ENSINO DE MATEMATICA

Uma pausa para reflexão sobre como aprender Matemática.


Até há pouco tempo, muitas gerações de professores de Matemática se formaram aprendendo a dar aulas segundo um único método, um TRINÔMIO:

1.- Uma definição seca e precisa;

2.- Alguns exemplos que o próprio professor resolve para o aluno aprender como se faz;

3.- O professor propõe exercícios, separados em tipos, para o aluno resolver.

Com isso, desenvolveu-e uma educação matemática técnica, impessoal, na qual a ação dos homens que criaram os conceitos matemáticos e as necessidades sociais da época quejustificaram essa criação hoje não tem lugar.
Quando o aluno termina o 2° grau, percebe-se facilmente que ele não aprendeu uma ciência chamada Matemática, mas sim, formou-se em tipos de exercícios de matemática.

GEOMETRIA ANALÍTICA

DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS


TURMAS 34 e 35 (noturno)



Aula dada para turma 34 e 35
dia 10 de março de 2009

Distância entre dois pontos

Se soubermos as coordenadas de dois pontos no plano cartesiano (ponto A e B), é possível determinar a sua distância, utilizando o teorema de Pitágoras
(a² = b² + c²)

Exemplo:

Calcule a distancia entre os pontos dados A (3,l) B(4,6)

Exercícios propostos em sala de aula (Livro didático Dante, Luiz Roberto 3a. série
página 10, 11 exercícios 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 15, 17, 18, 19)


aula data 20 de março de 2009.

EXERCÍCIOS SOBRE DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS


1. Calcule a distância entre os pontos dados:

a) A (3, 7) e B(1, 4)
b) E (3, -1) e F (3, 5)
c) H (-2, -5)e O (0, 0)

2. A distância do ponto A(a, 1) ao ponto b 0, 2) é igual a 3. Calcule o valor da abscissa a.
3. Um ponto P pertence ao eixo das abscissas e é eqüidistante dos pontos A(-1,2) e B (1 , 4) Quais s]ao as coordenadas do ponto P?


SOLUÇÃO:

l.
a) d(A,B) = V13
b) d(A,B) = 6
c) d(A,B) = V29

2. Se d (A,B) = 3 então a2 =8 => a = ± 2 √2


3.Se P pertence ao eixo das abscissas, então suas coordenadas são a e 0.
Como P (a,0) é equidistante de A e B, devemos ter d(P,A) = d(P,B). Assim:
a=3
Logo, o ponto P é (3,0) e as coordenadas do ponto P são 3 e 0.

trigonometria - Pesquisa Google TURMAS 21,22,24,25

CONTEÚDO PARA AS TURMAS 21, 22, 24 E 25

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trigonometria - Pesquisa Google



TRIGONOMETRIA


INTRODUÇÃO
Trigonometria é o ramo da Matemática que trata das relações entre os lados e ângulos de triângulos (polígonos com três lados). A trigonometria plana lida com figuras geométricas pertencentes a um único plano, e a trigonometria esférica trata dos triângulos que são uma seção da superfície de uma esfera.
A trigonometria começou como uma Matemática eminentemente prática, para determinar distâncias que não podiam ser medidas diretamente. Serviu à navegação, à agrimensura e à astronomia. Ao lidar com a determinação de pontos e distâncias em três dimensões, a trigonometria esférica ampliou sua aplicação à Física, à Química e a quase todos os ramos da Engenharia, em especial no estudo de fenômenos periódicos como a vibração do som e o fluxo de corrente alternada.
A trigonometria começou com as civilizações babilôlica e egípcia e desenvolveu-se na Antiguidade graças aos gregos e indianos. A partir do século VIII d.C., astronômos islâmicos aperfeiçoaram as descobertas gregas e indianas, notadamente em relação às funções trigonométricas.
A trigonometria moderna começou com o trabalho de matemáticos no Ocidente a partir do século XV. A invenção dos logaritmos pelo escocês John Napier e do cálculo diferencial e integral por Isaac Newton auxiliaram os cálculos trigonométricos.
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O CICLO TRIGONOMÉTRICO

Geometria Analitica - tópicos a serem desenvolvidos

O estudo da geometria é dividido em algumas partes, uma delas é a Geometria Analítica. Conteúdo este visto no primeiro trimestre na Escola Estadual de Ensino Médio 9 de Maio – Imbé - RS
A Geometria Analítica faz a análise detalhada de termos importantes para o estudo da geometria em geral, como analisar a reta, o plano, o ponto.
Essa análise é dividida em tópicos:
. Introdução
Sistema cartesiano ortogonal
• Coordenadas na reta
• Coordenadas no plano
• Segmentos de reta no plano
• A distância entre dois pontos
Coordenadas do ponto médio de um segmento de reta
Condição de alinhamento de três pontos
Coeficiente angular de uma reta
Equação da reta quando são conhecidos um ponto Pó(Xô, Yo) e a declividade m da reta
• Escolhendo o sistema de coordenadas
• As equações da reta
• Ângulo entre duas retas
• Distância de um ponto a uma reta
• Área de um triângulo
• Desigualdades lineares

• Equação da circunferência
• Reconhecimento da equação da circunferência
• A equação geral do segundo grau
• O sinal de uma forma quadrática
• As equações paramétricas de uma reta

Progressões

Progressão aritmética
OBSERVAÇÃO: ESTE CONTEÚDO ESTA EM CONSTRUÇÃO...


A progressão é um tipo de seqüência que envolve apenas números. Podendo dizer então que progressão, matematicamente dizendo, é uma seqüência de números que estão dispostos conforme uma determinada regra, veja o exemplo:
Dada a seguinte seqüência numérica: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, esses números obedecem a uma ordem que é de dois em dois, então a regra da progressão é que os números que estão na seqüência devem ser de dois em dois.

Por existir essas regras das seqüências numéricas que existem dois tipos de progressão:
- Progressão aritmética
- Progressão geométrica

Chamamos de progressão aritmética, ou simplesmente de PA, a toda seqüência em que cada número, somado a um número fixo, resulta no próximo número da seqüência. O número fixo é chamado de razão da progressão e os números da seqüência são chamados de termos da progressão.

Observe os exemplos:

50, 60, 70, 80 é uma PA de 4 termos, com razão 10.

3, 5, 7, 9, 11, 13 é uma PA de 6 termos, com razão 2.

-8, -5, -2, 1, 4 é uma PA de 5 termos, com razão 3.

156, 152, 148 é uma PA de 3 termos, com razão -4.

100, 80, 60, 40 é uma PA de 4 termos, com razão -20.

6, 6, 6, 6,..... é uma PA de infinitos termos, com razão 0.



Numa PA de 7 termos, o primeiro deles é 6, o segundo é 10. Escreva todos os termos dessa PA.

6, 10, 14, 18, 22, 26, 30



Numa PA de 5 termos, o último deles é 201 e o penúltimo é 187. Escreva todos os termos dessa PA.

145, 159, 173, 187, 201



Numa PA de 8 termos, o 3º termo é 26 e a razão é -3. Escreva todos os termos dessa PA.

32, 29, 26, 23, 20, 17, 14, 11



Numa PA, o 1º termo é 45 e o 2º termo é 80. Qual a razão dessa PA.




Numa PA, o 5º termo é -7 e o 6º termo é 15. Qual a razão dessa PA.




Símbolos usados nas progressões

Em qualquer seqüência, costumamos indicar o primeiro termo por a1, o segundo termo por a2, o terceiro termo por a3, e assim por diante. Generalizando, o termo da seqüência que está na posição n é indicado por an.



Veja alguns exemplos



Na PA 2, 12, 22, 32 temos: a1 = 2, a2 = 12, a3 = 22 e a4 = 32

Quando escrevemos que, numa seqüência, tem-se a5 = 7, por exemplo, observe que o índice 5 indica a posição que o termo ocupa na seqüência. No caso, trata-se do 5º termo da seqüência. Já o símbolo a5 indica o valor do termo que está na 5º posição. No caso o valor do quinto termo é 7.

A razão de uma PA é indicada por r, pois ela representa a diferença entre qualquer termo da PA e o termo anterior.

Observe os exemplos:



Na PA 1856, 1863, 1870, 1877, 1884 a razão é r = 7, pois:

a2 – a1 = 1863 - 1856 = 7

a3 – a2 = 1870 – 1863 = 7

a4 – a3 = 1877 – 1870 = 7

a5 – a4 = 1884 – 1877 = 7



Na PA 20, 15, 10, 5 a razão é r = -5, pois:

a2 – a1 = 15 – 20 = -5

a3 – a2 = 10 – 15 = -5

a4 – a3 = 5 – 10 = -5



Classificação das progressões aritméticas



Uma PA é crescente quando cada termo, a partir do segundo, é maior que o termo que o antecede. Para que isso aconteça é necessário e suficiente que a sua razão seja positiva.

Exemplo:

(7, 11, 15, 19,...) é uma PA crescente. Note que sua razão é positiva, r = 4

Uma PA é decrescente quando cada termo, a partir do segundo, é menor que o termo que o antecede. Para que isso aconteça é necessário e suficiente que a sua razão seja negativa.

Exemplo:

(50, 40, 30, 20,...) é uma PA decrescente. Note que sua razão é negativa, r = -10

Uma PA é constante quando todos os seus termos são iguais. Para que isso aconteça é necessário e suficiente que sua razão seja igual a zero.

Exemplo:





Determine x para que a seqüência (3+ x, 5x, 2x + 11) seja PA.

5x – ( 3 + x ) = 2x + 11 – 5x

5x – 3 – x = 2x +11 – 5x

5x – x – 2x + 5x = 11 + 3

7x = 14

x = 14/7 = 2



Fórmula do termo geral da PA



an = a1 + (n – 1).r
An = último termo
n = número de termos
a1 = primeiro termo
r = razão ( segundo termo menos o primeiro termo)



Determinar o 61º termo da PA (9, 13, 17, 21,...)

r = 4
a1 = 9
n = 61
a61 = ?

a61 = 9 + (61 – 1).4
a61 = 9 + 60.4 = 9 + 240 = 249



Determinar a razão da PA (a1, a2, a3,...) em que a1 = 2 e a8 = 3

an = a1 + ( n – 1 ).r

a8 = a1 + (8 – 1 ).r

a8 = a1 + 7.r

3 = 2 + 7.r

7r = 3 – 2

7r = 1

r = 1/7

Determinar o número de termos da PA (4,7,10,...,136)

a1 = 4 an = 136 r = 7 – 4 = 3

an = a1 + (n – 1).r

136 = 4 + (n – 1).3

136 = 4 + 3n – 3

3n = 136 – 4 + 3

3n = 135

n = 135/3 = 45 termos



Determinar a razão da PA tal que:

a1 + a4 = 12
a3 + a5 = 18
a4 = a1 + (4 – 1).r
a3 = a1 + (3 – 1).r
a5 = a1 + 4r
a4 = a1 + 3r
a3 = a1 + 2r
a1 + a1 + 3r = 12
a1 + 2r + a1 + 4r = 18
2a1 + 3r = 12

2a1 + 6r = 18

3r = 6

r = 6/3 = 2



Interpolar (inserir) cinco meios aritméticos entre 1 e 25, nessa ordem .



Interpolar (ou inserir) cinco meios aritméticos entre 1 e 25, nessa ordem, significa determinar a PA de primeiro termo igual a 1 e último termo igual a 25.

(1,_,_,_,_,_,25)

a7 = a1 + 6r

25 = 1 + 6r

6r = 24

r = 24/6

r = 4

(1, 5, 9, 13, 17, 21, 25)



Representação genérica de uma PA



PA de três termos:

(x, x + r, x + 2r)

ou

(x – r, x , x + r), em que a razão é r



PA de quatro termos:

(x, x + r, x + 2r, x + 3r)

ou

(x – 3r, x – r, x + r, x + 3r), em que a razão é 2r



Cálculo da soma dos n primeiros termos de uma PA

Em uma pequena escola do principado de Braunschweig, Alemanha, em 1785, o professor Buttner propôs a seus alunos que somassem os números naturais de 1 a 100. Apenas três minutos depois, um gurizote de oito anos de idade aproximou-se da mesa do senhor Buttner e, mostrando-lhe sua prancheta, proclamou: “ taí “. O professor, assombrado, constatou que o resultado estava correto. Aquele gurizote viria a ser um dos maiores matemáticos de todos os tempos: Karl Friedrich Gauss (1777-1855). O cálculo efetuado por ele foi simples e elegante: o menino percebeu que a soma do primeiro número, 1, com o último, 100, é igual a 101; a soma do segundo número, 2 , com o penúltimo, 99 , é igual a 101; também a soma do terceiro número, 3 , com o antepenúltimo, 98 , é igual a 101; e assim por diante, a soma de dois termos eqüidistantes dos extremos é igual a soma dos extremos.

1 2 3 4..................................97 98 99 100



4 + 97 = 101

3 + 98 = 101

2 + 99 = 101

1 + 100 = 101



Como são possíveis cinqüenta somas iguais a 101, Gauss concluiu que:

1 + 2 + 3 + 4 + .......................... + 97 + 98 + 99 + 100 = 50.101 = 5050

Esse raciocínio pode ser estendido para o cálculo da soma dos n primeiros termos de uma progressão aritmética qualquer:






Calcular a soma dos trinta primeiros termos da PA (4, 9, 14, 19,...).



a30 = a1 + (30 – 1).r

a30 = a1 + 29r

a30 = 4 + 29.5 = 149





Calcular a soma dos n primeiros termos da PA (2, 10, 18, 26,...).



an = 2 + (n – 1).8

an = 2 + 8n – 8

an = 8n – 6





Determine a soma dos termos da PA (6, 10, 14,..., 134).





Calcule a soma dos múltiplos de 7 compreendidos entre 100 e 300.



Múltiplos de 7 (0, 7, 14, 21, 28,...).

O primeiro múltiplo de 7 compreendido entre 100 e 300 é o 105.

O último múltiplo de 7 compreendido entre 100 e 300 é o 294.

294 = 105 + (n – 1).7

294 = 105 + 7n – 7

7n = 294 – 105 + 7

7n = 196

n = 196/7 = 28






Progressão geométrica

Denominamos de progressão geométrica, ou simplesmente PG, a toda seqüência de números não nulos em que cada um deles, multiplicado por um número fixo, resulta no próximo número da seqüência. Esse número fixo é chamado de razão da progressão e os números da seqüência recebem o nome de termos da progressão.



Observe estes exemplos:

8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024 é uma PG de 8 termos, com razão 2.

5, 15, 45,135 é uma PG de 4 termos, com razão 3.

3000, 300, 30, 3 é uma PG de 4 termos, com razão 1/10



Numa PG de 5 termos o 1º termo é 2 e o 2º termo é 12. Escreva os termos dessa PG.

2, 12, 72, 432, 2592

Numa PG de 4 termos, o último termo é 500 e o penúltimo é 100. Escreva os termos dessa PG.

4,20,100,500



Numa PG de 6 termos, o 1º termo é 3 e a razão é 10. Qual o 6º termo dessa PG.

3,30,300,3000,30000,300000

a6 = 300000



Numa PG de 5 termos, o 3º termo é -810 e a razão é -3. Escreva os termos dessa PG.

-90,270,-810,2430,-7290



Numa PG, o 9º termo é 180 e o 10º termo é 30. Qual a razão dessa PG.

q = 30/180 = 3/18 = 1/6

A razão é 1/6





Fórmula do termo geral de uma progressão geométrica.






Determinar o 15º termo da progressão geométrica (256, 128, 64,...).





Determinar a razão da PG tal que:




Determinar o número de termos da PG (128, 64, 32,......, 1/256).





Determinar a razão da PG tal que:





Representação genérica de uma PG:



a) PG de três termos, (x, xq, xq²) em que a razão é q;

(x/q, x, xq), com razão q, se q ≠ 0.



b) PG de quatro termos, (x, xq, xq², xq³), com razão q;

(x/q³, x/q, xq, xq³), com razão q², se q ≠ 0.



Determinar a PG de três termos, sabendo que o produto desses termos é 8 e que a soma do segundo com o terceiro termo é 10.




Fórmula da Soma de uma PROGRESSÃO GEOMÉTRICA
Soma dos n primeiros termos de uma PG:





Sendo Sn a soma dos n primeiros termos da PG (a1,a2, a3,...an,...) de razão q, temos:

Se q = 1, então Sn = n.a1





Calcular a soma dos dez primeiros termos da PG (3, 6, 12,....).