coordenadas de dois pontos no plano cartesiano (ponto A e B), é possível determinar a sua distância, utilizando o teorema de Pitágoras
(a² = b² + c²)

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