FONTE DE CONSULTA
Nome da Professora: MÍRIAN LONGARETTI
Disciplina: MATEMÁTICA
Série: 1º ano
Faixa etária do aluno: [14 anos)
Unidade Temática (Tópico de Conteúdo): Trigonometria - Tales de Mileto
Título: Se ficar, o cupim come...se tirar, a casa cai.
RELACIONADO COM CONTEÚDOS DE:
Matemática (X) Língua Portuguesa (X) História (X)
PALAVRAS-CHAVE: trigonometria – Tales de Mileto – triângulo - conhecimentos históricos - léxico
1. PROBLEMA
Um pinheiro altíssimo foi atacado por cupins e será preciso derrubá-lo. Acontece que a única direção em que se pode derrubar a árvore, coloca uma casa, localizada nas suas proximidades, em perigo, pois não se sabe a altura da árvore. Como saber a altura do pinheiro?
2. DESENVOLVIMENTO DO TEMA
Se ficar, o cupim come...
...Se tirar, a casa cai?
Você sabia que a palavra “cupim” é ambígua? Sim, pois designa não só o inseto como também o ninho que os mesmos constróem. É por isso que se diz: ”o cupim corrói o madeiramento”; “o cupim enfeia os prados”.
Antes de continuarmos, com esta nossa conversa, preciso perguntar-lhe: Você tem alguma dúvida quanto ao significado da palavra “ambígua”? E por falar em “ambígua”, que maravilha é o dicionário da Língua Portuguesa, não é mesmo? Consultá-lo, então, é melhor ainda. E, sem a intenção de fanatismo, cultivar o hábito de consultar um dicionário, é "tri-legal". A propósito, o que significa, para você, a palavra “léxico”? Mas, voltemos ao cupim.
Insetos sociais, pois há indivíduos dos dois sexos, os cupins pertencem à ordem Isópteros, da família Termitidae. Observe: também para estas palavras (Isópteros, Termitidae), o dicionário é interessante. Afinal, elas podem revelar, a você, “segredos” dos cupins. Mas, preste atenção ao que vou lhe contar: existem castas de cupins assexuados. Sabe o porquê? É necessário, pois quem faria determinadas tarefas? Serei mais clara: os cupins assexuados apresentam o organismo adaptado para o trabalho a que são destinados. E, assim como alguns seres humanos desenvolvem o seu trabalho profissional em sua própria casa, enquanto outros “trabalham fora”, alguns cupins, então, são adaptados para trabalho externo e outros, para trabalho interno. E mais, ainda, eu lhe conto: há os cupins que cuidam da defesa, são os guerreiros (nasuti, na terminologia científica). Espero que você esteja percebendo que, com este palavreado trabalho externo, trabalho interno, defesa –, refiro-me aos “ninhos”. Enquanto na Amazônia, os “ninhos” são denominados “itapecuim” ou “tapecuim”, em Mato Grosso e no Rio Grande do Sul, diz-se “itacuru” ou “tacuru”. Neste caso, um “dicionário etimológico” pode contar o porquê destes nomes.
Segundo estudiosos sobre cupins, os ninhos são característicos para cada espécie, sendo que a parte central é feita de madeira mastigada, como se fosse “papier maché”. Ah, lembrei-me em tempo: por falar em papier maché, como vai o “seu francês”? Com certeza, você está sentindo que é muito excitante essa necessidade de se consultar dicionários: da língua portuguesa, etimológico, da língua francesa.
Continuando com nossa conversa, os ninhos são protegidos por um invólucro de barro amassado com saliva, chegando a ser tão resistentes como o melhor tijolo e suas dimensões podem atingir de dois até quatro metros de altura. Neste momento, quero perguntar-lhe: Pensa que acidentes só acontecem nas cidades grandes? Pois se pensa, está cometendo um engano. Leia com atenção o que segue: nos prados rio-grandenses, os tacurus são temidos porque, meio destruídos e ocultos entre o capim, provocam a queda do animal quando, no galope, afunda nesses ninhos, quebrando a perna.
Algumas espécies de cupins habitam troncos de árvores ou o madeiramento das construções. No litoral do Rio de Janeiro e em Santos, por exemplo, a espécie Cornitermes sp chega a desvalorizar as casas “onde moram”, porque corroem, especialmente, as vigas do telhado. Há espécies que atacam as raízes de um variado número de plantas ou mudas, sendo que nada se percebe, pois os cupins cavam pequenos túneis – que não são visíveis – no solo.
Há situações nas quais o cupim destrói uma moradia, mesmo sem corroer seu madeiramento. Não, não, não se trata de truque, não. Trata-se de uma situação bem real. Tanto é real, que convido você a refletir sobre a delicada situação do pinheiro atacado pelos cupins. Talvez você descubra alguma maneira de salvá-lo. Mas, como devemos estar preparados para tudo, é preciso contar com a possibilidade de ter que derrubá-lo. Portanto.... você tem alguma idéia de como calcular a altura do pinheiro?
FALANDO DE CUPINS, PINHEIROS E.... PIRÂMEDES, MEDIR É PRECISO
Dando continuidade a esta agradável conversa, não sei se faz parte dos seus “conhecimentos históricos”, mas, na Antigüidade, "um matemático grego" conseguiu determinar a altura das pirâmides do Egito. Usando uma vara e duas sombras, "esse matemático" contribuiu para o surgimento da Trigonometria. Mas, "que tal", concorda que seria interessante, nesta "altura" da nossa conversa, você pesquisar o significado de “trigonometria”? Você poderia se utilizar de um "bom" dicionário da Língua Portuguesa, ou de uma enciclopédia.
O termo “trigonometria”, criado em 1595, pelo matemático alemão Bartholomäus Pitiscus, deriva das palavras gregas trigono e metria. No contexto da Matemática, trigono significa três ângulos e metria, medida. Mas, por que será que estou considerando "no contexto da Matemática"? Troque idéias com seus colegas, cheguem a um resultado e "contem" para o professor, ou professora, o que "o grupo", quero dizer, "você e seus colegas" entendem por "no contexto da Matemática".
Assim como é impossível não se associar "Pelé com bola", quando falamos em trigonometria, pensa-se em "triângulo". O termo triângulo vem do grego trigonos. Dito de outro modo, o termo triângulo significa "polígono de três lados".
Você sabia que, para os antigos maias, o triângulo é o glifo do raio do Sol, semelhante ao broto que forma o germe do milho, quando rompe a superfície do solo, quatro dias após o plantio do grão? Ligado ao Sol e ao milho, o triângulo é duas vezes símbolo de fecundidade.
Agora, entre nós, posso ficar tranqüila? Você sabe o que significa "glifo"? Ah, eu sabia... nesta altura da conversa, você está ficando habituado a consultar o "dicionário do nosso belo idioma", não é mesmo?
Mas, continuemos com esse assunto sobre triângulo. Ele é freqüentemente utilizado nos frisos ornamentais, na Índia, na Grécia, em Roma, por exemplo, e seu significado parece constante. O triângulo, com a ponta para cima, simboliza o fogo e o sexo masculino; com a ponta para baixo, simboliza a água e o sexo feminino. O "selo de Salomão" é composto de dois triângulos invertidos e significa, principalmente, a sabedoria humana. O triângulo equilátero, na tradição judaica, simboliza Deus, cujo nome não se pode pronunciar. Atenção: pesquise sobre "selo de Salomão", conversando com seus colegas, seus professores e até, mesmo, recorra à Internet. Você ficará surpreso com o número de "respostas" diferentes que irá conseguir.
Uma pausa: é evidente que você já tem conhecimentos sobre "triângulo equilátero". Caso tenha se esquecido, ...pesquise.
De novo, o triângulo. Além de sua conhecida importância no pitagorismo, o triângulo é, na alquimia, o símbolo do fogo. A propósito desta nossa conversa, você sabe quem é Pitágoras, não é mesmo? E você, também, sabe o que significa "alquimia"? Lembre-se: sempre é muito interessante "deixar um dicionário da Língua Portuguesa bem próximo, nos momentos de leituras".
Você conhece a importância atribuída pela maçonaria ao triângulo? Sabe o significado do triângulo maçônico? Sabe alguma coisa a respeito da relação entre o triângulo de ponta para cima e o triângulo invertido? Sugiro a seguinte obra para que você possa pesquisar sobre "triângulo", pois, garanto-lhe, ficará maravilhado: Dicionário de Símbolos (CHEVALIER & CHEERBRANT, 2001).
Nossa!!! Fiquei tão empolgada com triângulos que quase me esqueci da "trigonometria". Portanto, falemos um pouco de "trigonometria". Podemos começar afirmando que "trigonometria é um assunto de conversa". Que tal, gostou? Continue lendo...
Os primeiros trabalhos elementares, envolvendo conceitos trigonométricos, foram desenvolvidos pelos babilônios e antigos egípcios, que realizavam estudos e cálculos relativos a fenômenos astronômicos e geográficos, como a determinação de eclipses, fases da lua, distâncias inacessíveis e rotas de navegação.
Pausa para uma pergunta: você tem dúvidas sobre o que venha a ser "conceito"? Em que você pensa quando lê a expressão "conceitos trigonométricos"? Caso você não pense em nada...isso é preocupante.
Voltemos aos babilônios. Deve-se, também, aos babilônios, a divisão da circunferência, ainda hoje em uso, ou seja, dividida em graus, minutos e segundos. Entre os gregos, também, é possível encontrar trabalhos ligados à astronomia. Nesses trabalhos aparecem conceitos trigonométricos, como por exemplo, a expressão 1/2 maior sen 30º maior 1/18, usada no trabalho denominado Das grandezas e das distâncias ao Sol e à Lua. O autor deste trabalho é Aristarco de Samos (310 a 250 a.C.).
Bem, uma conversa entre nós, e bem baixinho, para que ninguém ouça: você já tem conhecimentos sobre "seno". Portanto não há motivos de ficar perplexo ao ler "sen". Sugiro, caso, ainda, não saiba o significado de "1/2 maior sen 30º maior 1/18", que peça auxílio ao seu professor. Mas, penso que será muito tranqüilo, para você, investigar, "sozinho", a respeito dessa expressão. Com certeza, deparar-se-á, com ela, em seu próprio livro de Matemática.
Continuando, pode-se atribuir a Hiparco de Nicéia (século II a.C.), por muitos considerado o “pai da astronomia”, o estabelecimento das "bases da trigonometria", bem como a construção das primeiras "tabelas trigonométricas".
Ei, o que se passa? Não há motivos para espanto, não é mesmo? Eu, apenas, mencionei "bases". Quando se constrói algo , parte-se de uma "base", certo? Portanto, "bases da trigonometria". Sim, pois, se existem "bases trigonométricas", alguém começou com essa "história". Quanto à expressão "tabelas trigonométricas", todo mortal, que estudou "trigonometria do triângulo retângulo", sabe perfeitamente do que se trata. Até mesmo um livro de Matemática, destinado a alunos de 8ª série, apresenta, trazendo comentários e ilustrações, uma tabela trigonométrica com valores de senos, cossenos e tangentes de um ângulo.
Mas, o que fez Ptolomeu (85 a 165 d.C.)? Inspirando-se no trabalho de Hiparco, e ampliando-o, escreve uma obra intitulada Sintaxe matemática, resultando num "tratado sobre trigonometria". Faço, aqui, uma pausa para um lembrete precioso: o dicionário da Língua Portuguesa deve ser consultado sempre que uma dúvida "atrapalhe" nossa leitura. Assim, por exemplo, conheço pessoas que têm dificuldade em explicar o que seja "um tratado". Trigonometria, você já sabe o que é. Mas... o que é um “tratado sobre trigonometria?”
Até o século XII, os trabalhos sobre trigonometria eram relacionados à astronomia. Entre os árabes, destacam-se as contribuições de Abulwafa (940-998), do observatório de Bagdá, que construiu tábuas de senos e tangentes, com relativa precisão. Os árabes deram, ainda, uma grande contribuição: traduziram a obra de Ptolomeu - que era composta por treze livros -, dando-lhe o título de Almagesto (“o maior”, “o magnífico).
Inicialmente considerada uma extensão da Geometria, com o trabalho do árabe Nasir Edin (1201-1274), a trigonometria recebe um tratamento independente. O que você entendeu aqui? Pergunte, ao seu professor, ou pesquise o que significa dizer que "uma ciência X, quando surgiu, era considerada como pertencendo ao domínio de uma outra ciência Y".
Vou citar, nesta nossa conversa, o italiano Leonardo “Fibonacci” (1175-1240). Trata-se de um indivíduo, muito conhecido no meio dos entendidos sobre "criação de coelhos", que escreveu, no século XII, a obra Practica Geometriae (1220), tendo apresentado importantes aplicações de trigonometria, que havia aprendido em contatos feitos com árabes e hindus.
No século XV, Johan Muller (1436-1476), mais conhecido pelo nome de Regiomontanus, escreveu, em 1464, a obra De Triangulus Omnomodis (O tratado dos triângulos). Essa obra é considerada como o primeiro livro europeu que trata a trigonometria “independente da astronomia”. Ainda, no século XV, foi construída a primeira tábua trigonométrica, por um matemático alemão, nascido na Baviera, chamado Peurbach.
Georg Joachim Rhaeticus (1514-1576) publicou, em 1551, um tratado com uma introdução trigonométrica, que apresentava, pela primeira vez juntas, as seis razões trigonométricas, além de tabelas de senos, tangentes e secantes. A propósito, Rhaeticus foi aluno de Nicolau Copérnico. Ah, “as seis razões trigonométricas”, você conhece, muito bem, não é mesmo?
Fazendo uma pausa, sugiro que você consulte obras sobre a história da matemática. Garanto-lhe, irá ficar fascinado.
O nome “trigonometria” foi usado pela primeira vez por Bartolomeu Pitiscus (1561-1613), em seu livro Thesaurus Mathematicus, como sendo a ciência da resolução de triângulos. Hoje em dia, a Trigonometria não se limita a estudar somente triângulos, suas aplicações abrangem outros campos de atividades como, por exemplo, na Topografia (descrição de uma localidade); na Engenharia (construção de pontes sobre rios), envolvida com o conceito de proporcionalidade; na Astronomia (cálculo da distância da Terra à Lua, da Terra ao Sol e do diâmetro da Terra), usando-se observações e cálculos trigonométricos. É aplicada, também, na Agrimensura (arte de medir os campos, as terras); na Óptica; na Física (estudo de deslocamento, por exemplo); nas medidas de alturas, com base nas medidas dos comprimentos das sombras.
Algumas situações onde se pode aplicar a Trigonometria
1. Construção de pontes
Situação-problema: Nas condições da figura abaixo, como se poderá determinar o
comprimento de uma ponte que vai ser construída sobre o lago?
2. Medidas de alturas com base nas medidas dos comprimentos das sombras
Situação-problema: Em um dia ensolarado, como se poderia medir a altura de uma determinada árvore? Um detalhe importante: observando, com atenção, vê-se que uma goiabeira, com 45 cm, está projetando uma sombra de 32 cm no solo, enquanto que, no mesmo instante, a árvore cuja altura se pretende medir, projeta uma sombra de 4m, sobre o mesmo chão.
3. Astronomia
Situação-problema: Segundo os astrônomos, há um certo momento em que Lua, Terra e Sol formam, praticamente, um triângulo retângulo, com a seguinte configuração:
Há alguma maneira de se verificar que a distância da Terra à Lua é pelo menos 50 vezes menor que a distância da Terra ao Sol?
4. Agrimensura
Situação-problema: Um agrimensor precisa determinar a distância entre dois pontos, A e C, que se situam em lados opostos de um mesmo rio. Sabe que, uma pessoa posicionada no ponto B, a uma distância x do ponto A, e no mesmo lado do rio onde fica o ponto A, enxerga, sob um ângulo de 85º, o ponto C a uma distância igual a 100m. Sobrevoando o local, em um helicóptero, percebe que AC é perpendicular à AB. Que procedimento deveria ser adotado pelo agrimensor?
5. Física (Óptica)
Situação-problema: Um raio de luz, em sua trajetória, passa do ar para a água, com um ângulo de incidência igual a 30º. É possível determinar o ângulo de refração desse raio?
6. Física (Grandezas Vetoriais)
Situação-problema: Como se poderia determinar + , numa situação na qual o vetor , com 6 unidades de comprimento, faz um ângulo de 30º com o eixo X positivo, e , com 8 unidades de comprimento, faz um ângulo de 60º com o eixo X positivo?
7. Situações do dia-a-dia
a) Situação-problema: Um observador está em A e necessita calcular sua distância até um ponto inacessível B. Os únicos dados que o observador possui, estão apresentados na figura abaixo. Caso você estivesse com este desafio, contando com os conhecimentos que já possui, como resolveria essa situação?
b) Situação-problema: Em uma tarefa solicitada pelo professor, os alunos dispõem de um teodolito de 1,5 metros de altura. Apontando esse teodolito contra o topo de um edifício, os alunos conseguem um ângulo de 60º. Afastando-se 100m, registram 30º. Qual deverá ser a altura do edifício?
c) Situação-problema: Supondo que seja possível consultar uma tabela trigonométrica, deve-se usar o esquema abaixo, para calcular a distância entre os pontos A e B.
Agora, você já tomou conhecimento de algumas situações que podem ser trabalhadas com o uso da Trigonometria. No entanto, para isso, algumas "ferramentas" são necessárias. Nesta conversa, de hoje, comentarei, apenas, uma delas, pois brevemente, em uma outra conversa, apresentar-lhe-ei as demais.
Atenção, quero que conheça o grego Tales (624-554 a.C.).
Nasceu em Mileto, por isso mesmo é mais conhecido como Tales de Mileto. Sobressaiu-se como estadista, matemático e astrônomo. Consta ter predito o eclipse de 28 de maio de 585. É classificado como um dos Sete Sábios da Grécia.
Por volta do ano 600 a.C., o sábio grego Tales de Mileto fez uma viagem ao Egito. O faraó já conhecia sua fama de grande matemático. Dizia-se, por exemplo, que Tales era capaz de calcular a altura de uma construção, por maior que fosse, sem precisar “subir nela”.
Por ordem do monarca, alguns matemáticos egípcios foram ao encontro do visitante e pediram-lhe que calculasse a altura de uma pirâmide. Tales ouviu-os com atenção e se dispôs a atendê-los imediatamente. Já no deserto, próximo à pirâmide, o sábio fincou no chão uma vara, na vertical. Observando a posição da sombra, Tales deitou a vara no chão, a partir do ponto em que foi fincada, marcando na areia o tamanho do seu comprimento. Depois, voltou a vara à posição vertical.
Vamos esperar alguns instantes, disse ele. Daqui a pouco poderei dar a resposta.
Ficaram todos ali, observando a sombra que a vara projetava. Num determinado momento, a sombra ficou exatamente do comprimento da vara. Tales disse então aos egípcios:
Vão depressa até a pirâmide, meçam sua sombra e acrescentem ao resultado a medida da metade do lado da base. Essa soma é a altura exata da pirâmide. (GUELLI, 1993, p.6).
Absolutamente, não se trata de truques nem de segredos, mas de um conhecimento de Geometria, usado para resolver uma questão prática. A propósito, que idéia você faz sobre o que seja Geometria? Com certeza, você já leu e já ouviu alguém pronunciar essa palavra: GEOMETRIA. Gostaria de saber o que essa palavra significa, para você.
Mas, continuando, veja como Tales procedeu:
No momento em que a vara e sua sombra têm exatamente o mesmo tamanho, formam um triângulo semelhante a outro triângulo, sendo este formado pela pirâmide e por sua sombra. Por semelhança de triângulos, Tales deduziu que a altura da pirâmide é igual à sombra mais a metade da base.
A situação pode ser representada pelos triângulos imaginários:
Sendo B/2 : a metade do lado da base da pirâmide
S: comprimento da sombra da pirâmide
b: comprimento da vara
s : comprimento da sombra da vara
x : altura da pirâmide
Os triângulos são semelhantes, pois os raios solares são paralelos. Logo, os lados dos triângulos são proporcionais.
Então, Tales fez o seguinte:
=
Como Tales conhecia os valores de b, B, S e s, calculou o valor de x.
Um desafio para você
Vamos imaginar que os valores encontrados por Tales tenham sido:
B = 250m S = 130m b = 1m s = 1,5m
Calcule, você, agora, a altura da pirâmide.
Vamos supor que você tenha calculado a altura da pirâmide. Então, é momento de fazer duas indagações. O que você entende por:
a) triângulos semelhantes?
b) segmentos proporcionais?
Longe de ser maldade de minha parte, é preciso que você saiba o que se comenta: há autores de livros, sobre a História da Matemática, considerando que entre "as muitas demonstrações de Geometria atribuídas a Tales, a mais importante é a de um teorema que leva o seu nome e diz o seguinte: 'Um feixe de paralelas determina sobre duas transversais segmentos proporcionais' " (GUELLI, 1993, p.7). Entretanto, pode-se encontrar, também que "são bem poucos os teoremas cuja demonstração se atribui a Tales. O teorema do feixe de paralelas cortado por duas transversais não é um deles" (GUELLI, 2001, p. 160), sendo que este segundo comentário faz parte do "livro do professor", da 8ª série. Mas veja que interessante a demonstração do Teorema de Tales (GUELLI, 1993, p.7) a seguir.
>
O que você acha da idéia de ir pesquisar sobre as duas considerações feitas pelo mesmo autor GUELLI, visando esclarecer essa situação "intrigante"?
Depois desta conversa toda, vamos supor que o comprimento da sombra de um edifício seja igual a 3 m, num instante em que o comprimento da sombra de uma árvore de 1,20 m é de 60 cm. Usando o procedimento adotado por Tales, veja como saber a altura da árvore:
0,60x = 3 . 1,20 (propriedade fundamental das proporções)
x = 6 m.
Agora, você deve estar em condições de voltar ao pinheiro que, atacado por cupins, precisa ser derrubado, a não ser que tenha encontrado uma solução para "vencer" os cupins e salvar o pinheiro. Supondo que a distância do pinheiro à moradia seja de 14m, verifique se é possível derrubá-lo em direção à casa, sem destruí-la, usando o procedimento acima.
Sugestão para um final de semana ensolarado: Com um cabo de vassoura e uma fita métrica, determine a altura de sua casa, de um prédio, de uma árvore ou poste, utilizando o processo de Tales.
Desejando que a leitura deste texto tenha sido agradável, para você, no próximo, conversaremos sobre mais uma das "ferramentas" que são importantes nesse fascinante mundo da Trigonometria, pois com os conhecimentos que ela proporciona, pode-se solucionar desafios do dia-a-dia.
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
BONGIOVANNI,V.; LEITE,O.R.V.; LAUREANO, J.L.T. Matemática e vida. São Paulo: ÁTICA, 1993.
CHEVALIER, J.; GHEERBRANT, A. Dicionário de símbolos. 16. ed. Tradução: Vera da Costa e Silva. Rio de Janeiro: JOSÉ OLYMPIO, 2001.
GIOVANNI, J.R.; BONJORNO, J.R.; GIOVANNI Jr, J.R. Matemática fundamental. São Paulo: FTD, 1994
GUELLI, O. Contando a história da matemática: dando corda na trigonometria. São Paulo: ÁTICA, 1993.
_____. Matemática: uma aventura do pensamento. 8 ed. São Paulo: ÁTICA, 2001. 8ª série: Livro do professor.
IHERING, Rodolpho von. Dicionário dos animais do Brasil. Rio de Janeiro: DIFEL, 2002.
MONDIN, B. Curso de Filosofia. Tradução: Benôni Lemos. São Paulo: PAULINAS, 1981. v. 1.
REALE, G. ; ANTISERI, D. História da Filosofia: Antigüidade e Idade Média. São Paulo: PAULINAS, 1990. v.1.
SOUZA, M. H. de; SPINELLI, V. Matemática. São Paulo: SCIPIONE, 1996, v. 1.
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