ANGULOS E SUAS RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS

No estudo da trigonometria, os ângulos e suas reações trigonométricas com o triângulo retângulo são muito trabalhados. Existem alguns ângulos que são trabalhados com mais freqüência, são chamados ângulos notáveis.

Esses ângulos são de 30°, 45º e 60°. O valor do seu seno, co-seno e tangente são representados de uma forma diferente dos outros ângulos.

Para demonstrarmos o valor do seno, co-seno e tangente desses ângulos é preciso relembrar algumas fórmulas.

Seno, co-seno e tangente são relações trigonométricas feitas em um triângulo retângulo, veja:



Para demonstrarmos as relações trigonométricas no triângulo retângulo dos ângulos 30°e 60° é preciso obter um triângulo que tenha esses dois ângulos.

Observe o triângulo eqüilátero (todos os ângulos internos são iguais a 60º) ABC de lado igual a x, é preciso calcular o valor da sua altura. Quando traçamos sua altura, é o mesmo que traçar a bissetriz do ângulo A e a mediatriz do lado



Para calcular a sua altura basta aplicar o Teorema de Pitágoras no triângulo AHC:



√3x2 = h
√4

h = x√3
2

Com o valor da altura em função de x e utilizando o triângulo retângulo AHC, podemos determinar as relações trigonométricas dos ângulos de 60° e de 30º no triângulo AHC.


• seno 60° = Cateto oposto
hipotenusa

seno 60° = x√3
2
x

Seno 60° = x√3 . 1
2 x

seno 60° = √3
2

• seno 30º = Cateto oposto
hipotenusa

seno 30° = x
2
x

seno 30° = x . 1
2 x

seno 30° = 1
2


• Cos 60° = cateto adjacente
Hipotenusa

Cos 60° = x
2
x

cos 60° = x . 1
3 x

cos 60° = 1
2

• Cos 30º = Cateto oposto
Hipotenusa


Cos 30° = x√3
2
x

cos 30° = x√3 . 1
3 x

cos 30° = √3
2

• tg 30° = cateto oposto
cateto adjacente

tg 30° = x√3
2
x

tg 30° = x√3 . 1
3 x

tg 30° = √3
3

• tg 60º = cateto oposto
cateto adjacente

tg 60° = x√3
2
x
2

tg 60° = x√3 . 2
2 x


tg 60º = √3


O triângulo eqüilátero não possui ângulo de 45°, em um quadrado quando traçamos a sua diagonal formamos dois triângulos retângulos, a diagonal é uma bissetriz, ou seja, divide o ângulo de 90º em dois de 45º. Veja como:

Dado o quadrado ABCD de lado x e diagonal d.


Aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo ABD iremos descobrir um valor para a diagonal (d) em função de x.




d2 = x2 + x2

d2 = 2x2
d = √2x2

d = x√2

Assim, com o valor da diagonal é possível calcular o valor das relações trigonométricas do triângulo retângulo ABD com o ângulo de 45°.

sen 45º = x
x√2

sen 45º = 1 . √2 = √2
√2 √2 2

sen 45º = √2
2


cos 45º = 1 . √2 = √2
√2 √2 2

cos 45º = √2
2

Dizemos que 30°, 45° e 60º são ângulos notáveis, pois suas relações trigonométricas são visivelmente provadas. Veja agora a relação trigonométrica resumida na tabela abaixo:



Trigonometria em um triângulo qualquer
Lei do senos e Lei dos cossenos.