Matematica

GEOMETRIA ANALÍTICA

EQUAÇÕES DA RETA

Equação fundamental da reta
Podemos representar uma reta r do plano cartesiano por meio de uma equação. Essa equação pode ser obtida a partir de um ponto A(xA, yA) e do coeficiente angular m dessa reta.
Considere uma reta r não-vertical, de coeficiente angular m, que passa pelo ponto A(xA, yA). Vamos obter a equação dessa reta, tomando um ponto P(x, y) tal que P ≠ A.



A equação fundamentaL da reta é:

Equação geral da reta


Toda reta r do plano cartesiano pode ser expressa por uma equação do tipo:
Em que:
• a, b, e c são números reais;
• a e b não são simultaneamente nulos.

Podemos obter a equação geral de uma reta r conhecendo dois pontos não coincidentes de r:



Para isso, usa-se a condição de alinhamento de A e B com um ponto genérico P(x,y) de r.




Equação reduzida da reta

Vamos determinar a equação da reta r que passa por Q(0,q), e tem coeficiente angular m = tg(α):


Toda equação na forma y = mx + q é chamada equação reduzida da reta, em que m é o coeficiente angular e q a ordenada do ponto n qual a reta cruza o eixo Oy. A equação reduzida pode ser obtida diretamente da equação geral ax + by + c = 0:

Onde:
Equação segmentária da reta
Considere uma reta r que cruza os eixos cartesianos nos pontos (0, q) e (p, 0).

Vamos escrever a equação da reta r:

Dividindo essa equação por pq, obtemos a equação segmentária da reta:

EQUAÇÕES DO PRIMEIRO GRAU

1.  Um eletricista comprou um rolo de fio com 50 metros de comprimento para realizar três ligações. Na primeira ligação ele utilizou 18,7 metros do fio; na 3.ª ligação, utilizou 2/3 do comprimento de fio que havia utilizado para a 2.ª ligação, restando ainda 2,3 m de fio no rolo.

Pode-se concluir que o comprimento, em metros, de fio utilizado na 3.ª ligação foi
(A) 14,3.
(B) 13,2.
(C) 12,9.
(D) 11,6.
(E) 10,8.

Seja x a quantidade de fio utilizada na segunda ligação. Temos:
18,7 + x + 2x/3 + 2,3 = 50
x + 2x/3 = 50 – 18,7 – 2,3
(3x + 2x)/3 = 29
5x = 29.3
x = 87/5
x = 17,4 

Lembrando que x é a quantidade utilizada na segunda ligação. A quantidade utilizada na terceira foi 2/3 de 17,4:
17,4.2/3 = 34,8/3 = 11,6

 2.Ao somar todos os gastos da semana, Maria somou, por engano, duas vezes o valor da conta do supermercado, o que resultou num gasto total de R$ 832,00. Porém, se ela não tivesse somado nenhuma vez a conta do supermercado, o valor encontrado seria R$ 586,00. O valor correto dos gastos de Maria durante essa semana foi
(A) R$ 573,00.
(B) R$ 684,00.
(C) R$ 709,00.
(D) R$ 765,00.
(E) R$ 825,00

Sendo x o gasto com o supermercado, temos:
586 + 2x = 832
2x = 832 – 586
2x = 246
x = 246/2
x = 123

Logo,
586 + 123 = 709

3.Em um dado momento em que Ari e Iná atendiam ao público nos guichês de dois caixas de uma Agência do Banco do Brasil, foi observado que a fila de pessoas à frente do guichê ocupado por Ari tinha 4 pessoas a mais que aquela formada frente ao guichê que Iná ocupava. Sabendo que, nesse momento, se 8 pessoas da fila de Ari passassem para a fila de Iná, esta última ficaria com o dobro do número de pessoas da de Ari, então, o total de pessoas das duas filas era:
(A) 24.
(B) 26.
(C) 30.
(D) 32.
(E) 36.
Vamos considerar que no início haviam x pessoas na fila de Iná e x+4 pessoas na fila de Ari.
Após passarem 8 pessoas da fila de Ari para Iná passamos a ter: x+8 pessoas na fila de Iná e x-4 na fila de Ari. Veja que a questão fala que neste momento Iná fica com o dobro de Ari. Vamos montar a equação:

2(x – 4) = x + 8
2x – 8 = x + 8
2x – x = 8 + 8
x = 16
Logo, existiam x + x + 4 = 16 + 16 + 4 = 36 pessoas

4.Existe um número que somado com seu triplo é igual ao dobro desse número somado com doze.
O valor desse número é:

A) 3
B) 4
C) 5
D) 6
E) 7
Como não sabemos qual é esse número, vamos chamá-lo de x:
x + 3x = 2x + 12
4x = 2x + 12
4x – 2x = 12
2x = 12
x = 12/2
x = 6

NÚMEROS

Antes mesmo do surgimento dos números, os povos se utilizavam de símbolos como ferramentas auxiliares em processos envolvendo contagem. Os vários povos que constituíram civilizações no decorrer da história, buscavam desenvolver técnicas matemáticas capazes de solucionar problemas cotidianos. Entre os povos podemos citar: maias, incas, astecas, sumérios, egípcios, gregos, chineses, romanos, povos da região mesopotâmica, entre outros. Dentre os estudos surgiram sistemas de numeração, técnicas de contagem, símbolos numéricos, calendários baseados no sistema solar, objetos de contagem como o ábaco, posicionamento numérico e diversas outras descobertas. Os cálculos matemáticos e os mistérios da natureza sempre fascinaram o homem, que buscou e ainda busca nos números, desvendar determinadas situações. O surgimento do sistema de numeração indo-arábico facilitou o crescimento da Matemática e de outras ciências, pois a base decimal facilitava os cálculos numéricos objetivando respostas a algumas situações consideradas incógnitas. Nos séculos seguintes, a introdução do sistema de base decimal na Europa pelos árabes e os grandes gênios da Matemática despertaram suas habilidades intelectuais para o desenvolvimento de novas técnicas. O surgimento de importantes relações caracterizadas por números constantes como o π (pi) e o Ф (número de ouro) constituíram importantes passos para a ciência dos números. Os mistérios da natureza começavam a ser desvendados e explicados com a ajuda dos mesmos. Os números constituem o alicerce da Matemática, pois sem estes, ela não teria evoluído como evoluiu. Até hoje, os números intrigam as pessoas ligadas à área de exatas através de situações que conduzem a resultados fascinantes. A criatividade e a habilidade em manobrar os números, levam a um mundo cheio de mistérios e segredos. Observe as seguintes situações:
 1 x 8 + 1 = 9
 12 x 8 + 2 = 98
 123 x 8 + 3 = 987
 1234 x 8 + 4 = 9876
 12345 x 8 + 5 = 987 65
 123456 x 8 + 6 = 987654
 1234567 x 8 + 7 = 9876543
 12345678 x 8 + 8 = 98765432
 123456789 x 8 + 9 = 987654321
 1 x 9 + 2 = 11
 12 x 9 + 3 = 111
 123 x 9 + 4 = 1111
 1234 x 9 + 5 = 11111
 12345 x 9 + 6 = 111111
 123456 x 9 + 7 = 1111111
 1234567 x 9 + 8 = 11111111
 12345678 x 9 + 9 = 111111111
 123456789 x 9 +10= 1111111111
 9 x 9 + 7 = 88
 98 x 9 + 6 = 888
 987 x 9 + 5 = 8888
 9876 x 9 + 4 = 88888
 98765 x 9 + 3 = 888888
 987654 x 9 + 2 = 8888888
 9876543 x 9 + 1 = 88888888
 98765432 x 9 + 0 = 888888888
 1 x 1 = 1
 11 x 11 = 121
 111 x 111 = 12321
 1111 x 1111 = 1234321
 11111 x 11111 = 123454321
 111111 x 111111 = 12345654321
 1111111 x 1111111 = 1234567654321
 11111111 x 11111111 = 123456787654321
 111111111 x 111111111 = 12345678987654321
 A disposição dos números envolvendo as operações da adição e da multiplicação resultaram em sequências numéricas com certo grau de curiosidade, e como diria Pitágoras, um célebre matemático grego: “Os números governam o mundo.”

GEOMETRIA ESPACIAL

PORCENTAGEM

PORCENTAGEM
 Introdução:
 A razão entre dois valores de uma grandeza pode ser estabelecida com um consequente ou denominador qualquer. Suponhamos que numa caixa de frutas contendo laranjas e bergamotas, num total de 90 frutas, 27 delas sejam laranjas. A razão entre o número de laranjas e o total de frutas será? 27/90 E essa razão pode ser expressa de várias formas, como por exemplo:
27/90=3/10=15/50=12/40=21/70=30/100
Dessa forma, podemos dizer, com o mesmo sentido, que: Na caixa de frutas, 27/90 das frutas são laranjas; ou 3/10 das frutas são laranjas; ou 15/50 das frutas são laranjas; ou 12/40 das frutas são laranjas, ou 21/70 das frutas são laranjas; ou 30/100 das frutas são laranjas. A razão representada com o denominador ou consequente 100 recebe o nome de PERCENTAGEM ou PORCENTAGEM (NÃO SE IMPORTE AS DUAS FORMAS ESTÃO CORRETAS) No exemplo dado a RAZÃO com forma de porcentagem é 30/100. A razão 30/100 pode ser escrita também 30%, em que o símbolo “%” indica PORCENTAGEM. O numerador 30 da razão recebe o nome de TAXA DE PORCENTAGEM e o número total de frutas 90 é chamado PRINCIPAL.. Convém notar que o número de laranjas, 27 é uma fração do todo 90, isto é, vale 30/100 de 90, ou simplesmente 39% de 90. Dessa forma podemos dizer que: 27 é 30% de 90, ou, 30% das frutas são laranjas. Exprimir a razão 3/5 sob forma de porcentagem. Então: A questão consiste em achar uma razão igual a 3/5 e de consequente 100. Se representarmos por x o antecedente da razão procurada, formaremos a proporção. 3/5 =x/100 5 * x= 3 * 100 5 X = 300 X = 300/5 X = 60 Assim, a porcentagem procurada será: 3/5 = 60/100 – 60% Sabemos que 1 % significa que dividimos o inteiro em 100 partes iguais e consideramos apenas uma parte dessas partes. Representamos isso da seguinte forma: 1/100, que chamamos de RAZÃO CENTESIMAL OU RAZAO PORCENTUAL, E LÊ-SE UM POR CENTO. Usualmente, utiliza-se o símbolo % para representar porcentagem . No exemplo anterior, a representação é, portanto, a seguinte: 1 %. Note: cem por cento corresponde ao todo e 100% = 100/100 = 1. Assim, chama-se 100% de unidade. Chamamos P de principal, ou seja, o todo que temos ou que queremos. Concluindo: PORCENTAGEM É UMA PARTE DO PRINCIPAL. OU SEA, UMA PARTE DO TODO.
Chamamos i de taxa, ou seja, ou seja, parte da unidade. A notação i %, que se lê i por cento, é usada para representar a fração de i/100 : i% = i/100 Então, para determinarmos uma porcentagem x, basta aplicarmos uma regra de três simples:
Grandeza 1 Grandeza 2
 P                   100              
 X                     i 
 Logo: x =(i.P)/100            
Cálculo da porcentagem:
O cálculo de uma porcentagem é extremamente simples. Imaginemos que desejamos determinar quanto é 8% (que se lê 8 por cento) de 250.Então, queremos determinar quanto vale 8/100 “de” 250. Isso significa que transformamos 8% em uma razão porcentual. A seguir, substitua a preposição de pelo sinal de multiplicação. Assim, teremos: 8% de 250 = 8/100* 250 = 2000/100 = 20
Poderíamos ter efetuado esse cálculo utilizando a proporção
P/x=100/i teríamos então: 250/x=100/8 100 . x = 250 . 8 x =2000/100 = 20 x=20
 Transformação de uma razão qualquer em razão centesimal (ou razão percentual). A transformação de uma razão qualquer em razão centesimal, também denominada de RAZÃO PERCENTUAL, tem como objetivo descobrir a quantos por cento corresponde a razão ¾. Escrevemos que ¾ = x/100 Aplicando-se os conhecimentos já aprendidos sobre regra de três simples temos:? 4. x = 3 . 100 x = 300/4 x = 75 então, 34/=75/100= 75%
Agora é com você .
Uma passagem aérea entre duas localidades custa R$458,00. No entanto, para quem compra-la à vista nos próximos 30 dias, haverá um desconto promocional de 10%. Quanto custará a passagem com o desconto? 10% de 458 = 10/100 . 458 = 4580/100 = 45,80
Ou seja, o desconto é de R$45,80,
logo: R$458,00 – R$45,80 = R$412,20
Portanto a passagem custará R$412,20.
EXERCÍCIOS
 Calcular 32% de 1600.
 Quanto por cento de 800 representa 280?
Quinze por cento de um objeto é R$2100,00. Qual é o preço desse objeto?
Um líquido depositado em um balde perdeu, por evaporação, 3% do seu volume, restando 19,4 litro. Qual era o volume original do líquido?
No mês de janeiro, Carlos ganhava de salário R$1800,00. Nos meses de fevereiro, março, abril, seu salário foi aumentado em 1%, 1,2%, 1,8%, respectivamente. Qual o salário de Carlos referente ao mês de abril?
Na eleição do grêmio de uma escola votaram 1500 alunos, dos quais 75% votaram na chapa A. Quantos alunos votaram nesse chapa?
Ao comprar um automóvel por R$36000,00 obtive um desconto de R$1800,00. Qual a taxa de desconto? Uma peça de tecido de 30m de comprimento, após ficar algumas horas de molho, encolheu e ficou com 29,7 m. Qual foi a taxa percentual de encolhimento desse tecido?
Um fio de arame submetido a alta temperatura aumentou 0,3% do seu comprimento, atingindo 36,05 m. Qual o comprimento do fio antes do aquecimento?
Quantos quilos de trigo serão necessários para obter-se 600 kg de farinha, sabendo-se que o trigo fornece cerca de 80% de farinha?

TEORIA DAS PROBABILIDADES

TEORIA DAS PROBABILIDADES

Prof. Claudio Cunha

Introdução

Consideremos os seguintes experimentos:

      Aquecimento  que da água contido em uma panela;

      ;Queda livre de um corpo.

Conhecidas certas condições, podemos prever a temperatura em que a água entrará em ebulição e a velocidade com que o corpo atingirá o solo.

Os experimentos cujos resultados podem ser previstos, isto é, podem ser determinados antes da sua realização, são denominados  experimentos determinísticos.

Consideremos também os experimentos:

    ;Lançamento de uma moeda e leitura da figura da face voltada para cima;

    ;Lançamento de um dado comum e leitura do número voltado para cima;

    ;Nascimento de uma criança;

    ;Sorteio de uma carta do baralho.

Se esses  experimentos forem repetidos várias vezes, nas mesmas condições, não poderemos prever o seu resultado.

Experimentos que, ao serem realizados repetidas vezes, nas mesmas condições, apresentarem resultados variados, não sendo possível, portanto, a previsão lógica dos resultados, são denominados experimentos aleatórios.

Um experimento aleatório apresenta as seguintes características fundamental Podem repetir-se várias vezes nas mesmas condições;

    É conhecido o conjunto de todos os resultados possíveis;

    ;Não se pode prever qual o resultado.

Os experimento aleatório  estão sujeitos  à lei do acaso.

Como não podemos prever o resultado, procuraremos descobrir as possibilidades de ocorrência de cada experimento aleatório.

A teoria da probabilidade estuda a forma de estabelecer as possibilidades de ocorrência de cada experimento aleatório.

ELEMENTOS ;ESPAÇO AMOSTRAL – É o conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório. Indicaremos o espaço amostral por   U.

     EVENTO -  É qualquer subconjunto do espaço amostral.

Vejamos alguns exemplos.

1º exemplo: Determinar o espaço amostral  nos seguintes experimentos.

Jogar-se uma moeda e  lê-se a figura da face voltada para cima.

Joga-se um dado comum e lê-se o número voltado para cima.

Jogam-se duas moedas diferentes e lêem-se as figuras das faces voltadas para cima.

RESOLUÇÃO:

       U = {cara, coroa}

       U = {1,2,3,4,5,6 }

       U=  { (cara, cara) (cara, coroa) (coroa, coroa) (coroa, cara)}

2º exemplo: Seja uma urna contendo 3 bolas pretas e 3 bolas  vermelhas.  Dessa urna são retiradas, sucessivamente, 3 bolas. Calcular  explicitando os elementos dos seguintes eventos.

     As três bolas têm a mesma cor.

    ;Duas das bolas são pretas.

     As três bolas são vermelhas.

     O número de bolas pretas é igual ao número de bolas vermelhas.

RESOLUÇÃO:;1ª bola                  2ª bola              3ª bola

                                     

O Espaço Amostral  será:

U = {(PPP), (PPV), (PVP), (PVV), (VPP), (VPV), (VVP), (VVV)}

    {(PPP), (VVV)}             b) {(PPV), (PVP), (VPP)}           c)  {(VVV)};       d)  Æ

 

Exercícios de aprendizagem

     Dê o espaço amostral dos seguintes experimentos:

Lançamento simultâneo de três moedas. Faça: C = cara, K = coroa;
;Distribuição dos 4 filhos de uma família, quanto ao sexo, por ordem de nascimento.

Considere o experimento: lançamento de dois dados, um branco e outro verde, e observação da face superior. Determine ;O espaço amostral.

  O evento: ocorrência de números iguais nos dois lados
  O evento: ocorrência de números cuja soma seja 5.

TIPOS DE EVENTOS

Considere o experimento aleatório: lançamento de um dado comum e observação do número voltado para cima.

O espaço amostral será: U = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

    ;EVENTO CERTO: É o próprio espaço amostral.

Exemplo:  Evento A ® ocorrência de um número menor de 8

A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

     EVENTO IMPOSSÍVEL: É o subconjunto vazio do espaço amostral.

Exemplo: evento B ® ocorrência de um número maior que 10.

B =Æ

     EVENTO UNIÃO:  É a reunião de dois eventos.

Exemplo: 

Evento A ® ocorrência de um número impar Þ E = {1, 3, 5}

Evento B ® ocorrência de um número par primo Þ B = {2}

Evento  A È B ® ocorrência de um número ímpar ou de um número par primo ®  A U  B = {1, 2, 3, 5}

    ;EVENTO INTERSECÇÃO:  É a intersecção de dois eventos.

Exemplo:

Evento A ® ocorrência de um número par Þ A = {2, 4, 6}

Evento B ® ocorrência  de um número múltiplo de 4 Þ B = {4}

Evento  A Ç B ® ocorrência de um número par e múltiplo de 4 Þ AÇB = {4}

     EVENTO MUTUAMENTE EXCLUSIVOS: São aqueles que têm conjuntos disjuntos.

Exemplos:

Evento D ® ocorrência de número par Þ D = {2, 4, 6}

Evento E ® ocorrência  de número ímpar Þ E = {1, 3, 5}

D Ç E =Æ

;EVENTO COMPLEMENTARES:  São dois eventos  A e ¯A  tais que:

A ȯA = U (o evento união é o próprio espaço amostral)

A Ç ¯A = Æ ( o evento intersecção é o conjunto vaio).

Exemplos:

Evento A ® ocorrência de número par Þ A = {2, 4, 6}

Evento ¯A ® ocorrência  de número ímpar Þ ¯A = {1, 3, 5}

Observe que:  A È ¯A = U = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

                         A ǯA = Æ

EXERCÍCIOS DE APRENDIZAGEM

Em uma caixa há 5 papeletas, numeradas de 1 a 5. Retiram-se duas delas ao acaso e calcula-se a soma dos números escritos.

Determine os eventos:

Obter uma soma par e múltipla de 3.
Obter uma soma ímpar ou múltipla de 3.

Obter uma soma múltipla de 7.

     Considere o lançamento de dois dados, um branco e um vermelho.

Dados ® os eventos

A : sair  5 no dado branco e 

B : sair  5 no dado vermelho,

Calcule:

A È B                    b)   A Ç B               c)   ¯A

PROBABILIDADE DE UM EVENTO

Se, num fenômeno aleatório, o número de elemento do espaço amostral é n(U)  e o número de elementos do evento  A é  n(A), então a probabilidade de ocorrer o evento A é o número  P(A) tal que:

                                                P(A)  =   n(P)/n(U)

Esta definição é válida, quando o espaço amostral U for equiprobabilístico,isto é, quando todos os elementos de U tiverem a mesma probabilidade.

Notas:

1ª) P (Æ) = 0 e P(U) = 1

2ª) Como 0 £ n (A) £ n (U)-se , tem-se: 0 £ P (A) £ 1.

3ª) É comum   representarmos as probabilidades  em porcentagem.

Por exemplo, em vez de dizermos P(A) = 1/2,  podemos dizer P (A) = 50%.

Vejamos alguns exemplos.

1º exemplo; No lançamento de um dado, determinar a probabilidade de se obter:

      O número 2;              b) um número par;           c) um número múltiplo de 3.

Resolução:

O  espaço amostral é U = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, portanto n(U)=
;Ocorrência do número 2: ®   A = {2}, portanto n(A) = 1

           P(A) = n(A)/n(U) =  1/6 = 0,1666 ou P(A)  = 16,66%

                Ocorrência  de número par:

           B = {2, 4, 6}, portanto n(B) = 3

P(B) =n(B)/n(U) =  3/6  = 1/2  =  0,5  ou P(B) = 50%

     Ocorrência de número múltiplo de 3:

C = {3, 6}, portanto n(C) = 2

P(C ) = n(C)/n(U) = 2/6 = 1/3 =  0,3333 ou P(C) = 33,33%

Exercício:

De um baralho com 52 cartas tiram-se, sucessivamente, sem reposição, duas cartas.

 Determinar a probabilidade dos eventos: 

.    As  dua cartas são damas

       As duas cartas são de ouros.

Resolução:

Cálculo do número de elementos do espaço amostral:

1ª possibilidade                 2ª possibilidade

        52                                        51                  Þ n(U) = 52 .51 = 2652

Cálculo do número de elementos do evento A: duas damas.

Temos 4 damas : portanto:  A_4,2= 4 . 3 = 12    Þ n(A) = 12

                               n(A)/n(U)  = 12/2652  = 1/221 

     Cálculo do número de elementos do evento B: duas cartas de ouros.

Temos 13 cartas de ouros, portanto A_13,2 = 13 . 12 = 156

P(B) = N(B)/N(U)  = 156/2652 = 13/221 = 1/17

Exercícios  de aprendizagem

               ;No lançamento de um dado, determine a probabilidade de se obter:

O número 1.

 Um número primo.

 Um número divisível por 2.
Um número menor que 5.

Um número maior  6.

                No lançamento simultâneo de dois dados, um branco e um vermelho, determine a probabilidade dos  seguintes eventos:

;Os números são iguais;

A soma dos números é igual a 9.

              Um m ás, baralho de 12 cartas tem 4 ases. Retiram-se duas cartas uma após outra. Qual a probabilidade de que a segunda seja um ás, sabendo-se que é um ás?

&De um baralho de 52 cartas tira-se ao acaso  uma das cartas. Determine a probabilidade de que a carta seja:

;Uma dama.

;Uma dama de paus.

;Uma carta de ouros.