Teorema de Tales

 

Tales de Mileto foi um importante filósofo, astrônomo e matemático grego que viveu antes de Cristo. Ele usou seus conhecimentos sobre Geometria e proporcionalidade para determinar a altura de uma pirâmide. Em seus estudos, Tales observou que os raios solares que chegavam à Terra estavam na posição inclinada e eram paralelos, dessa forma, ele concluiu que havia uma proporcionalidade entre as medidas da sombra e da altura dos objetos, observe a ilustração:

Com base nesse esquema, Tales conseguiu medir a altura de uma pirâmide com base no tamanho da sua sombra. Para tal situação ele procedeu da seguinte forma: fincou uma estaca na areia, mediu as sombras respectivas da pirâmide e da estaca em uma determinada hora do dia e estabeleceu a proporção:

O Teorema de Tales pode ser determinado pela seguinte lei de correspondência:
“Feixes de retas paralelas cortadas ou intersectadas por segmentos transversais formam segmentos de retas proporcionalmente correspondentes”.
Para compreender melhor o teorema observe o esquema representativo a seguir:

Pela proporcionalidade existente no Teorema, temos a seguinte situação:

Exemplo 1
Aplicando a proporcionalidade existente no Teorema de Tales, determine o valor dos segmentos AB e BC na ilustração a seguir:

AB = 2x – 3
BC = x + 2
A’B’ = 5
B’C’ = 6
Determinando o valor de x:

AB = 2x – 3 → 2*4 – 3 = 5
BC = x + 2 → 4 + 2 = 6
Exemplo 2
Determine o valor de x na figura a seguir:

Teorema de Tales

 

 

Três paralelas cortadas por duas transversais, formando quatro segmentos. Essa imagem como do desenho acima é representação mais clássica do Teorema de Tales.

LEMBRANÇAS DE EX-ALUNOS

 

        

 

O NÚMERO QUE VOCÊ CALÇA

 

• A matemática e o número que você calça

Relação entre o número que você calça e o tamanho de seu pé.

Muitas vezes não entendemos os motivos de se estudar matemática ou quando vamos usar determinada parte do conteúdo e, por isso, nos questionamos: onde a matemática é realmente aplicada?

Inúmeros são os exemplos e situações onde podemos ver o emprego da matemática. Desde o momento em que acordamos até a hora de dormir, estamos sempre fazendo o uso dessa ciência. Quando, ao levantar pela manhã para ir à escola ou fazer qualquer atividade, dizemos “só mais cinco minutinhos”, intuitivamente estamos realizando cálculos matemáticos para averiguar se esses preciosos minutos de sono não ocasionarão um atraso. A tecnologia não estaria tão avançada sem o fantástico auxílio da matemática. Do mais simples ato até a mais sofisticada empregabilidade, a matemática está sempre presente em nosso cotidiano, basta que analisemos as situações que vivenciamos.

Por mais inimaginável que possa parecer, o número que você calça também está relacionado à matemática. Existe uma fórmula que relaciona o número que você calça e o tamanho do seu pé em centímetros.

Vejamos:

Onde,

S: é o número do sapato.
p: é o comprimento do pé em centímetros.

Assim, se seu pé medir 20 cm, o número do seu sapato será:

Dividindo em Partes Iguais

 

 

• Dividindo em Partes Iguais

Frações

Frações

Joana e sua mãe foram à pizzaria. Elas pediram uma pizza de calabresa tamanho médio. A pizza foi dividida ao meio, isto é, em duas partes iguais.

Representamos essa situação utilizando frações. Cada parte é chamada de metade da pizza. Podemos mostrar isso pela fração da metade da pizza:

Um meio

Podemos dividir a pizza em quantas partes forem necessárias, dependendo do número de pessoas.
Dividindo a pizza em três partes iguais

Cada pedaço recebe o nome de terça parte, e é representada por:

Um terço

Dividindo a pizza em quatro partes iguais

Agora, cada pedaço recebe o nome de quarta parte, e é representado por:

Um quarto
Vamos imaginar que Joana e mais sete amigas foram à pizzaria. Pediram uma pizza grande, a qual seria dividida em 8 partes iguais. Veja:

Cada pedaço é denominado por oitava parte, e a representação será através da seguinte fração:

Um oitavo.

Tipo de fração -

 

Fração não é necessariamente a parte que tiramos de um inteiro, ela pode ser partes de um inteiro completo, dois inteiros completos, um inteiro mais uma parte, e assim sucessivamente. Levando em consideração todas as formas possíveis de encontrarmos uma fração podemos classificá-las em: próprias, impróprias ou aparentes.
Fração própria
Toda fração que for considerada própria deverá ser menor que um inteiro, ou seja, seu numerador é menor que seu denominador.
Considerando o inteiro dividido em 8 parte iguais . Se colorirmos 5 partes desse inteiro teremos:

A fração que irá representar a parte colorida é e a fração que irá representar a parte que não foi colorida é . As duas frações são classificadas como próprias, pois são menores que um inteiro.
Uma maneira  prática de perceber se uma fração é ou não própria é observar o numerador e o denominador, portanto é própria, pois 5 (numerador) < 8 (denominador).
Fração imprópria
As frações impróprias são maiores que um inteiro, ou seja, o seu numerador é maior que o denominador.

A fração é uma fração imprópria, pois 5 (numerador) > 3 (denominador), veja como representaríamos:
significa que repartimos um inteiro em três partes e consideramos 5. Como 5 > 3, temos que construir mais um inteiro idêntico ao outro e completar a fração.

1 inteiro mais 2/3 é igual a
Fração aparente
Fração aparente é um tipo de fração imprópria, sendo que os numeradores são múltiplos dos denominadores, ou seja, ao dividirmos o numerador pelo denominador iremos obter valor inteiro como resposta.
A fração representa dois inteiros completos, pois 6 : 3 = 2, assim considerada aparente. Veja a sua representação:

2 inteiros são iguais a .

.:: Exercícios de Frações ::.

 

Se do que eu tenho são 195 reais, a quanto corresponde do que eu tenho?

Resposta

Preciso descobrir quanto vale um sétimo do que eu tenho, para ficar mais fácil saber quanto tenho no total.

195/3 = 65 reais

7*65 =  455 reais é o que eu tenho.

Agora preciso saber quanto vale quatro quintos disso.

Vou primeiro descobrir quanto que é um quinto de 455 reais.

455 / 5 = 91 reais.

Agora basta eu multiplicar 91 por 4.

91*4 = 364 reais correspondem a do que eu tenho.

Google

 

Google

“A dúvida permite extrair um núcleo de certeza, que cresce à medida

que ela se radicaliza: é indubitável que, se duvido penso.”

                                                         Renê Descartes

 

“Erros são ao final das contas, fundamentos da verdade.

Se um homem não sabe o que uma coisa é, já é um avanço do conhecimento saber  o que ela não é”

Carl Jung

Introdução ao conceito de fração

Às vezes, ao tentar partir algo em pedaços, como por exemplo, uma pizza, nós a cortamos em partes que não são do mesmo tamanho.

Logo isso daria uma grande confusão, pois quem ficaria com a parte maior? Ou quem ficaria com a parte menor? É lógico que alguém sairia no prejuízo.

Pensemos neste exemplo: Dois irmãos foram juntos comprar chocolate. Eles compraram duas barras de chocolate iguais, uma para cada um. Iam começar a comer quando chegou uma de suas melhores amigas e vieram as perguntas: Quem daria um pedaço para a amiga? Qual deveria ser o tamanho do pedaço? Eles discutiram e chegaram à seguinte conclusão:

Para que nenhum dos dois comesse menos, cada um daria metade do chocolate para a amiga.

• Você concorda com esta divisão? Por quê?

• Como você poderia resolver esta situação para que todos comessem partes iguais?

• O que você acha desta frase: Quem parte e reparte e não fica com a melhor parte, ou é bobo ou não tem arte.

Elementos gerais para a construção de frações

Para representar os elementos que não são tomados como partes inteiras de alguma coisa, utilizamos o objeto matemático denominado fração.

O conjunto dos números naturais, algumas vezes inclui o zero e outras vezes não, tendo em vista que zero foi um número criado para dar significado nulo a algo. Nesse momento o conjunto N será representado por:

N = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ... }

Logo, todos os números naturais representam partes inteiras.

Os números que não representam partes inteiras, mas que são partes de inteiros, constituem os números racionais não-negativos, aqui representados por Q₊, onde esta letra Q significa quociente ou divisão de dois números inteiros naturais.

Q₊ = { 0,..., 1/4,..., 1/2,..., 1,...,2,... }

Numeral: Relativo a número ou indicativo de número.

Número: Palavra ou símbolo que expressa quantidade.

Definição de fração

Os numerais que representam números racionais não-negativos são chamados frações e os números inteiros utilizados na fração são chamados numerador e denominador, separados por uma linha horizontal ou traço de fração.

Numerador

---

Denominador

onde Numerador indica quantas partes são tomadas do inteiro, isto é, o número inteiro que é escrito sobre o traço de fração e Denominador indica em quantas partes dividimos o inteiro, sendo que este número inteiro deve necessariamente ser diferente de zero.

Numeral: Relativo a número ou indicativo de número.

Número: Palavra ou símbolo que expressa quantidade.

Definição de fração

Os numerais que representam números racionais não-negativos são chamados frações e os números inteiros utilizados na fração são chamados numerador e denominador, separados por uma linha horizontal ou traço de fração.

Numerador

---

Denominador

onde Numerador indica quantas partes são tomadas do inteiro, isto é, o número inteiro que é escrito sobre o traço de fração e Denominador indica em quantas partes dividimos o inteiro, sendo que este número inteiro deve necessariamente ser diferente de zero.

Observação: A linguagem HTML (para construir páginas da Web) não proporciona ainda um método simples para a implementar a barra de fração, razão pela qual, às vezes usaremos a barra / ou mesmo o sinal ÷, para entender a divisão de dois números.

Exemplo: Consideremos a fração 1/4, que pode ser escrita como:

1

---

4

Em linguagem matemática, as frações podem ser escritas tanto como no exemplo acima ou mesmo como 1/4, considerada mais comum.

1/4
1/4

1/4
1/4

A unidade foi dividida em quatro partes iguais. A fração pode ser visualizada através da figura anexada, sendo que foi sombreada uma dessas partes.

Leitura de frações

(a) O numerador é 1 e o denominador é um inteiro 1<d<10

A leitura de uma fração da forma 1/d, onde d é o denominador que é menor do que 10 é feita como:

Fração
1/2
1/3
1/4
1/5
1/6
1/7
1/8
1/9

Leitura
um meio
um terço
um quarto
um quinto
um sexto
um sétimo
um oitavo
um nono

(b) O numerador é 1 e o denominador é um inteiro d>10

Quando a fração for da forma 1/d, com d maior do que 10, lemos: 1, o denominador e acrescentamos a palavra avos.

Avos é um substantivo masculino usado na leitura das frações, designa cada uma das partes iguais em que foi dividida a unidade e se cujo denominador é maior do que dez.

Fração
Leitura

1/11
um onze avos

1/12
um doze avos

1/13
um treze avos

1/14
um quatorze avos

1/15
um quinze avos

1/16
um dezesseis avos

1/17
um dezessete avos

1/18
um dezoito avos

1/19
um dezenove avos

(c) O numerador é 1 e o denominador é um múltiplo de 10

Se o denominador for múltiplo de 10, lemos:

Fração
Leitura
Leitura Comum

1/10
um dez avos
um décimo

1/20
um vinte avos
um vigésimo

1/30
um trinta avos
um trigésimo

1/40
um quarenta avos
um quadragésimo

1/50
um cinquenta avos
um quinquagésimo

1/60
um sessenta avos
um sexagésimo

1/70
um setenta avos
um septuagésimo

1/80
um oitenta avos
um octogésimo

1/90
um noventa avos
um nonagésimo

1/100
um cem avos
um centésimo

1/1000
um mil avos
um milésimo

1/10000
um dez mil avos
um décimo milésimo

1/100000
um cem mil avos
um centésimo milésimo

1/1000000
um milhão avos
um milionésimo

Observação: A fração 1/3597 pode ser lida como: um, três mil quinhentos e noventa e sete avos.

Tipos de frações

Nossa próxima publicação.

6 de maio é o Dia Nacional da Matemática

O dia 6 de maio é o Dia Nacional da Matemática. Ele homenageia o mais importante educador de matemática do nosso país: Julio Cesar de Mello e Souza -Malba Tahan.




Projeto de Lei institui o Dia Nacional da Matemática



Artigo 1o: Fica institutído o Dia Nacional da Matemática, a ser comemorado anualmente em todo território nacional no dia 6 de maio,data de nascimento do matemático, educador e escritor Malba Tahan.
 Artigo 2o: O Poder Executivo, por meio dos Ministérios da Educação e da Cultura, incentivará a promoção de atividades educativas e culturais alusivas à data.
Artigo 3o:Esta Lei entra em vigor na data de sua publicação.

Este é o Projeto de Lei 3482-2004. Aprovado por unanimidade pela Comissão de Educação e Cultura, encontra-se, desde 2008, na Comissão de Constituição e Justiça para homologação final.



Enquanto isso,o mundo gira e o dia 6 de maio é celebrado anualmente em todo país!

A Matemática é como das verdades eternas...

A Matemática é como

     É preciso, ainda, não esquecer que a Matemática, além do objetivo de resolver problemas, calcular áreas e medir volumes, tem finalidades muito mais elevadas. Por ter alto valor no desenvolvimento da inteligência e do raciocínio, é a Matemática um dos caminhos mais seguros por onde podemos levar o homem a sentir o poder do pensamento, a mágica do espírito. A Matemática é, enfim, uma das verdades eternas e, como tal, produz a elevação do espírito – a mesma elevação que sentimos ao contemplar os grandes espetáculos da    Natureza, através dos quais sentimos a presença de Deus, Eterno e Onipotente!

Malba Tahan, 1961.



10 MANDAMENTOS DA MATEMÁTICA

I - Começarás contagem pelo zero;

II - Derivarás e igualarás a zero;

III - Amarás o Cálculo como a ti mesmo;

IV - Não levantarás falso teorema;

V - Não cobiçarás a demonstração alheia;

VI - Honrarás o Principio, Meio e Fim  ;

VII - Não Matarás Aulas;

VIII - Não dividirás por zero;

IX - Usarás letras difíceis como variáveis;

X - Sujar-vos-á de giz ao escrever no quadro.

DECOMPOSIÇÃO EM FATORES PRIMOS

 Todo número natural múltiplo ou composto, com exceção do zero, pode ser escrito de uma única maneira, como produto de fatores primos, sem levar em consideração a ordem dos fatores. Assim, temos:

a)  4 = 2.2                b) 6 =  2.3            c) 8 = 2.2.2           d)   9 = 3.3         e) 10 = 2.5

Para se encontrar esse produto de fatores primos, podemos ser obedecer à seguinte regra:

1. Traçar uma linha vertical ao lado do número dado.
2. Escrever, do outro lado do traço vertical , o menor número primo pelo qual o número dado é divisível.
3. Dividir o número dado por esse número primo e escrever o quociente encontrado embaixo do número dado.
4. Repetir esse processo tantas vezes quantas  forem necessárias, até que o quociente encontrado seja 1.
5. Indicar o produto dos fatores primos encontrados na forma de produto de potências.

Exemplos




a)           90 | 2  
              45 | 3 
              15 | 3
                5 | 5
                1 |                                                                                            
                                                              
                                                               


90 = 2 . 3. 3 . 5 = 2 .3.5              144 = 2.2.2.2.3.3            198 = 2.3.3.11
     = 2 . 3^{2.      5                                                =}  2⁴  3^{2                        =} 2^.  3².11