ELEMENTOS DE EUCLIDES

Euclides viveu por volta de 300 a.C., isto considerando sua existência é claro, já que alguns historiadores dizem o contrário e atribuem suas obras a outros autores da época. Neste texto você encontra um pouco sobre a vida e obra de Euclides.
Na cidade de Alexandria, construída por Alexandre ao conquistar o Egito, no delta do Nilo estava o centro das atividades literárias e científicas, o Museu. Neste espaço do saber encontrava-se a grande biblioteca de Alexandria e foi neste contexto que Euclides organizou e liderou um grupo de matemáticos que realizaram estudos importantíssimos para a história da ciência.

Os Elementos é a principal obra de Euclides, a mais famosa da matemática e a que mais teve edições depois da Bíblia. Nos treze livros que constituem os Elementos, Euclides trata de tópicos de Geometria, Teoria dos Números e Álgebra.

Os elementos de Euclides contém 465 proposições nos trezes livros que estão organizados da seguinte maneira:

Livro I: Definições, postulados, axiomas, triângulos, construções, congruência, paralelismo, teorema de Pitágoras.

Livro II: transformações de áreas, razão áurea.

Livro III: Circunferências, cordas, secantes, tangentes e medidas de ângulos.

Livro IV: Polígonos Inscritos e Circunscritos.

Livro V: estudo geométrico das proporções.

Livro VI: Semelhança de polígonos.

Livro VII a IX: Aritmética (teoria dos números).

Livro X: comprimentos de segmentos de reta incomensuráveis com um segmento de reta dado (irracionais).

Livro XI a XIII: Geometria espacial.
Os treze livros

* Os livros I-IV tratam de geometria plana elementar. Partindo das mais elementares propriedades de retas e ângulos conduzem à congruência de triângulos, à igualdade de áreas, ao teorema de Pitágoras (livro I, proposição 47) e ao seu recíproco (livro I, proposição 48), à construção de um quadrado de área igual à de um retângulo dado, à seção de ouro, ao círculo e aos polígonos regulares. O teorema de Pitágoras e a seção de ouro são introduzidos como propriedades de áreas.

Como a maioria dos treze livros, o livro I começa com uma lista de Definições (23, ao todo) sem qualquer comentário como, por exemplo, as de ponto, reta, círculo, triângulo, ângulo, paralelismo e perpendicularidade de retas tais como:

*

"um ponto é o que não tem parte",
*

"uma reta é um comprimento sem largura"
*

"uma superfície é o que tem apenas comprimento e largura".

A seguir às definições, aparecem os Postulados e as Noções Comuns ou Axiomas, por esta ordem. Os Postulados são proposições geométricas específicas. "Postular" significa "pedir para aceitar". Assim, Euclides pede ao leitor para aceitar as cinco proposições geométricas que formula nos Postulados:
1. Dados dois pontos, há um segmento de reta que os une;
2. Um segmento de reta pode ser prolongado indefinidamente para construir uma reta;
3. Dados um ponto qualquer e uma distância qualquer pode-se construir um círculo de centro naquele ponto e com raio igual à distância dada;
4. Todos os ângulos retos são iguais;
5. Se uma linha reta cortar duas outras retas de modo que a soma dos dois ângulos internos de um mesmo lado seja menor do que dois retos, então essas duas retas, quando suficientemente prolongadas, cruzam-se do mesmo lado em que estão esses dois ângulos
(É este o célebre 5º Postulado de Euclides)

Assim, três conceitos fundamentais - o de ponto, o de reta e o de círculo - e cinco postulados a eles referentes, servem de base para toda a geometria euclidiana.

* O livro V apresenta a teoria das proporções de Eudoxo (408 a. C. - 355 a. C.) na sua forma puramente geométrica e

* O livro VI aplica-a à semelhança de figuras planas. Aqui voltamos ao teorema de Pitágoras e à seção de ouro (livro VI, proposições 31 e 30), mas agora como teoremas respeitados a razões de grandezas. É de particular interesse o teorema (livro VI, proposição 27) que contém o primeiro problema de máxima que chegou até nós, com a prova de que o quadrado é, de todos os retângulos de um dado perímetro, o que tem área máxima.

* Os livros VII-IX são dedicados à teoria dos números tais como a divisibilidade de inteiros, a adição de séries geométricas, algumas propriedades dos números primos e a prova da irracionalidade do número
.
Aí encontramos tanto o «algoritmo de Euclides», para achar o máximo divisor comum entre dois números, como o «teorema de Euclides», segundo o qual existe uma infinidade de números primos (livro IX, proposição 20).

* O livro X, o mais extenso de todos e muitas vezes considerado o mais difícil, contém a classificação geométrica de irracionais quadráticos e as suas raízes quadráticas.

* Os livros XI-XIII ocupam-se com a geometria sólida e conduzem, pela via dos ângulos sólidos, aos volumes dos paralelepípedos, do prisma e da pirâmide, à esfera e àquilo que parece ter sido considerado o clímax - a discussão dos cinco poliedros regulares («platônicos») e a prova de que existem somente estes cinco poliedros regulares.

Euclides foi um dos primeiros a utilizar o método axiomático, e desta maneira, produziu um sistema lógico que serviu de exemplo para muitos na construção do conhecimento científico. O método axiomático é uma técnica de apresentação e construção de uma teoria que foi desenvolvida por Aristóteles.