TEORIA DAS PROBABILIDADES

TEORIA DAS PROBABILIDADES

Prof. Claudio Cunha

Introdução

Consideremos os seguintes experimentos:

      Aquecimento  que da água contido em uma panela;

      ;Queda livre de um corpo.

Conhecidas certas condições, podemos prever a temperatura em que a água entrará em ebulição e a velocidade com que o corpo atingirá o solo.

Os experimentos cujos resultados podem ser previstos, isto é, podem ser determinados antes da sua realização, são denominados  experimentos determinísticos.

Consideremos também os experimentos:

    ;Lançamento de uma moeda e leitura da figura da face voltada para cima;

    ;Lançamento de um dado comum e leitura do número voltado para cima;

    ;Nascimento de uma criança;

    ;Sorteio de uma carta do baralho.

Se esses  experimentos forem repetidos várias vezes, nas mesmas condições, não poderemos prever o seu resultado.

Experimentos que, ao serem realizados repetidas vezes, nas mesmas condições, apresentarem resultados variados, não sendo possível, portanto, a previsão lógica dos resultados, são denominados experimentos aleatórios.

Um experimento aleatório apresenta as seguintes características fundamental Podem repetir-se várias vezes nas mesmas condições;

    É conhecido o conjunto de todos os resultados possíveis;

    ;Não se pode prever qual o resultado.

Os experimento aleatório  estão sujeitos  à lei do acaso.

Como não podemos prever o resultado, procuraremos descobrir as possibilidades de ocorrência de cada experimento aleatório.

A teoria da probabilidade estuda a forma de estabelecer as possibilidades de ocorrência de cada experimento aleatório.

ELEMENTOS ;ESPAÇO AMOSTRAL – É o conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório. Indicaremos o espaço amostral por   U.

     EVENTO -  É qualquer subconjunto do espaço amostral.

Vejamos alguns exemplos.

1º exemplo: Determinar o espaço amostral  nos seguintes experimentos.

Jogar-se uma moeda e  lê-se a figura da face voltada para cima.

Joga-se um dado comum e lê-se o número voltado para cima.

Jogam-se duas moedas diferentes e lêem-se as figuras das faces voltadas para cima.

RESOLUÇÃO:

       U = {cara, coroa}

       U = {1,2,3,4,5,6 }

       U=  { (cara, cara) (cara, coroa) (coroa, coroa) (coroa, cara)}

2º exemplo: Seja uma urna contendo 3 bolas pretas e 3 bolas  vermelhas.  Dessa urna são retiradas, sucessivamente, 3 bolas. Calcular  explicitando os elementos dos seguintes eventos.

     As três bolas têm a mesma cor.

    ;Duas das bolas são pretas.

     As três bolas são vermelhas.

     O número de bolas pretas é igual ao número de bolas vermelhas.

RESOLUÇÃO:;1ª bola                  2ª bola              3ª bola

                                     

O Espaço Amostral  será:

U = {(PPP), (PPV), (PVP), (PVV), (VPP), (VPV), (VVP), (VVV)}

    {(PPP), (VVV)}             b) {(PPV), (PVP), (VPP)}           c)  {(VVV)};       d)  Æ

 

Exercícios de aprendizagem

     Dê o espaço amostral dos seguintes experimentos:

Lançamento simultâneo de três moedas. Faça: C = cara, K = coroa;
;Distribuição dos 4 filhos de uma família, quanto ao sexo, por ordem de nascimento.

Considere o experimento: lançamento de dois dados, um branco e outro verde, e observação da face superior. Determine ;O espaço amostral.

  O evento: ocorrência de números iguais nos dois lados
  O evento: ocorrência de números cuja soma seja 5.

TIPOS DE EVENTOS

Considere o experimento aleatório: lançamento de um dado comum e observação do número voltado para cima.

O espaço amostral será: U = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

    ;EVENTO CERTO: É o próprio espaço amostral.

Exemplo:  Evento A ® ocorrência de um número menor de 8

A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

     EVENTO IMPOSSÍVEL: É o subconjunto vazio do espaço amostral.

Exemplo: evento B ® ocorrência de um número maior que 10.

B =Æ

     EVENTO UNIÃO:  É a reunião de dois eventos.

Exemplo: 

Evento A ® ocorrência de um número impar Þ E = {1, 3, 5}

Evento B ® ocorrência de um número par primo Þ B = {2}

Evento  A È B ® ocorrência de um número ímpar ou de um número par primo ®  A U  B = {1, 2, 3, 5}

    ;EVENTO INTERSECÇÃO:  É a intersecção de dois eventos.

Exemplo:

Evento A ® ocorrência de um número par Þ A = {2, 4, 6}

Evento B ® ocorrência  de um número múltiplo de 4 Þ B = {4}

Evento  A Ç B ® ocorrência de um número par e múltiplo de 4 Þ AÇB = {4}

     EVENTO MUTUAMENTE EXCLUSIVOS: São aqueles que têm conjuntos disjuntos.

Exemplos:

Evento D ® ocorrência de número par Þ D = {2, 4, 6}

Evento E ® ocorrência  de número ímpar Þ E = {1, 3, 5}

D Ç E =Æ

;EVENTO COMPLEMENTARES:  São dois eventos  A e ¯A  tais que:

A ȯA = U (o evento união é o próprio espaço amostral)

A Ç ¯A = Æ ( o evento intersecção é o conjunto vaio).

Exemplos:

Evento A ® ocorrência de número par Þ A = {2, 4, 6}

Evento ¯A ® ocorrência  de número ímpar Þ ¯A = {1, 3, 5}

Observe que:  A È ¯A = U = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

                         A ǯA = Æ

EXERCÍCIOS DE APRENDIZAGEM

Em uma caixa há 5 papeletas, numeradas de 1 a 5. Retiram-se duas delas ao acaso e calcula-se a soma dos números escritos.

Determine os eventos:

Obter uma soma par e múltipla de 3.
Obter uma soma ímpar ou múltipla de 3.

Obter uma soma múltipla de 7.

     Considere o lançamento de dois dados, um branco e um vermelho.

Dados ® os eventos

A : sair  5 no dado branco e 

B : sair  5 no dado vermelho,

Calcule:

A È B                    b)   A Ç B               c)   ¯A

PROBABILIDADE DE UM EVENTO

Se, num fenômeno aleatório, o número de elemento do espaço amostral é n(U)  e o número de elementos do evento  A é  n(A), então a probabilidade de ocorrer o evento A é o número  P(A) tal que:

                                                P(A)  =   n(P)/n(U)

Esta definição é válida, quando o espaço amostral U for equiprobabilístico,isto é, quando todos os elementos de U tiverem a mesma probabilidade.

Notas:

1ª) P (Æ) = 0 e P(U) = 1

2ª) Como 0 £ n (A) £ n (U)-se , tem-se: 0 £ P (A) £ 1.

3ª) É comum   representarmos as probabilidades  em porcentagem.

Por exemplo, em vez de dizermos P(A) = 1/2,  podemos dizer P (A) = 50%.

Vejamos alguns exemplos.

1º exemplo; No lançamento de um dado, determinar a probabilidade de se obter:

      O número 2;              b) um número par;           c) um número múltiplo de 3.

Resolução:

O  espaço amostral é U = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, portanto n(U)=
;Ocorrência do número 2: ®   A = {2}, portanto n(A) = 1

           P(A) = n(A)/n(U) =  1/6 = 0,1666 ou P(A)  = 16,66%

                Ocorrência  de número par:

           B = {2, 4, 6}, portanto n(B) = 3

P(B) =n(B)/n(U) =  3/6  = 1/2  =  0,5  ou P(B) = 50%

     Ocorrência de número múltiplo de 3:

C = {3, 6}, portanto n(C) = 2

P(C ) = n(C)/n(U) = 2/6 = 1/3 =  0,3333 ou P(C) = 33,33%

Exercício:

De um baralho com 52 cartas tiram-se, sucessivamente, sem reposição, duas cartas.

 Determinar a probabilidade dos eventos: 

.    As  dua cartas são damas

       As duas cartas são de ouros.

Resolução:

Cálculo do número de elementos do espaço amostral:

1ª possibilidade                 2ª possibilidade

        52                                        51                  Þ n(U) = 52 .51 = 2652

Cálculo do número de elementos do evento A: duas damas.

Temos 4 damas : portanto:  A_4,2= 4 . 3 = 12    Þ n(A) = 12

                               n(A)/n(U)  = 12/2652  = 1/221 

     Cálculo do número de elementos do evento B: duas cartas de ouros.

Temos 13 cartas de ouros, portanto A_13,2 = 13 . 12 = 156

P(B) = N(B)/N(U)  = 156/2652 = 13/221 = 1/17

Exercícios  de aprendizagem

               ;No lançamento de um dado, determine a probabilidade de se obter:

O número 1.

 Um número primo.

 Um número divisível por 2.
Um número menor que 5.

Um número maior  6.

                No lançamento simultâneo de dois dados, um branco e um vermelho, determine a probabilidade dos  seguintes eventos:

;Os números são iguais;

A soma dos números é igual a 9.

              Um m ás, baralho de 12 cartas tem 4 ases. Retiram-se duas cartas uma após outra. Qual a probabilidade de que a segunda seja um ás, sabendo-se que é um ás?

&De um baralho de 52 cartas tira-se ao acaso  uma das cartas. Determine a probabilidade de que a carta seja:

;Uma dama.

;Uma dama de paus.

;Uma carta de ouros.

O ÚLTIMO TEOREMA DE FERMAT

RESENHA

O ÚLTIMO TEOREMA DE FERMAT

Autor Simon Singh/Ed. Record 2008 13a ed.

A história do enigma  que confundiu as mentes do mundo durante 358 anos.

     A história do Último Teorema de Fermat está ligada profundamente à história da matemática, tocando em todos os temas da teoria dos números. Ela proporciona uma visão única do que impulsiona a matemática e, talvez ainda mais importante, o que inspira os matemáticos. O Último Teorema de Fermat é o coração de uma saga de coragem, fraudes, astúcias e tragédia, envolvendo todos os grandes heróis da matemática.

     As origens do Último Teorema de Fermat encontram-se na Grécia antiga.

     A leitura desse livro:

     “Eu descobri uma demonstração maravilhosa, mas a margem deste papel é muito estreita para contê-la”. Com esta anotação incompleta, feita em 1637 no livro Aritmética, de Diofante, o matemático francês Pierre de Fermat, que morreu antes de descrever seu teorema, lançava o desafio que iria confundir e frustrar os matemáticos mais brilhantes do mundo por mais de 350 anos.

     O capítulo 1 conta a história  de Pitágoras e descreve como o teorema de Pitágoras é o ancestral direto do Último Teorema.

     O capítulo 2 narra a história  que vai da Grécia antiga até a França do século XVII, quando Pierre de Fermat criou o enigma mais profundo da história para a matemática.

     O capítulo 3 e 4 descrevem algumas das tentativas para solucionar o Último Teorema de Fermat durante os séculos XVIII, XIX e inicio do sec. XX.

    Os capítulos 6 e  7   abordam o trabalho de Andrew Wiles.

     Em 1637, o notável matemático francês Pierre de Fermat (1601-1665) criou um desafio que levou mais de 350 anos para ser decifrado: considerando a equação x³ + y³ = z³, Fermat afirmou que não existem valores inteiros positivos para x, y e z que satisfaçam a equação, quando n é um número inteiro maior do que 2.

     "Encontrei uma demonstração verdadeiramente maravilhosa, mas a margem deste papel é muito pequena para contê-la", escreveu Fermat na margem de um exemplar da Aritmética de Diofante.

     O problema é fácil de ser compreendido, pois lembra o teorema de Pitágoras, segundo o qual a² + b² = c², como pode ser comprovado pela clássica solução 3 x 3 (9) + 4 x 4 (16) = 5 x 5 (25). Fermat afirmava que, para potências maiores que 2, a fórmula não era verdadeira. E dizia haver uma prova, que ele não apresentava.

     O famoso teorema só foi demonstrado em 1993, a 23 de junho, Cambridge apesar de vários gênios da matemática terem tentado sua comprovação ao longo de séculos. O próprio Fermat demonstrou que o teorema é verdadeiro para n = 4. Depois dele, matemáticos provaram que ele é verdadeiro para outros valores de n como 5 e 7.  O conferencista era Andrew Wiles, um inglês de poucas palavras que emigrara para os Estados Unidos na década de 1980. Duzentos matemáticos estavam extasiados. Somente um quarto daquela platéia compreendia totalmente a densa mistura de símbolos gregos e álgebra que cobria o quadro-negro. Mensagens pela Internet diziam que a palestra terminaria com a demonstração do Último Teorema de Fermat, o mais famoso problema matemático do mundo.  Rumores desse tipo não eram incomuns..

     Certa vez o matemático Alfred Adler: “A vida de um matemático é muito curta. Seu trabalho  raramente melhora depois da idade de vinte ou trinta. SE ele não conseguiu muita coisa até essa idade, não vai conseguir  mais nada.”

     “Os jovens devem provar teoremas, os velhos devem escrever livros”, observou G.H. Hardy em seu livro Apologia do matemático. “Nenhum matemático jamais deve se esquecer de que a matemática, mais do que qualquer outra ciência ou  arte, é um jogo para jovens...”

     Por volta de 1637, Pierre de Fermat, um matemático francês amador, estudava problemas e soluções relacionados ao Teorema de Pitágoras. Em um momento de genialidade, ele criou uma equação que, embora fosse semelhante à de Pitágoras, não tinha solução. Ele trocou a potência de 2 para 3, do quadrado para o cubo. Como aparentemente esta nova equação não tinha solução, ele a alterou mais ainda, trocando a potência da equação por números maiores que 3, e igualmente não havia soluções para elas. Assim, Fermat presumiu que não existia um trio de números inteiros que se encaixasse na equação:

xⁿ + yⁿ = zⁿ , onde n representa 3, 4, 5, ...

     Extraordinariamente, Fermat escreveu a seguinte anotação na margem do livro Aritmética, de Diofante, o qual foi seu grande guia durante os seus anos de estudo: "Eu descobri uma demonstração maravilhosa, mas a margem deste papel é muito estreita para contê-la." A partir daquele momento, nascia o problema que iria confundir e frustrar os matemáticos mais brilhantes do mundo por mais de 350 anos.

      Em 1986, um professor de Princeton, Andrew Wiles, que sonhava em demonstrar o último teorema de Fermat desde que o vira pela primeira vez, ainda menino, na biblioteca de sua cidade, decidiu tornar este sonho realidade. No entanto, fez questão de se preparar para não cometer os mesmos fracassos de seus antecessores, e durante sete anos publicou artigos sobre outros assuntos, de modo a despistar os colegas, enquanto trabalhava em sua obsessão. Durante este período, ele conseguiu fazer grandes descobertas, unificando e criando novas técnicas matemáticas. Em 1993, passados 358 anos desde o desafio de Fermat, Wiles assombrou o mundo ao anunciar a demonstração. Mas havia uma falha nela. Este erro o fez voltar às pesquisas por mais quatorze meses, até que, em 1995, ele ganhou as páginas de jornal do mundo inteiro e cinqüenta mil libras da Fundação Wolfskehl.

      O Último Teorema de Fermat finalmente fora demonstrado, mas para isso foi necessário o uso das técnicas matemáticas mais modernas do século XX. Mesmo os grandes matemáticos que fracassaram em sua demonstração forneceram a maior parte dos blocos utilizados na construção da demonstração. Ainda assim, alguns matemáticos insistem que, supondo que Fermat soubesse da solução, haveria uma demonstração mais simples para o último teorema, usando os conhecimentos matemáticos do século XVII.

      A demonstração do teorema de Fermat poderia ser classificada como uma inútil abstração que envolve lidar com um conjunto infinito de sequências infinitas, para afinal concluir que a proposição de impossibilidade está correta. O exercício de demonstração, no entanto, durante 358 anos contribuiu para o avanço da ciência matemática, expandindo-lhe as fronteiras e aduzindo novas formas de cálculos e novas classes de números.

     No outono de 1984 um seleto grupo de teóricos dos números se reuniu para um simpósio em Oberwolfach, uma pequena cidade no coração da Floresta Negra da Alemanha. Eles tinham se reunido para discutir  várias descobertas  no  estudo das equações elípticas e naturalmente alguns palestrantes relatavam alguns pequenos progressos feitos na direção da prova de conjectura da Taniyama-Shimura. Um dos  oradores era  Frey ele  tinha uma idéia  nova sobre  como abordar  a conjectura, mas fez a afirmação extraordinária de que qualquer um que pudesse provar a conjectura de Taniyama-Shimura era verdadeira também demonstraria imediatamente o Último Teorema de Fermat.

     “Foi numa tarde, no final do verão de 1986, quando eu  estava tomando chá na casa de um amigo”, lembra-se  Wiles. “Casualmente, no meio da conversa, ele me disse que Ken Ribert tinha demonstrado a ligação entre Taniyama-Shimura e o Último Teorema de  Fermat. Eu fiquei eletrizado. Eu sabia naquele momento que o rumo de minha vida estava mudando, porque isto significa que para demonstrar o Último Teorema de Fermat eu só precisaria  provar a conjectura  de Taniyama-Shimura.

     Duas décadas tinham se passado desde que Andrew Wiles descobrira o livro, na biblioteca que o inspirara a aceitar o desafio de Fermat.

     Depois de seis anos de isolamento Wiles partilhara seu segredo.Agora era trabalho de Katz enfrentar a montanha de cálculos fantásticos baseados no método Kolyvagin-Flach.    Praticamente tudo que Wiles fizera era revolucionário, e Katz pensou muito sobre qual seria o melhor modo de examiná-lo rigorosamente. “O que Andrew tinha  que me era tão grande e longo que não daria certo tentar mostrar-me em seu escritório, durante conversas informais.

      Para algo tão grandioso nós precisávamos montar uma estrutura formal de aulas semanais, de outro modo a coisa ia  degenerar. “E assim decidimos criar um curso com várias aulas.”

     Eles combinaram que a melhor estratégia seria anunciar uma série de palestras abertas aos estudantes graduados do departamento. Wiles daria o curso e Katz estaria na platéia. O curso cobriria a parte  da demonstração que precisava ser verificada, mas os estudantes graduados não saberiam disso. O interessante em disfarçar a verificação da prova deste modo é que forçaria Wiles a explicar  tudo passo a passo e, no entanto, não levantaria suspeitas dentro do departamento. No que dizia respeito aos outros era apenas outro curso de graduação. “E assim Andrew anunciou seu curso chamado “Cálculos em Curvas Elípticas”, relembra  Katz com um sorriso matreiro, “o que é um título completamente  inócuo, poderia significa qualquer coisa. Ele não mencionou  Fermat nem Taniyama, apenas mergulhou direto nos cálculos. Não havia meio de alguém adivinhar o que estava acontecendo... Depois de sete anos de esforços Wiles  tinha  completado a demonstração da conjectura de Taniyama.

     Por volta de maio de 1993, Andrew foi uma das pessoas convidada para a conferência em Cambridge no final de junho.

     Uma por uma as mais eminentes personalidades da teoria dos números começaram  a chegar ao Instituto Newton.

     O título das palestras de Wiles era “Formas Modulares, Curvas Elípticas e Representações de Galois”.

    “No dia 23 de junho, Andrew começou sua terceira e última palestra”, relembra John Coates. “O mais  extraordinário é que todas  as pessoas que contribuíram para as idéias por trás de sua demonstração estavam naquela sala: Mazur, Ribet, Kolyvagin e muitos outros”.

      Depois de sete anos de esforços intensos, Wiles estava a ponto de anunciar ao mundo sua demonstração. Embora a imprensa já tivesse sido notificada do que estava acontecendo, não havia comparecido à palestra. Mas havia um bocado de gente na platéia que estava tirando fotos perto  do final e o diretor do Instituto  viera bem preparado, com uma  garrafa de champanhe. Houve um silêncio respeitoso enquanto Wiles terminava a demonstração e encerrava com a declaração do Último Teorema de Fermat. Ele disse: “Acho que vou parar por aqui”, e então houve um aplauso contínuo.

     Assim que terminou a palestra em Cambridge o comitê Wolfskehl foi informado da demonstração de Wiles.

     Wiles  submeteu seu trabalho à revista Inventiones Mathematicae, e seu editor  Barry Mazur,  começou o processo de selecionar os juízes para julgarem o trabalho.

     A demonstração de Wiles envolvia uma variedade tão grande de técnicas matemáticas, antigas e modernas que Mazur tomou a decisão fora do comum de nomear não apenas dois ou três examinadores, com é normal, mas seis. Para simplificar a tarefa, as duzentas páginas da demonstração foram divididas em seis seções e cada um dos juízes assumiu a responsabilidade por um desses capítulos.

     Um dos juízes encontrara um erro e entre vários e-mails se passaram quase seis meses. E não havia motivo para pensar que fosse mudar nos próximos seis meses.

     No final do Verão de 1994, depois de oito anos de trabalho intenso, o matemático Andrew Wiles estava disposto a admitir a derrota. O último teorema de Fermat parecia ter ficado uma vez mais por demonstrar. No ano anterior, Wiles apresentara à comunidade científica a sua demonstração, um resultado brilhante de sete anos de investigação solitária que fornecera à matemática novas técnicas e estratégias para abordar problemas. Mas havia um erro nessa demonstração. De início tinha parecido um erro menor, mas foi resistindo a todas as tentativas de correção à medida que os meses passavam. Resignado, Wiles procurava compreender as razões da sua derrota. Contemporaneamente, a primeira contribuição importante para o problema foi dada por dois matemáticos: Yutaka Taniyama e Goro Shimura. A conjectura apresentada pelos dois serviu de base para solução definitiva do problema, infelizmente um dos matemáticos, Yutaka Taniyama, cometeu suicídio em 1958, adiando ainda mais o desenvolvimento da solução. O desenvolvimento dessa conjectura não foi intencionalmente feito para solucionar o Último Teorema de Fermat, mas foi o que acabou acontecendo. Interessante notar que vários matemáticos partiram da tentativa de solucionar o problema e acabaram fazendo contribuições importantes para outras áreas da matemática, sem intenção de fazê-lo, já no caso dos dois matemáticos citados, o fato ocorreu às avessas, o que demonstra a subjetividade do campo matemático, que se assemelha a uma forma de arte em que a inspiração é tão ou mais importante do que o trabalho metódico e racional, que geralmente está associado a matemática.

      Este foi o final feliz de uma história intrincada, uma longa história de 358 anos que Simon Singh nos dá a conhecer em "A Solução do Último Teorema de Fermat". Na verdade, Singh ocupa-se de um período ainda maior, pois acompanha a história da matemática desde Pitágoras, mas o enigma central do livro surgiu apenas com Pierre Fermat no século XVII. Matemáticos japoneses fossem verdadeiros, o teorema de Fermat também seria verdadeiro. O desafio de Wiles foi assim o de demonstrar essa conjectura e ao fazê-lo conseguiu validar não só o teorema de Fermat, mas toda a matemática que nele se apoiava. Mas foi a partir da análise da conjectura Taniyama-Shimura que Andrew Wiles percebeu que o teorema poderia ser solucionado, porém a conjectura necessitava ser comprovada, ficou claro então na mente de Wiles que a solução do teorema dependeria da comprovação da conjectura, na verdade Wiles não demonstrou o Último Teorema de Fermat, mas a conjectura Taniyama-Shimura, sendo que esta levou a aquela.

     Com o livro de Singh, não podemos esperar compreender em profundidade a demonstração de Wiles. Só um décimo dos especialistas em teoria dos números consegue compreendê-la plenamente. No entanto, com um mínimo de recursos técnicos, Singh envolve-nos nas principais estratégias, dificuldades e surpresas que estiveram presentes nas tentativas de resolver o enigma de Fermat. Desta maneira, familiariza o leitor com formas de raciocínio importantes, como a redução ao absurdo e a indução matemática, e deixa também bem clara a especificidade do conhecimento matemático. Para, além disso, o livro apresenta uma grande diversidade temática, pois Singh, sem nunca perder de vista o tema principal, realiza inúmeras incursões interessantes que afastam a possibilidade de a leitura de tornar enfadonha. A propósito do contributo de Sophie Germain, por exemplo, considera-se o lugar das mulheres na história da matemática e as dificuldades que estas encontraram.

      A leitura desse livro não permite que façamos uma pausa, ele nos guia através dos tempos cronologicamente.

     A matemática é uma das formas mais puras do  pensamento, e para os que estão de fora os matemáticos parecem gente de outro mundo.  Trata-se de um trabalho apaixonado do jornalista científico Simon Singh, uma leitura que compartilharia com os amantes da Matemática.

Bibliografia:

O Último Teorema de Fermat: a história do enigma que confundiu

as maiores mentes do mundo durante 358 anos/ Simon Singh; tradução de Jorge Calife.-

13ª Ed – Rio de Janeiro: Record, 2008.