TEORIA DAS PROBABILIDADES
Prof. Claudio Cunha
Introdução
Consideremos os seguintes experimentos:
Aquecimento que da água contido em uma panela;
;Queda livre de um corpo.
Conhecidas certas condições, podemos prever a temperatura em que a água entrará em ebulição e a velocidade com que o corpo atingirá o solo.
Os experimentos cujos resultados podem ser previstos, isto é, podem ser determinados antes da sua realização, são denominados experimentos determinísticos.
Consideremos também os experimentos:
;Lançamento de uma moeda e leitura da figura da face voltada para cima;
;Lançamento de um dado comum e leitura do número voltado para cima;
;Nascimento de uma criança;
;Sorteio de uma carta do baralho.
Se esses experimentos forem repetidos várias vezes, nas mesmas condições, não poderemos prever o seu resultado.
Experimentos que, ao serem realizados repetidas vezes, nas mesmas condições, apresentarem resultados variados, não sendo possível, portanto, a previsão lógica dos resultados, são denominados experimentos aleatórios.
Um experimento aleatório apresenta as seguintes características fundamental Podem repetir-se várias vezes nas mesmas condições;
É conhecido o conjunto de todos os resultados possíveis;
;Não se pode prever qual o resultado.
Os experimento aleatório estão sujeitos à lei do acaso.
Como não podemos prever o resultado, procuraremos descobrir as possibilidades de ocorrência de cada experimento aleatório.
A teoria da probabilidade estuda a forma de estabelecer as possibilidades de ocorrência de cada experimento aleatório.
ELEMENTOS ;ESPAÇO AMOSTRAL – É o conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório. Indicaremos o espaço amostral por U.
EVENTO - É qualquer subconjunto do espaço amostral.
Vejamos alguns exemplos.
1º exemplo: Determinar o espaço amostral nos seguintes experimentos.
Jogar-se uma moeda e lê-se a figura da face voltada para cima.
Joga-se um dado comum e lê-se o número voltado para cima.
Jogam-se duas moedas diferentes e lêem-se as figuras das faces voltadas para cima.
RESOLUÇÃO:
U = {cara, coroa}
U = {1,2,3,4,5,6 }
U= { (cara, cara) (cara, coroa) (coroa, coroa) (coroa, cara)}
2º exemplo: Seja uma urna contendo 3 bolas pretas e 3 bolas vermelhas. Dessa urna são retiradas, sucessivamente, 3 bolas. Calcular explicitando os elementos dos seguintes eventos.
As três bolas têm a mesma cor.
;Duas das bolas são pretas.
As três bolas são vermelhas.
O número de bolas pretas é igual ao número de bolas vermelhas.
RESOLUÇÃO:;1ª bola 2ª bola 3ª bola
O Espaço Amostral será:
U = {(PPP), (PPV), (PVP), (PVV), (VPP), (VPV), (VVP), (VVV)}
{(PPP), (VVV)} b) {(PPV), (PVP), (VPP)} c) {(VVV)}; d) Æ
Exercícios de aprendizagem
Dê o espaço amostral dos seguintes experimentos:
Lançamento simultâneo de três moedas. Faça: C = cara, K = coroa;
;Distribuição dos 4 filhos de uma família, quanto ao sexo, por ordem de nascimento.
Considere o experimento: lançamento de dois dados, um branco e outro verde, e observação da face superior. Determine ;O espaço amostral.
O evento: ocorrência de números iguais nos dois lados
O evento: ocorrência de números cuja soma seja 5.
TIPOS DE EVENTOS
Considere o experimento aleatório: lançamento de um dado comum e observação do número voltado para cima.
O espaço amostral será: U = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
;EVENTO CERTO: É o próprio espaço amostral.
Exemplo: Evento A ® ocorrência de um número menor de 8
A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
EVENTO IMPOSSÍVEL: É o subconjunto vazio do espaço amostral.
Exemplo: evento B ® ocorrência de um número maior que 10.
B =Æ
EVENTO UNIÃO: É a reunião de dois eventos.
Exemplo:
Evento A ® ocorrência de um número impar Þ E = {1, 3, 5}
Evento B ® ocorrência de um número par primo Þ B = {2}
Evento A È B ® ocorrência de um número ímpar ou de um número par primo ® A U B = {1, 2, 3, 5}
;EVENTO INTERSECÇÃO: É a intersecção de dois eventos.
Exemplo:
Evento A ® ocorrência de um número par Þ A = {2, 4, 6}
Evento B ® ocorrência de um número múltiplo de 4 Þ B = {4}
Evento A Ç B ® ocorrência de um número par e múltiplo de 4 Þ AÇB = {4}
EVENTO MUTUAMENTE EXCLUSIVOS: São aqueles que têm conjuntos disjuntos.
Exemplos:
Evento D ® ocorrência de número par Þ D = {2, 4, 6}
Evento E ® ocorrência de número ímpar Þ E = {1, 3, 5}
D Ç E =Æ
;EVENTO COMPLEMENTARES: São dois eventos A e ¯A tais que:
A ȯA = U (o evento união é o próprio espaço amostral)
A Ç ¯A = Æ ( o evento intersecção é o conjunto vaio).
Exemplos:
Evento A ® ocorrência de número par Þ A = {2, 4, 6}
Evento ¯A ® ocorrência de número ímpar Þ ¯A = {1, 3, 5}
Observe que: A È ¯A = U = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
A ǯA = Æ
EXERCÍCIOS DE APRENDIZAGEM
Em uma caixa há 5 papeletas, numeradas de 1 a 5. Retiram-se duas delas ao acaso e calcula-se a soma dos números escritos.
Determine os eventos:
Obter uma soma par e múltipla de 3.
Obter uma soma ímpar ou múltipla de 3.
Obter uma soma múltipla de 7.
Considere o lançamento de dois dados, um branco e um vermelho.
Dados ® os eventos
A : sair 5 no dado branco e
B : sair 5 no dado vermelho,
Calcule:
A È B b) A Ç B c) ¯A
PROBABILIDADE DE UM EVENTO
Se, num fenômeno aleatório, o número de elemento do espaço amostral é n(U) e o número de elementos do evento A é n(A), então a probabilidade de ocorrer o evento A é o número P(A) tal que:
P(A) = n(P)/n(U)
Esta definição é válida, quando o espaço amostral U for equiprobabilístico,isto é, quando todos os elementos de U tiverem a mesma probabilidade.
Notas:
1ª) P (Æ) = 0 e P(U) = 1
2ª) Como 0 £ n (A) £ n (U)-se , tem-se: 0 £ P (A) £ 1.
3ª) É comum representarmos as probabilidades em porcentagem.
Por exemplo, em vez de dizermos P(A) = 1/2, podemos dizer P (A) = 50%.
Vejamos alguns exemplos.
1º exemplo; No lançamento de um dado, determinar a probabilidade de se obter:
O número 2; b) um número par; c) um número múltiplo de 3.
Resolução:
O espaço amostral é U = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, portanto n(U)=
;Ocorrência do número 2: ® A = {2}, portanto n(A) = 1
P(A) = n(A)/n(U) = 1/6 = 0,1666 ou P(A) = 16,66%
Ocorrência de número par:
B = {2, 4, 6}, portanto n(B) = 3
P(B) =n(B)/n(U) = 3/6 = 1/2 = 0,5 ou P(B) = 50%
Ocorrência de número múltiplo de 3:
C = {3, 6}, portanto n(C) = 2
P(C ) = n(C)/n(U) = 2/6 = 1/3 = 0,3333 ou P(C) = 33,33%
Exercício:
De um baralho com 52 cartas tiram-se, sucessivamente, sem reposição, duas cartas.
Determinar a probabilidade dos eventos:
. As dua cartas são damas
As duas cartas são de ouros.
Resolução:
Cálculo do número de elementos do espaço amostral:
1ª possibilidade 2ª possibilidade
52 51 Þ n(U) = 52 .51 = 2652
Cálculo do número de elementos do evento A: duas damas.
Temos 4 damas : portanto: A4,2= 4 . 3 = 12 Þ n(A) = 12
n(A)/n(U) = 12/2652 = 1/221
Cálculo do número de elementos do evento B: duas cartas de ouros.
Temos 13 cartas de ouros, portanto A13,2 = 13 . 12 = 156
P(B) = N(B)/N(U) = 156/2652 = 13/221 = 1/17
Exercícios de aprendizagem
;No lançamento de um dado, determine a probabilidade de se obter:
O número 1.
Um número primo.
Um número divisível por 2.
Um número menor que 5.
Um número maior 6.
No lançamento simultâneo de dois dados, um branco e um vermelho, determine a probabilidade dos seguintes eventos:
;Os números são iguais;
A soma dos números é igual a 9.
Um m ás, baralho de 12 cartas tem 4 ases. Retiram-se duas cartas uma após outra. Qual a probabilidade de que a segunda seja um ás, sabendo-se que é um ás?
&De um baralho de 52 cartas tira-se ao acaso uma das cartas. Determine a probabilidade de que a carta seja:
;Uma dama.
;Uma dama de paus.
