sábado, 16 de maio de 2009

ALGEBRA I (algoritmo)

Eu tenho o dobro da idade que tu tinhas, quando eu tinha a idade que tu tens. Quando tu tiveres a minha idade, a diferença entre nossas idades será de 5 anos. Calcule nossas idades?
Solução:
Veja a figura abaixo, onde estão representados o passado, o presente e o futuro, bem como, Eu e Tu. O problema diz:
1) Eu tenho (presente) o dobro da idade que Tu tinhas (passado). Então, se Tu tinhas “x” anos Eu tenho “2x” anos.

2) Quando Eu tinha (passado) a idade que Tu tens (presente). Então, se Tu tens “y” anos eu tinha “y” anos.

3) Quando Tu tiveres (futuro) a minha idade (presente), que já sabemos ser “2x”, então Tu terás “2x”.
Mas, como não sei a minha idade no futuro, chamamos de uma letra qualquer “A”.
Preenchendo o restante do quadro, temos:

Observe com atenção que:
Se uma pessoa tiver hoje 30 anos e uma outra, 25 anos; é claro que essa diferença, hoje é de 5 anos.
Relacionando o presente com o passado, por exemplo, há 10 anos, quanto era essa diferença? É claro que era de 5 anos. Há 17 anos, de quanto era essa diferença? Era também de 5 anos.
A diferença será sempre constante. Então, podemos escrever:
2x – y = y - x
2x + x = y + y
3x = 2y
x = ( 2/3 )y
Relacionando, agora, o futuro com o presente. Como a diferença das idades hoje, é de 5 anos, no exemplo dado, daqui a 10 anos ou a 20 anos ou a 40 anos, será sempre, de 5 anos. Então, podemos escrever:
A – 2x = 2x – y
Mas, A – 2x = 5, substituindo na equação anterior, teremos:
5 = 2x – y
Mas, veja que “x” é igual a ( 2/3 )y que, substituindo na equação anterior resulta:
5 = 2. ( 2/3)y – y.
Que resolvida, nos dá: y = 15 anos, que é tua idade no presente.
Se y = 15, então: x = (2/3).15 → x = 10 anos.
Então, no presente, a minha idade é 20 anos.

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