ANALISE COMBINATÓRIA

No campeonato mundial de Fórmula 1 de 2009, participaram 25 pilotos, dos quais se destacaram o inglês Jenson Button, que foi o campeão, o alemão Sebastian Vettel, que foi o vice-campeão e o brasileiro Rubens Barrichello, que ficou com a terceira colocação.
Obviamente o agrupamento ( Jenson Button, Sebastian Vettel, Rubens Barrichello ) difere do agrupamento ( Sebastian Vettel, Jenson Button, Rubens Barrichello ), pois neste caso a ordem no grupo é um fator que o diferencia.
Se ao invés do brasileiro Rubens Barrichello, o terceiro colocado tivesse sido o australiano Mark Webber, o agrupamento ( Jenson Button, Sebastian Vettel, Mark Webber ) seria distinto do agrupamento ( Jenson Button, Sebastian Vettel, Rubens Barrichello ), pois teríamos participantes diferentes nestes agrupamentos.



Arranjo Simples
Em casos como este, com elementos distintos, onde tanto a ordem de posicionamento no grupo, quanto a natureza dos elementos, os elementos em si, causam diferenciação entre os agrupamentos, estamos diante de um caso de arranjos simples.
Considerando-se os 25 pilotos participantes, qual o número total de possibilidades para os três primeiros colocados?
Para o campeão teríamos 25 possibilidades. Para o vice-campeão e para o terceiro colocado, teríamos respectivamente 24 e 23 possibilidades. Pelo princípio fundamental da contagem teríamos:
25 . 24 . 23 = 13800
Isto é, 13800 possibilidades.

Fórmula do Arranjo Simples
Ao trabalharmos com arranjos simples, com n elementos distintos, agrupados p a p, com p ≤ n, podemos recorrer à seguinte fórmula:
ARRANJO SIMPLESNeste mesmo exemplo, utilizando a fórmula temos:
Exemplos
Qual o número de anagramas que podemos formar com as letras da palavra PADRINHO?
Neste exemplo temos um arranjo simples com 8 elementos agrupados 8 a 8. Calculemos então A8, 8:
Portanto:
Podemos formar 40320 anagramas com as letras da palavra PADRINHO.
________________________________________
Em uma escola está sendo realizado um torneio de futebol de salão, no qual dez times estão participando. Quantos jogos podem ser realizados entre os times participantes em turno e returno?
Como o campeonato possui dois turnos, os jogos Equipe A x Equipe B e Equipe B x Equipe A tratam-se de partidas distintas, então estamos trabalhando com arranjos simples onde importa a ordem dos elementos. Devemos calcular A10, 2:

Então:
Podem ser realizados 90 jogos entre os times participantes.
________________________________________
Otávio, João, Mário, Luís, Pedro, Roberto e Fábio estão apostando corrida. Quantos são os agrupamentos possíveis para os três primeiros colocados?
Obviamente, como em qualquer corrida, a ordem de chegada é um fator diferenciador dos agrupamentos. Como temos 7 corredores e queremos saber o número de possibilidades de chegada até a terceira posição, devemos calcular A7, 3:

Logo:
210 são os agrupamentos possíveis para os três primeiros colocados.

HISTÓRIA DA ÁLGEBRA

(uma visão geral)

Fonte: Tópicos de História da Matemática - John K. Baumgart

Estranha e intrigante é a origem da palavra "álgebra". Ela não se sujeita a uma etimologia nítida como, por exemplo, a palavra "aritmética", que deriva do grego arithmos ("número"). Álgebra é uma variante latina da palavra árabe al-jabr (às vezes transliterada al-jebr), usada no título de um livro, Hisab al-jabr w'al-muqabalah, escrito em Bagdá por volta do ano 825 pelo matemático árabe Mohammed ibn-Musa al Khowarizmi (Maomé, filho de Moisés, de Khowarizm). Este trabalho de álgebra é com frequência citado, abreviadamente, como Al-jabr.

Uma tradução literal do título completo do livro é a "ciência da restauração (ou reunião) e redução", mas matematicamente seria melhor "ciência da transposição e cancelamento"- ou, conforme Boher, "a transposição de termos subtraídos para o outro membro da equação" e "o cancelamento de termos semelhantes (iguais) em membros opostos da equação". Assim, dada a equação:

x2 + 5x + 4 = 4 - 2x + 5x3

al-jabr fornece
x2 + 7x + 4 = 4 + 5x3

e al-muqabalah fornece
x2 + 7x = 5x3

Talvez a melhor tradução fosse simplesmente "a ciência das equações".
Ainda que originalmente "álgebra" refira-se a equações, a palavra hoje tem um significado muito mais amplo, e uma definição satisfatória requer um enfoque em duas fases:
(1) Álgebra antiga (elementar) é o estudo das equações e métodos de resolvê-las.
(2) Álgebra moderna (abstrata) é o estudo das estruturas matemáticas tais como grupos, anéis e corpos - para mencionar apenas algumas.
De fato, é conveniente traçar o desenvolvimento da álgebra em termos dessas duas fases, uma vez que a divisão é tanto cronológica como conceitual.
________________________________________
Equações algébricas e notação

A fase antiga (elementar), que abrange o período de 1700 a.C. a 1700 d.C., aproximadamente, caracterizou-se pela invenção gradual do simbolismo e pela resolução de equações (em geral coeficientes numéricos) por vários métodos, apresentando progressos pouco importantes até a resolução "geral" das equações cúbicas e quárticas e o inspirado tratamento das equações polinomiais em geral feito por François Viète, também conhecido por Vieta (1540-1603).

O desenvolvimento da notação algébrica evoluiu ao longo de três estágios: o retórico (ou verbal), o sincopado (no qual eram usadas abreviações de palavras) e o simbólico. No último estágio, a notação passou por várias modificações e mudanças, até tornar-se razoavelmente estável ao tempo de Isaac Newton. É interessante notar que, mesmo hoje, não há total uniformidade no uso de símbolos. Por exemplo, os americanos escrevem "3.1416" como aproximação de Pi, e muitos europeus escrevem "3,1416". Em alguns países europeus, o símbolo "÷" significa "menos". Como a álgebra provavelmente se originou na Babilônia, parece apropriado ilustrar o estilo retórico com um exemplo daquela região. O problema seguinte mostra o relativo grau de sofisticação da álgebra babilônica. É um exemplo típico de problemas encontrados em escrita cuneiforme, em tábuas de argila que remontam ao tempo do rei Hammurabi. A explanação, naturalmente, é feita em português; e usa-se a notação decimal indo-arábica em vez da notação sexagesimal cuneiforme. A coluna à direita fornece as passagens correspondentes em notação moderna. Eis o exemplo:

[1] Comprimento, largura. Multipliquei comprimento por largura, obtendo assim a área: 252. Somei comprimento e largura: 32. Pede-se: comprimento e largura.

[2] [Dado] 32 soma; 252 área. x+y=k xy=P } ... (A)
[3] [Resposta] 18 comprimento; 14 largura.
[4] Segue-se este método: Tome metade de 32 [que é 16]. k/2
16 x 16 = 256 (k/2)2
256 - 252 = 4 (k/2)2 - P = t2 } ... (B)
A raiz quadrada de 4 é 2.
16 + 2 = 18 comprimento. (k/2) + t = x.
16 - 2 = 14 largura (k/2) - t = y.
[5] [Prova] Multipliquei 18 comprimento por 14 largura.
18 x 14 = 252 área ((k/2)+t) ((k/2)-t)
= (k2/4) - t2 = P = xy.

Nota-se que na etapa [1] o problema é formulado, na [2] os dados são apresentados, na [3] a resposta é dada, na [4] o método de solução é explicado com números e, finalmente, na [5] a resposta é testada.
A "receita" acima é usada repetidamente em problemas semelhantes. Ela tem significado histórico e interesse atual por várias razões.

Antes de tudo não é a maneira como resolveríamos hoje o sistema (A). O procedimento padrão nos atuais textos escolares de álgebra é resolver, digamos, a primeira equação para y (em termos de x), substituir na segunda equação e, então, resolver a equação quadrática resultante em x; isto é, usaríamos o método de substituição. Os babilônios também sabiam resolver sistemas por substituição, mas frequentemente preferiam usar seu método paramétrico. Ou seja, usando-se notação moderna, eles concebiam x e y em termos de uma nova incógnita (ou parâmetro) t fazendo x=(k/2)+t e y=(k/2)-t.

Então o produto
xy = ((k/2) + t) ((k/2) - t) = (k/2)2 - t2 = P
levava-os à relação (B):
(k/2)2 - P = t2

Em segundo lugar, o problema acima tem significado histórico porque a álgebra grega (geométrica) dos pitagóricos e de Euclides seguia o mesmo método de solução - traduzida, entretanto, em termos de segmentos de retas e áreas e ilustrada por figuras geométricas. Alguns séculos depois, outro grego, Diofanto, também usou a abordagem paramétrica em seu trabalho com equações "diofantinas". Ele deu início ao simbolismo moderno introduzindo abreviações de palavras e evitando o estilo um tanto intrincado da álgebra geométrica.
Em terceiro lugar, os matemáticos árabes (inclusive al-Khowarizmi) não usavam o método empregado no problema acima; preferiam eliminar uma das incógnitas por substituição e expressar tudo em termos de palavras e números.
Antes de deixar a álgebra babilônica, notemos que eles eram capazes de resolver uma variedade surpreendente de equações, inclusive certos tipos especiais de cúbicas e quárticas - todas com coeficientes numéricos, naturalmente.
________________________________________
Álgebra no Egito

A álgebra surgiu no Egito quase ao mesmo tempo que na Babilônia; mas faltavam à álgebra egípcia os métodos sofisticados da álgebra babilônica, bem como a variedade de equações resolvidas, a julgar pelo Papiro Moscou e o Papiro Rhind - documentos egípcios que datam de cerca de 1850 a.C. e 1650 a.C., respectivamente, mas refletem métodos matemáticos de um período anterior. Para equações lineares, os egípcios usavam um método de resolução consistindo em uma estimativa inicial seguida de uma correção final - um método ao qual os europeus posteriormente deram o nome umtanto abstruso de "regra da falsa posição". A álgebra do Egito, como a da Babilônia, era retórica.
O sistema de numeração egípcio, relativamente primitivo em comparação com o dos babilônios, ajuda a explicar a falta de sofisticação da álgebra egípcia. Os matemáticos europeus do século XVI tiveram de estender a noção indo-arábica de número antes de poderem avançar significativamente além dos resultados babilônios de resolução de equações.
________________________________________
Álgebra geométrica grega

A álgebra grega conforme foi formulada pelos pitagóricos e por Euclides era geométrica. Por exemplo, o que nós escrevemos como:
(a+b)2 = a2 + 2ab + b2
era concebido pelos gregos em termos do diagrama apresentado na Figura 1 e era curiosamente enunciado por Euclides em Elementos, livro II, proposição 4:
Se uma linha reta é dividida em duas partes quaisquer, o quadrado sobre a linha toda é igual aos quadrados sobre as duas partes, junto com duas vezes o retângulo que as partes contém. [Isto é, (a+b)2 = a2 + 2ab + b2.]
Somos tentados a dizer que, para os gregos da época de Euclides, a2 era realmente um quadrado.
Não há dúvida de que os pitagóricos conheciam bem a álgebra babilônica e, de fato, seguiam os métodos-padrão babilônios de resolução de equações. Euclides deixou registrados esses resultados pitagóricos. Para ilustrá-lo, escolhemos o teorema correspondente ao problema babilônio considerado acima.



Do livro VI dos Elementos, temos a proposição 28 (uma versão simplificada):
Dada uma linha reta AB [isto é, x+y=k], construir ao longo dessa linha um retângulo com uma dada área [xy = P], admitindo que o retângulo "fique aquém" em AB por uma quantidade "preenchida" por outro retângulo [o quadrado BF na Figura 2], semelhante a um dado retângulo [que aqui nós admitimos ser qualquer quadrado].



Na solução desta construção solicitada (Fig.2) o trabalho de Euclides é quase exatamente paralelo à solução babilônica do problema equivalente. Conforme indicado por T.L.Heath / EUCLID: II, 263/, os passos são os seguintes:

Bissecte AB em M: k/2
Construa o quadrado MBCD: (k/2)2
Usando VI, 25, construa o quadrado DEFG com área igual ao excesso de MBCD sobre a área dada P: t2 = (k/2)2 - P
Então é claro que y = (k/2) - t

Como fazia frequentemente, Euclides deixou o outro caso para o estudante - neste caso, x=(k/2)+t, o que Euclides certamente percebeu mas não formulou.
É de fato notável que a maior parte dos problemas-padrão babilônicos tenham sido "refeitos" desse modo por Euclides. Mas por quê? O que levou os gregos a darem à sua álgebra esta formulação desajeitada? A resposta é básica: eles tinham dificuldades conceituais com frações e números irracionais.

Mesmo que os matemáticos gregos fossem capazes de contornar as frações, tratando-as como razões de inteiros, eles tinham dificuldades insuperáveis com números como a raiz quadrada de 2, por exemplo. Lembramos o "escândalo lógico" dos pitagóricos quando descobriram que a diagonal de um quadrado unitário é incomensurável com o lado (ou seja, diag/lado é diferente da razão de dois inteiros).
Assim, foi seu estrito rigor matemático que os forçou a usar um conjunto de segmentos de reta como domínio conveniente de elementos. Pois, ainda que raiz quadrada de 2 não possa ser expresso em termos de inteiros ou suas razões, pode ser representado como um segmento de reta que é precisamente a diagonal do quadrado unitário. Talvez não seja apenas um gracejo dizer que o contínuo linear era literalmente linear.

De passagem devemos mencionar Apolônio (c. 225 a.C.), que aplicou métodos geométricos ao estudo das secções cônicas. De fato, seu grande tratado Secções cônicas contém mais geometria analítica das cônicas - toda fraseada em terminologia geométrica - do que os cursos universitários de hoje.
A matemática grega deu uma parada brusca. A ocupação romana tinha começado, e não encorajava a erudição matemática, ainda que estimulasse alguns outros ramos da cultura grega. Devido ao estilo pesado da álgebra geométrica, esta não poderia sobreviver somente na tradição escrita; necessitava de um meio de comunicação vivo, oral. Era possível seguir o fluxo de idéias desde que um instrutor apontasse para diagramas e explicasse; mas as escolas de instrução direta não sobreviveram.
________________________________________
Álgebra na Europa
A álgebra que entrou na Europa (via Liber abaci de Fibonacci e traduções) havia regredido tanto em estilo como em conteúdo. O semi-simbolismo (sincopação) de Diofanto e Brahmagupta e suas realizações relativamente avançadas não estavam destinados a contribuir para uma eventual irrupção da álgebra.
A renascença e o rápido florescimento da álgebra na Europa foram devidos aos seguintes fatores:
1.facilidade de manipular trabalhos numéricos através do sistema de numeração indo-arábico, muito superior aos sistemas (tais como o romano) que requeriam o uso do ábaco;
2.invenção da imprensa com tipos móveis, que acelerou a padronização do simbolismo mediante a melhoria das comunicações, baseada em ampla distribuição;
3.ressurgimento da economia, sustentando a atividade intelectual; e a retomada do comércio e viagens, facilitando o intercâmbio de idéias tanto quanto de bens.
Cidades comercialmente fortes surgiram primeiro na Itália, e foi lá que o renascimento algébrico na Europa efetivamente teve início.

ENSINO DE MATEMATICA

Uma pausa para reflexão sobre como aprender Matemática.


Até há pouco tempo, muitas gerações de professores de Matemática se formaram aprendendo a dar aulas segundo um único método, um TRINÔMIO:

1.- Uma definição seca e precisa;

2.- Alguns exemplos que o próprio professor resolve para o aluno aprender como se faz;

3.- O professor propõe exercícios, separados em tipos, para o aluno resolver.

Com isso, desenvolveu-e uma educação matemática técnica, impessoal, na qual a ação dos homens que criaram os conceitos matemáticos e as necessidades sociais da época quejustificaram essa criação hoje não tem lugar.
Quando o aluno termina o 2° grau, percebe-se facilmente que ele não aprendeu uma ciência chamada Matemática, mas sim, formou-se em tipos de exercícios de matemática.

INTERDICIPLINARIDADE : MATEMÁTICA,LINGUA PORTUGUESA;HISTÓRIA

‘FOLHAS DE MATEMÁTICA
FONTE DE CONSULTA
Nome da Professora: MÍRIAN LONGARETTI

Disciplina: MATEMÁTICA
Série: 1º ano
Faixa etária do aluno: [14 anos)
Unidade Temática (Tópico de Conteúdo): Trigonometria - Tales de Mileto
Título: Se ficar, o cupim come...se tirar, a casa cai.

RELACIONADO COM CONTEÚDOS DE:
Matemática (X) Língua Portuguesa (X) História (X)

PALAVRAS-CHAVE: trigonometria – Tales de Mileto – triângulo - conhecimentos históricos - léxico

1. PROBLEMA
Um pinheiro altíssimo foi atacado por cupins e será preciso derrubá-lo. Acontece que a única direção em que se pode derrubar a árvore, coloca uma casa, localizada nas suas proximidades, em perigo, pois não se sabe a altura da árvore. Como saber a altura do pinheiro?

2. DESENVOLVIMENTO DO TEMA

Se ficar, o cupim come...
...Se tirar, a casa cai?




Você sabia que a palavra “cupim” é ambígua? Sim, pois designa não só o inseto como também o ninho que os mesmos constróem. É por isso que se diz: ”o cupim corrói o madeiramento”; “o cupim enfeia os prados”.
Antes de continuarmos, com esta nossa conversa, preciso perguntar-lhe: Você tem alguma dúvida quanto ao significado da palavra “ambígua”? E por falar em “ambígua”, que maravilha é o dicionário da Língua Portuguesa, não é mesmo? Consultá-lo, então, é melhor ainda. E, sem a intenção de fanatismo, cultivar o hábito de consultar um dicionário, é "tri-legal". A propósito, o que significa, para você, a palavra “léxico”? Mas, voltemos ao cupim.
Insetos sociais, pois há indivíduos dos dois sexos, os cupins pertencem à ordem Isópteros, da família Termitidae. Observe: também para estas palavras (Isópteros, Termitidae), o dicionário é interessante. Afinal, elas podem revelar, a você, “segredos” dos cupins. Mas, preste atenção ao que vou lhe contar: existem castas de cupins assexuados. Sabe o porquê? É necessário, pois quem faria determinadas tarefas? Serei mais clara: os cupins assexuados apresentam o organismo adaptado para o trabalho a que são destinados. E, assim como alguns seres humanos desenvolvem o seu trabalho profissional em sua própria casa, enquanto outros “trabalham fora”, alguns cupins, então, são adaptados para trabalho externo e outros, para trabalho interno. E mais, ainda, eu lhe conto: há os cupins que cuidam da defesa, são os guerreiros (nasuti, na terminologia científica). Espero que você esteja percebendo que, com este palavreado  trabalho externo, trabalho interno, defesa –, refiro-me aos “ninhos”. Enquanto na Amazônia, os “ninhos” são denominados “itapecuim” ou “tapecuim”, em Mato Grosso e no Rio Grande do Sul, diz-se “itacuru” ou “tacuru”. Neste caso, um “dicionário etimológico” pode contar o porquê destes nomes.
Segundo estudiosos sobre cupins, os ninhos são característicos para cada espécie, sendo que a parte central é feita de madeira mastigada, como se fosse “papier maché”. Ah, lembrei-me em tempo: por falar em papier maché, como vai o “seu francês”? Com certeza, você está sentindo que é muito excitante essa necessidade de se consultar dicionários: da língua portuguesa, etimológico, da língua francesa.
Continuando com nossa conversa, os ninhos são protegidos por um invólucro de barro amassado com saliva, chegando a ser tão resistentes como o melhor tijolo e suas dimensões podem atingir de dois até quatro metros de altura. Neste momento, quero perguntar-lhe: Pensa que acidentes só acontecem nas cidades grandes? Pois se pensa, está cometendo um engano. Leia com atenção o que segue: nos prados rio-grandenses, os tacurus são temidos porque, meio destruídos e ocultos entre o capim, provocam a queda do animal quando, no galope, afunda nesses ninhos, quebrando a perna.
Algumas espécies de cupins habitam troncos de árvores ou o madeiramento das construções. No litoral do Rio de Janeiro e em Santos, por exemplo, a espécie Cornitermes sp chega a desvalorizar as casas “onde moram”, porque corroem, especialmente, as vigas do telhado. Há espécies que atacam as raízes de um variado número de plantas ou mudas, sendo que nada se percebe, pois os cupins cavam pequenos túneis – que não são visíveis – no solo.
Há situações nas quais o cupim destrói uma moradia, mesmo sem corroer seu madeiramento. Não, não, não se trata de truque, não. Trata-se de uma situação bem real. Tanto é real, que convido você a refletir sobre a delicada situação do pinheiro atacado pelos cupins. Talvez você descubra alguma maneira de salvá-lo. Mas, como devemos estar preparados para tudo, é preciso contar com a possibilidade de ter que derrubá-lo. Portanto.... você tem alguma idéia de como calcular a altura do pinheiro?

FALANDO DE CUPINS, PINHEIROS E.... PIRÂMEDES, MEDIR É PRECISO

Dando continuidade a esta agradável conversa, não sei se faz parte dos seus “conhecimentos históricos”, mas, na Antigüidade, "um matemático grego" conseguiu determinar a altura das pirâmides do Egito. Usando uma vara e duas sombras, "esse matemático" contribuiu para o surgimento da Trigonometria. Mas, "que tal", concorda que seria interessante, nesta "altura" da nossa conversa, você pesquisar o significado de “trigonometria”? Você poderia se utilizar de um "bom" dicionário da Língua Portuguesa, ou de uma enciclopédia.
O termo “trigonometria”, criado em 1595, pelo matemático alemão Bartholomäus Pitiscus, deriva das palavras gregas trigono e metria. No contexto da Matemática, trigono significa três ângulos e metria, medida. Mas, por que será que estou considerando "no contexto da Matemática"? Troque idéias com seus colegas, cheguem a um resultado e "contem" para o professor, ou professora, o que "o grupo", quero dizer, "você e seus colegas" entendem por "no contexto da Matemática".
Assim como é impossível não se associar "Pelé com bola", quando falamos em trigonometria, pensa-se em "triângulo". O termo triângulo vem do grego trigonos. Dito de outro modo, o termo triângulo significa "polígono de três lados".
Você sabia que, para os antigos maias, o triângulo é o glifo do raio do Sol, semelhante ao broto que forma o germe do milho, quando rompe a superfície do solo, quatro dias após o plantio do grão? Ligado ao Sol e ao milho, o triângulo é duas vezes símbolo de fecundidade.
Agora, entre nós, posso ficar tranqüila? Você sabe o que significa "glifo"? Ah, eu sabia... nesta altura da conversa, você está ficando habituado a consultar o "dicionário do nosso belo idioma", não é mesmo?
Mas, continuemos com esse assunto sobre triângulo. Ele é freqüentemente utilizado nos frisos ornamentais, na Índia, na Grécia, em Roma, por exemplo, e seu significado parece constante. O triângulo, com a ponta para cima, simboliza o fogo e o sexo masculino; com a ponta para baixo, simboliza a água e o sexo feminino. O "selo de Salomão" é composto de dois triângulos invertidos e significa, principalmente, a sabedoria humana. O triângulo equilátero, na tradição judaica, simboliza Deus, cujo nome não se pode pronunciar. Atenção: pesquise sobre "selo de Salomão", conversando com seus colegas, seus professores e até, mesmo, recorra à Internet. Você ficará surpreso com o número de "respostas" diferentes que irá conseguir.
Uma pausa: é evidente que você já tem conhecimentos sobre "triângulo equilátero". Caso tenha se esquecido, ...pesquise.
De novo, o triângulo. Além de sua conhecida importância no pitagorismo, o triângulo é, na alquimia, o símbolo do fogo. A propósito desta nossa conversa, você sabe quem é Pitágoras, não é mesmo? E você, também, sabe o que significa "alquimia"? Lembre-se: sempre é muito interessante "deixar um dicionário da Língua Portuguesa bem próximo, nos momentos de leituras".
Você conhece a importância atribuída pela maçonaria ao triângulo? Sabe o significado do triângulo maçônico? Sabe alguma coisa a respeito da relação entre o triângulo de ponta para cima e o triângulo invertido? Sugiro a seguinte obra para que você possa pesquisar sobre "triângulo", pois, garanto-lhe, ficará maravilhado: Dicionário de Símbolos (CHEVALIER & CHEERBRANT, 2001).
Nossa!!! Fiquei tão empolgada com triângulos que quase me esqueci da "trigonometria". Portanto, falemos um pouco de "trigonometria". Podemos começar afirmando que "trigonometria é um assunto de conversa". Que tal, gostou? Continue lendo...
Os primeiros trabalhos elementares, envolvendo conceitos trigonométricos, foram desenvolvidos pelos babilônios e antigos egípcios, que realizavam estudos e cálculos relativos a fenômenos astronômicos e geográficos, como a determinação de eclipses, fases da lua, distâncias inacessíveis e rotas de navegação.
Pausa para uma pergunta: você tem dúvidas sobre o que venha a ser "conceito"? Em que você pensa quando lê a expressão "conceitos trigonométricos"? Caso você não pense em nada...isso é preocupante.
Voltemos aos babilônios. Deve-se, também, aos babilônios, a divisão da circunferência, ainda hoje em uso, ou seja, dividida em graus, minutos e segundos. Entre os gregos, também, é possível encontrar trabalhos ligados à astronomia. Nesses trabalhos aparecem conceitos trigonométricos, como por exemplo, a expressão 1/2 maior sen 30º maior 1/18, usada no trabalho denominado Das grandezas e das distâncias ao Sol e à Lua. O autor deste trabalho é Aristarco de Samos (310 a 250 a.C.).
Bem, uma conversa entre nós, e bem baixinho, para que ninguém ouça: você já tem conhecimentos sobre "seno". Portanto não há motivos de ficar perplexo ao ler "sen". Sugiro, caso, ainda, não saiba o significado de "1/2 maior sen 30º maior 1/18", que peça auxílio ao seu professor. Mas, penso que será muito tranqüilo, para você, investigar, "sozinho", a respeito dessa expressão. Com certeza, deparar-se-á, com ela, em seu próprio livro de Matemática.
Continuando, pode-se atribuir a Hiparco de Nicéia (século II a.C.), por muitos considerado o “pai da astronomia”, o estabelecimento das "bases da trigonometria", bem como a construção das primeiras "tabelas trigonométricas".
Ei, o que se passa? Não há motivos para espanto, não é mesmo? Eu, apenas, mencionei "bases". Quando se constrói algo , parte-se de uma "base", certo? Portanto, "bases da trigonometria". Sim, pois, se existem "bases trigonométricas", alguém começou com essa "história". Quanto à expressão "tabelas trigonométricas", todo mortal, que estudou "trigonometria do triângulo retângulo", sabe perfeitamente do que se trata. Até mesmo um livro de Matemática, destinado a alunos de 8ª série, apresenta, trazendo comentários e ilustrações, uma tabela trigonométrica com valores de senos, cossenos e tangentes de um ângulo.
Mas, o que fez Ptolomeu (85 a 165 d.C.)? Inspirando-se no trabalho de Hiparco, e ampliando-o, escreve uma obra intitulada Sintaxe matemática, resultando num "tratado sobre trigonometria". Faço, aqui, uma pausa para um lembrete precioso: o dicionário da Língua Portuguesa deve ser consultado sempre que uma dúvida "atrapalhe" nossa leitura. Assim, por exemplo, conheço pessoas que têm dificuldade em explicar o que seja "um tratado". Trigonometria, você já sabe o que é. Mas... o que é um “tratado sobre trigonometria?”
Até o século XII, os trabalhos sobre trigonometria eram relacionados à astronomia. Entre os árabes, destacam-se as contribuições de Abulwafa (940-998), do observatório de Bagdá, que construiu tábuas de senos e tangentes, com relativa precisão. Os árabes deram, ainda, uma grande contribuição: traduziram a obra de Ptolomeu - que era composta por treze livros -, dando-lhe o título de Almagesto (“o maior”, “o magnífico).
Inicialmente considerada uma extensão da Geometria, com o trabalho do árabe Nasir Edin (1201-1274), a trigonometria recebe um tratamento independente. O que você entendeu aqui? Pergunte, ao seu professor, ou pesquise o que significa dizer que "uma ciência X, quando surgiu, era considerada como pertencendo ao domínio de uma outra ciência Y".
Vou citar, nesta nossa conversa, o italiano Leonardo “Fibonacci” (1175-1240). Trata-se de um indivíduo, muito conhecido no meio dos entendidos sobre "criação de coelhos", que escreveu, no século XII, a obra Practica Geometriae (1220), tendo apresentado importantes aplicações de trigonometria, que havia aprendido em contatos feitos com árabes e hindus.
No século XV, Johan Muller (1436-1476), mais conhecido pelo nome de Regiomontanus, escreveu, em 1464, a obra De Triangulus Omnomodis (O tratado dos triângulos). Essa obra é considerada como o primeiro livro europeu que trata a trigonometria “independente da astronomia”. Ainda, no século XV, foi construída a primeira tábua trigonométrica, por um matemático alemão, nascido na Baviera, chamado Peurbach.
Georg Joachim Rhaeticus (1514-1576) publicou, em 1551, um tratado com uma introdução trigonométrica, que apresentava, pela primeira vez juntas, as seis razões trigonométricas, além de tabelas de senos, tangentes e secantes. A propósito, Rhaeticus foi aluno de Nicolau Copérnico. Ah, “as seis razões trigonométricas”, você conhece, muito bem, não é mesmo?

Fazendo uma pausa, sugiro que você consulte obras sobre a história da matemática. Garanto-lhe, irá ficar fascinado.
O nome “trigonometria” foi usado pela primeira vez por Bartolomeu Pitiscus (1561-1613), em seu livro Thesaurus Mathematicus, como sendo a ciência da resolução de triângulos. Hoje em dia, a Trigonometria não se limita a estudar somente triângulos, suas aplicações abrangem outros campos de atividades como, por exemplo, na Topografia (descrição de uma localidade); na Engenharia (construção de pontes sobre rios), envolvida com o conceito de proporcionalidade; na Astronomia (cálculo da distância da Terra à Lua, da Terra ao Sol e do diâmetro da Terra), usando-se observações e cálculos trigonométricos. É aplicada, também, na Agrimensura (arte de medir os campos, as terras); na Óptica; na Física (estudo de deslocamento, por exemplo); nas medidas de alturas, com base nas medidas dos comprimentos das sombras.

Algumas situações onde se pode aplicar a Trigonometria

1. Construção de pontes
Situação-problema: Nas condições da figura abaixo, como se poderá determinar o
comprimento de uma ponte que vai ser construída sobre o lago?



2. Medidas de alturas com base nas medidas dos comprimentos das sombras
Situação-problema: Em um dia ensolarado, como se poderia medir a altura de uma determinada árvore? Um detalhe importante: observando, com atenção, vê-se que uma goiabeira, com 45 cm, está projetando uma sombra de 32 cm no solo, enquanto que, no mesmo instante, a árvore cuja altura se pretende medir, projeta uma sombra de 4m, sobre o mesmo chão.

3. Astronomia
Situação-problema: Segundo os astrônomos, há um certo momento em que Lua, Terra e Sol formam, praticamente, um triângulo retângulo, com a seguinte configuração:


Há alguma maneira de se verificar que a distância da Terra à Lua é pelo menos 50 vezes menor que a distância da Terra ao Sol?

4. Agrimensura
Situação-problema: Um agrimensor precisa determinar a distância entre dois pontos, A e C, que se situam em lados opostos de um mesmo rio. Sabe que, uma pessoa posicionada no ponto B, a uma distância x do ponto A, e no mesmo lado do rio onde fica o ponto A, enxerga, sob um ângulo de 85º, o ponto C a uma distância igual a 100m. Sobrevoando o local, em um helicóptero, percebe que AC é perpendicular à AB. Que procedimento deveria ser adotado pelo agrimensor?


5. Física (Óptica)
Situação-problema: Um raio de luz, em sua trajetória, passa do ar para a água, com um ângulo de incidência igual a 30º. É possível determinar o ângulo de refração desse raio?

6. Física (Grandezas Vetoriais)
Situação-problema: Como se poderia determinar + , numa situação na qual o vetor , com 6 unidades de comprimento, faz um ângulo de 30º com o eixo X positivo, e , com 8 unidades de comprimento, faz um ângulo de 60º com o eixo X positivo?



7. Situações do dia-a-dia
a) Situação-problema: Um observador está em A e necessita calcular sua distância até um ponto inacessível B. Os únicos dados que o observador possui, estão apresentados na figura abaixo. Caso você estivesse com este desafio, contando com os conhecimentos que já possui, como resolveria essa situação?


b) Situação-problema: Em uma tarefa solicitada pelo professor, os alunos dispõem de um teodolito de 1,5 metros de altura. Apontando esse teodolito contra o topo de um edifício, os alunos conseguem um ângulo de 60º. Afastando-se 100m, registram 30º. Qual deverá ser a altura do edifício?

c) Situação-problema: Supondo que seja possível consultar uma tabela trigonométrica, deve-se usar o esquema abaixo, para calcular a distância entre os pontos A e B.



Agora, você já tomou conhecimento de algumas situações que podem ser trabalhadas com o uso da Trigonometria. No entanto, para isso, algumas "ferramentas" são necessárias. Nesta conversa, de hoje, comentarei, apenas, uma delas, pois brevemente, em uma outra conversa, apresentar-lhe-ei as demais.
Atenção, quero que conheça o grego Tales (624-554 a.C.).
Nasceu em Mileto, por isso mesmo é mais conhecido como Tales de Mileto. Sobressaiu-se como estadista, matemático e astrônomo. Consta ter predito o eclipse de 28 de maio de 585. É classificado como um dos Sete Sábios da Grécia.
Por volta do ano 600 a.C., o sábio grego Tales de Mileto fez uma viagem ao Egito. O faraó já conhecia sua fama de grande matemático. Dizia-se, por exemplo, que Tales era capaz de calcular a altura de uma construção, por maior que fosse, sem precisar “subir nela”.
Por ordem do monarca, alguns matemáticos egípcios foram ao encontro do visitante e pediram-lhe que calculasse a altura de uma pirâmide. Tales ouviu-os com atenção e se dispôs a atendê-los imediatamente. Já no deserto, próximo à pirâmide, o sábio fincou no chão uma vara, na vertical. Observando a posição da sombra, Tales deitou a vara no chão, a partir do ponto em que foi fincada, marcando na areia o tamanho do seu comprimento. Depois, voltou a vara à posição vertical.
 Vamos esperar alguns instantes, disse ele. Daqui a pouco poderei dar a resposta.
Ficaram todos ali, observando a sombra que a vara projetava. Num determinado momento, a sombra ficou exatamente do comprimento da vara. Tales disse então aos egípcios:
 Vão depressa até a pirâmide, meçam sua sombra e acrescentem ao resultado a medida da metade do lado da base. Essa soma é a altura exata da pirâmide. (GUELLI, 1993, p.6).

Absolutamente, não se trata de truques nem de segredos, mas de um conhecimento de Geometria, usado para resolver uma questão prática. A propósito, que idéia você faz sobre o que seja Geometria? Com certeza, você já leu e já ouviu alguém pronunciar essa palavra: GEOMETRIA. Gostaria de saber o que essa palavra significa, para você.
Mas, continuando, veja como Tales procedeu:

No momento em que a vara e sua sombra têm exatamente o mesmo tamanho, formam um triângulo semelhante a outro triângulo, sendo este formado pela pirâmide e por sua sombra. Por semelhança de triângulos, Tales deduziu que a altura da pirâmide é igual à sombra mais a metade da base.
A situação pode ser representada pelos triângulos imaginários:



Sendo B/2 : a metade do lado da base da pirâmide
S: comprimento da sombra da pirâmide
b: comprimento da vara
s : comprimento da sombra da vara
x : altura da pirâmide

Os triângulos são semelhantes, pois os raios solares são paralelos. Logo, os lados dos triângulos são proporcionais.
Então, Tales fez o seguinte:

=
Como Tales conhecia os valores de b, B, S e s, calculou o valor de x.

Um desafio para você
Vamos imaginar que os valores encontrados por Tales tenham sido:
B = 250m S = 130m b = 1m s = 1,5m
Calcule, você, agora, a altura da pirâmide.

Vamos supor que você tenha calculado a altura da pirâmide. Então, é momento de fazer duas indagações. O que você entende por:
a) triângulos semelhantes?
b) segmentos proporcionais?

Longe de ser maldade de minha parte, é preciso que você saiba o que se comenta: há autores de livros, sobre a História da Matemática, considerando que entre "as muitas demonstrações de Geometria atribuídas a Tales, a mais importante é a de um teorema que leva o seu nome e diz o seguinte: 'Um feixe de paralelas determina sobre duas transversais segmentos proporcionais' " (GUELLI, 1993, p.7). Entretanto, pode-se encontrar, também que "são bem poucos os teoremas cuja demonstração se atribui a Tales. O teorema do feixe de paralelas cortado por duas transversais não é um deles" (GUELLI, 2001, p. 160), sendo que este segundo comentário faz parte do "livro do professor", da 8ª série. Mas veja que interessante a demonstração do Teorema de Tales (GUELLI, 1993, p.7) a seguir.


>
O que você acha da idéia de ir pesquisar sobre as duas considerações feitas pelo mesmo autor GUELLI, visando esclarecer essa situação "intrigante"?
Depois desta conversa toda, vamos supor que o comprimento da sombra de um edifício seja igual a 3 m, num instante em que o comprimento da sombra de uma árvore de 1,20 m é de 60 cm. Usando o procedimento adotado por Tales, veja como saber a altura da árvore:


0,60x = 3 . 1,20 (propriedade fundamental das proporções)
x = 6 m.

Agora, você deve estar em condições de voltar ao pinheiro que, atacado por cupins, precisa ser derrubado, a não ser que tenha encontrado uma solução para "vencer" os cupins e salvar o pinheiro. Supondo que a distância do pinheiro à moradia seja de 14m, verifique se é possível derrubá-lo em direção à casa, sem destruí-la, usando o procedimento acima.

Sugestão para um final de semana ensolarado: Com um cabo de vassoura e uma fita métrica, determine a altura de sua casa, de um prédio, de uma árvore ou poste, utilizando o processo de Tales.
Desejando que a leitura deste texto tenha sido agradável, para você, no próximo, conversaremos sobre mais uma das "ferramentas" que são importantes nesse fascinante mundo da Trigonometria, pois com os conhecimentos que ela proporciona, pode-se solucionar desafios do dia-a-dia.



REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS


BONGIOVANNI,V.; LEITE,O.R.V.; LAUREANO, J.L.T. Matemática e vida. São Paulo: ÁTICA, 1993.

CHEVALIER, J.; GHEERBRANT, A. Dicionário de símbolos. 16. ed. Tradução: Vera da Costa e Silva. Rio de Janeiro: JOSÉ OLYMPIO, 2001.

GIOVANNI, J.R.; BONJORNO, J.R.; GIOVANNI Jr, J.R. Matemática fundamental. São Paulo: FTD, 1994

GUELLI, O. Contando a história da matemática: dando corda na trigonometria. São Paulo: ÁTICA, 1993.

_____. Matemática: uma aventura do pensamento. 8 ed. São Paulo: ÁTICA, 2001. 8ª série: Livro do professor.

IHERING, Rodolpho von. Dicionário dos animais do Brasil. Rio de Janeiro: DIFEL, 2002.

MONDIN, B. Curso de Filosofia. Tradução: Benôni Lemos. São Paulo: PAULINAS, 1981. v. 1.

REALE, G. ; ANTISERI, D. História da Filosofia: Antigüidade e Idade Média. São Paulo: PAULINAS, 1990. v.1.

SOUZA, M. H. de; SPINELLI, V. Matemática. São Paulo: SCIPIONE, 1996, v. 1.

REGRA DE TRES SIMPLES E COMPOSTA

REGRA DE TRÊS SIMPLES


Regra de três simples é um processo prático para resolver problemas que envolvam quatro valores dos quais conhecemos três deles. Devemos, portanto, determinar um valor a partir dos três já conhecidos.

Passos utilizados numa regra de três simples:

1º) Construir uma tabela, agrupando as grandezas da mesma espécie em colunas e mantendo na mesma linha as grandezas de espécies diferentes em correspondência.

2º) Identificar se as grandezas são diretamente ou inversamente proporcionais.

3º) Montar a proporção e resolver a equação.

Exemplos:

1) Com uma área de absorção de raios solares de 1,2m², uma lancha com motor movido a energia solar consegue produzir 400 watts por hora de energia. Aumentando-se essa área para 1,5m², qual será a energia produzida?

Solução: montando a tabela:

Área (m²) Energia (Wh)
1,2--------400
1,5-------- x

Identificação do tipo de relação:

Área--------Energia
1,2---------400↓
1,5---------- X↓



Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x (2ª coluna).
Observe que: Aumentando a área de absorção, a energia solar aumenta.
Como as palavras correspondem (aumentando - aumenta), podemos afirmar que as grandezas são diretamente proporcionais. Assim sendo, colocamos uma outra seta no mesmo sentido (para baixo) na 1ª coluna. Montando a proporção e resolvendo a equação temos:


Área--------Energia
1,2---------400↓
1,5-----------x↓


1,2X = 400.1,5


x= 400.1,5 / 1,2

x= 500

Logo, a energia produzida será de 500 watts por hora.


2) Um trem, deslocando-se a uma velocidade média de 400Km/h, faz um determinado percurso em 3 horas. Em quanto tempo faria esse mesmo percurso, se a velocidade utilizada fosse de 480km/h?

Solução: montando a tabela:

Velocidade (Km/h) Tempo (h)
400-----------------3
480---------------- x

Identificação do tipo de relação:

velocidade----------tempo
400↓-----------------3↑
480↓---------------- x↑

Obs: como as setas estão invertidas temos que inverter os números mantendo a primeira coluna e invertendo a segunda coluna ou seja o que esta em cima vai para baixo e o que esta em baixo na segunda coluna vai para cima

velocidade----------tempo
400↓-----------------X↓
480↓---------------- 3↓



480X = 400 . 3

x = 400 . 3 / 480

X = 2,5


Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x
(2ª coluna).
Observe que: Aumentando a velocidade, o tempo do percurso diminui.
Como as palavras são contrárias (aumentando - diminui), podemos afirmar que as grandezas são inversamente proporcionais. Assim sendo, colocamos uma outra seta no sentido contrário (para cima) na 1ª coluna. Montando a proporção e resolvendo a equação temos:

Logo, o tempo desse percurso seria de 2,5 horas ou 2 horas e 30 minutos.


3) Barbara comprou 3 camisetas e pagou R$120,00. Quanto ela pagaria se comprasse 5 camisetas do mesmo tipo e preço?

Solução: montando a tabela:

Camisetas----preço (R$)
3------------- 120
5---------------x

3x=5.120

o três vai para o outro lado do igual dividindo

x = 5.120/3

x= 200


Observe que: Aumentando o número de camisetas, o preço aumenta.
Como as palavras correspondem (aumentando - aumenta), podemos afirmar que as grandezas são diretamente proporcionais. Montando a proporção e resolvendo a equação temos:



Logo, a Barbara pagaria R$200,00 pelas 5 camisetas.


4) Uma equipe de operários, trabalhando 8 horas por dia, realizou determinada obra em 20 dias. Se o número de horas de serviço for reduzido para 5 horas, em que prazo essa equipe fará o mesmo trabalho?

Solução: montando a tabela:

Horas por dia-----Prazo para término (dias)

8↑------------------------20↓
5↑------------------------x ↓

invertemos os termos

Horas por dia-----Prazo para término (dias)

8↑-------------------------x↑
5↑------------------------20↑


5x = 8. 20

passando-se o 5 para o outro lado do igual dividindo temos:

5x = 8. 2 / 5

x = 32

Observe que: Diminuindo o número de horas trabalhadas por dia, o prazo para término aumenta.
Como as palavras são contrárias (diminuindo - aumenta), podemos afirmar que as grandezas são inversamente proporcionais. Montando a proporção e resolvendo a equação temos:



EXERCICIOS


1) Uma roda dá 80 voltas em 20 minutos. Quantas voltas dará em 28 minutos? (R:112)

2) Com 8 eletricistas podemos fazer a instalação de uma casa em 3 dias. Quantos dias levarão 6 eletricistas para fazer o mesmo trabalho? (R: 4)

3) Com 6 pedreiros podemos construir um a parede em 8 dias. Quantos dias gastarão 3 pedreiros para fazer a mesma parede? (R:16)

4) Uma fabrica engarrafa 3000 refrigerantes em 6 horas. Quantas horas levará para engarrafar 4000 refrigerantes? (R: 8)

5) Quatro marceneiros fazem um armário em 18 dias. Em quantos dias 9 marceneiros fariam o mesmo armário? (R:8)

6) Trinta operários constroem uma casa em 120 dias. Em quantos dias 40 operários construiriam essa casa? (R: 90)

7) Uma torneira despeja em um tanque 50 litros de água em 20 minutos. Quantas horas levará para despejar 600 litros? (R: 4)

8) Na construção de uma escola foram gastos 15 caminhões de 4 m³ de areia. Quantos caminhões de 6 m³ seriam necessários para fazer o mesmo trabalho? (R: 10)

9) Com 14 litros de tinta podemos pintar uma parede de 35 m². Quantos litros são necessários para pintar uma parede de 15 m²? (R: 6)

10) Um ônibus, a uma velocidade média de 60 km/h, fez um percurso em 4 horas. Quanto levará, aumentando a velocidade média para 80 km/h? (R:3)

11) Para se obterem 28 kg de farinha, são necessários 40 kg de trigo. Quantos quilogramas do mesmo trigo são necessários para se obterem 7 kg de farinha? (R:10)

12) Cinco pedreiros fazem uma casa em 30 dias. Quantos dias levarão 15 pedreiros para fazer a mesma casa? (R:10)

13) Uma máquina produz 100 peças em 25 minutos. Quantoas peças produzirá em 1 hora? (R:240)

14) Um automóvel faz um percurso de 5 horas à velocidade média de 60 km/h. Se a velocidade fosse de 75 km /h quantas horas gastaria para fazer o mesmo percurso? (R:4)

15)Uma maquina fabrica 5000 alfinetes em 2 horas. Qauntos alfinetes ela fabricará em 7 horas? (R:17.500)

16) Quatro quilogramas de um produto químico custam R$ 24.000,00 quanto custarão 7,2 Kg desse mesmo produto? (R:43.200,00)

17) Oito operarios fazem um casa em 30 dias. quantos dias gastarão 12 operários para fazer a mesma casa? (R:20)

18) Uma torneira despeja 2700 litros de água em 1 hora e meia. Quantos litros despeja em 14 minutos? (R: 420)

19) Quinze homens fazem um trabalho em 10 dias, desejando-se fazer o mesmo trabalho em 6 dias, quantos homens serão necessários? (R:25)

20) Um ônibus, à velocidade de 90 Km/h, fez um percurso em 4 horas. Quanto tempo levaria se aumentasse a velocidade para 120 Km/h? (R: 3)

21) Num livro de 270 páginas, há 40 linhas em cada página. Se houvesse 30 linhas, qual seria o número de páginas desse livro? (R:360)





REGRA DE TRÊS COMPOSTA


regra de três composta é utilizada em problemas com mais de duas grandezas, direta ou inversamente proporcionais.

Exemplos:

1) Em 8 horas, 20 caminhões descarregam 160m3 de areia. Em 5 horas, quantos caminhões serão necessários para descarregar 125m3?

Solução: montando a tabela, colocando em cada coluna as grandezas de mesma espécie e, em cada linha, as grandezas de espécies diferentes que se correspondem:
Horas --------caminhões-----------volume
8↑----------------20↓----------------------160↑
5↑------------------x↓----------------------125↑

A seguir, devemos comparar cada grandeza com aquela onde está o x.
Observe que:
Aumentando o número de horas de trabalho, podemos diminuir o número de caminhões. Portanto a relação é inversamente proporcional (seta para cima na 1ª coluna).
Aumentando o volume de areia, devemos aumentar o número de caminhões. Portanto a relação é diretamente proporcional (seta para baixo na 3ª coluna). Devemos igualar a razão que contém o termo x com o produto das outras razões de acordo com o sentido das setas.
Montando a proporção e resolvendo a equação temos:

Horas --------caminhões-----------volume
8↑----------------20↓----------------------160↑
5↑------------------x↓----------------------125↑


20/ x = 160/125 . 5/8 onde os temos da ultima fração foram invertidos

simplificando fica

20/x = 4/5

4x = 20 . 5

4x = 100

x = 100 / 4

x = 25

Logo, serão necessários 25 caminhões

2) Numa fábrica de brinquedos, 8 homens montam 20 carrinhos em 5 dias. Quantos carrinhos serão montados por 4 homens em 16 dias?
Solução: montando a tabela:



Homens----- carrinhos------ dias
8-----------------20--------------5
4-------------------x-------------16

Observe que:
Aumentando o número de homens, a produção de carrinhos aumenta. Portanto a relação é diretamente proporcional (não precisamos inverter a razão).
Aumentando o número de dias, a produção de carrinhos aumenta. Portanto a relação também é diretamente proporcional (não precisamos inverter a razão). Devemos igualar a razão que contém o termo x com o produto das outras razões.
Montando a proporção e resolvendo a equação temos:

20/x= 8/4 . 5/16

20 / x = 40 / 64

40x = 20 . 64

40 x = 1280

x = 1280 / 40

x = 32

Logo, serão montados 32 carrinhos



EXERCICIOS


1) Uma olaria produz 1470 tijolos em 7 dias, trabalhando 3 horas por dia. Quantos tijolos produzirão em 10 dias, trabalhando 8 horas por dia? (R=5600)

2) Oitenta pedreiros constroem 32m de muro em 16 dias. Quantos pedreiros serão necessários para construir 16 m de muro em 64 dias? (R=10)

3) Um ônibus percorre 2232 km em 6 dias, correndo 12 horas por dia. Quantos quilômetros percorrerão em 10 dias, correndo 14 horas por dia? (R=4340)

4) Numa fábrica, 12 operários trabalhando 8 horas por dia conseguem fazer 864 caixas de papelão. Quantas caixas serão feitas por 15 operários que trabalhem 10 horas por dia? (R=1350)

5) Vinte máquinas, trabalhando 16 horas por dia, levam 6 dias para fazer um trabalho. Quantas máquinas serão necessárias para executar o mesmo serviço, se trabalharem 20 horas por dia durante 12 dias? (R=8)

6) Numa indústria têxtil, 8 alfaiates fazem 360 camisas em 3 dias quantos alfaiates são necessários para que sejam feitas 1080 camisas em 12 dias ? (R=6)

7) Um ciclista percorre 150 km em 4 dias pedalando 3 horas por dia. Em quantos dias faria uma viagem de 400 km, pedalando 4 horas por dia? (R=8)

8) Uma máquina fabricou 3200 parafusos, trabalhando 12 horas por dia durante 8 dias. Quantas horas deverá trabalhar por dia para fabricar 5000 parafusos em 15 dias? (R=10)

9) Três torneiras enchem uma piscina em 10 horas. Quantas horas levarão 10 torneiras para encher 2 piscinas? (R: 6 horas.)

10) Uma equipe composta de 15 homens extrai, em 30 dias, 3,6 toneladas de carvão. Se for aumentada para 20 homens, em quantos dias conseguirão extrair 5,6 toneladas de carvão? (R: 35 dias).

11) Vinte operários, trabalhando 8 horas por dia, gastam 18 dias para construir um muro de 300m. Quanto tempo levará uma turma de 16 operários, trabalhando 9 horas por dia, para construir um muro de 225m? (R: 15 dias.)

12) Um caminhoneiro entrega uma carga em um mês, viajando 8 horas por dia, a uma velocidade média de 50 km/h. Quantas horas por dia ele deveria viajar para entregar essa carga em 20 dias, a uma velocidade média de 60 km/h? (R: 10 horas por dia.)

13) Com uma certa quantidade de fio, uma fábrica produz 5400m de tecido com 90cm de largura em 50 minutos. Quantos metros de tecido, com 1 metro e 20 centímetros de largura, seriam produzidos em 25 minutos? (R: 2025 metros.)

calculo dos juros compostos

No mercado financeiro o regime de juros compostos é o mais comum, neste processo os juros de um dado período entram no cálculo do capital inicial para o cálculo dos juros de um período seguinte. De uma maneira simples podemos dizer que ocorrem juros sobre juros.
A equação que descreve este tipo de atividade é explicitada da seguinte forma:



onde:
M = Montante;
P = Capital Inicial;
i = taxa de juros (em percentual);
n = número de períodos;
Atenção: A taxa de juros “i” deve ser expressa na mesma medida de tempo do período “n”, por exemplo uma taxa de juros ao mês para “n” meses.
Para compreender melhor, veja o exemplo:
Qual o montante ao final de 1 ano de um capital inicial de R$ 6000,00 aplicado num sistema financeiro de juros compostos e taxa de 3,5% a.m.?
P = R$6.000,00
t = 1 ano = 12 meses
i = 3,5 % a.m. = 0,035
M = ?
Usando a fórmula M=P.(1+i)n, obtemos:
M = 6000.(1+0,035)12 = 6000. (1,035)12
Ou seja, o Montante ao final do período indicado é de R$ 9.054,00.

JUROS - SIMPLES E COMPOSTOS

MATEMÁTICA FINANCEIRA
JUROS SIMPLES
O regime de juros será simples quando o percentual de juros incidir apenas sobre o valor principal. Sobre os juros gerados a cada período não incidirão novos juros. Valor Principal ou simplesmente principal é o valor inicial emprestado ou aplicado, antes de somarmos os juros. Transformando em fórmula temos:


Onde:
J = juros
P = principal (capital)
i = taxa de juros
n = número de períodos
Exemplo: Temos uma dívida de R$ 1000,00 que deve ser paga com juros de 8% a.m. pelo regime de juros simples e devemos pagá-la em 2 meses. Os juros que pagarei serão:
J = 1000 x 0.08 x 2 = 160
Ao somarmos os juros ao valor principal temos o montante.
Montante = Principal + Juros
Montante = Principal + ( Principal x Taxa de juros x Número de períodos )




Exemplo: Calcule o montante resultante da aplicação de R$70.000,00 à taxa de 10,5% a.a. durante 145 dias.
SOLUÇÃO:
M = P . ( 1 + (i.n) )
M = 70000 [1 + (10,5/100).(145/360)] = R$72.960,42
Observe que expressamos a taxa i e o período n, na mesma unidade de tempo, ou seja, anos. Daí ter dividido 145 dias por 360, para obter o valor equivalente em anos, já que um ano comercial possui 360 dias.
________________________________________
Exercícios sobre juros simples:
1) Calcular os juros simples de R$ 1200,00 a 13 % a.t. por 4 meses e 15 dias.
0.13 / 3 = 0.0433.. implica que 13% a.t. equivale a 4,33..% a.m.
4 m 15 d = 4,5 m, pois 15 dias significa 0,5 m.
Então j = 1200 x 0.0433..x 4,5 = 234
2 - Calcular os juros simples produzidos por R$40.000,00, aplicados à taxa de 36% a.a., durante 125 dias.
Temos: J = P.i.n
A taxa de 36% a.a. equivale a 0,36/360 = 0,001 a.d.
Agora, como a taxa e o período estão referidos à mesma unidade de tempo, ou seja, dias, poderemos calcular diretamente:
J = 40000.0,001.125 = R$5000,00
3 - Qual o capital que aplicado a juros simples de 1,2% a.m. rende R$3.500,00 de juros em 75 dias?
Temos imediatamente: J = P.i.n ou seja: 3500 = P.(1,2/100).(75/30)
Observe que expressamos a taxa i e o período n em relação à mesma unidade de tempo, ou seja, meses. Logo,
3500 = P. 0,012 x 2,5 = P . 0,030;
Daí, vem: P = 3500 / 0,030 = R$116.666,67
4 - Se a taxa de uma aplicação é de 150% ao ano, quantos meses serão necessários para dobrar um capital aplicado através de capitalização simples?

Objetivo: M = 2.P
Dados: i = 150/100 = 1,5
Fórmula: M = P (1 + i . n)
Desenvolvimento:
2P = P (1 + 1,5 n)
2 = 1 + 1,5 n
n = 2/3 ano = 8 meses
JUROS COMPOSTOS
O regime de juros compostos é o mais comum no sistema financeiro e portanto, o mais útil para cálculos de problemas do dia-a-dia. Os juros gerados a cada período são incorporados ao principal para o cálculo dos juros do período seguinte.
Chamamos de capitalização o momento em que os juros são incorporados ao principal. Após três meses de capitalização, temos:
1º mês: M =P.(1 + i)
2º mês: o principal é igual ao montante do mês anterior: M = P x (1 + i) x (1 + i)
3º mês: o principal é igual ao montante do mês anterior: M = P x (1 + i) x (1 + i) x (1 + i)
Simplificando, obtemos a fórmula:



Importante: a taxa i tem que ser expressa na mesma medida de tempo de n, ou seja, taxa de juros ao mês para n meses.
Para calcularmos apenas os juros basta diminuir o principal do montante ao final do período:



Exemplo:
Calcule o montante de um capital de R$6.000,00, aplicado a juros compostos, durante 1 ano, à taxa de 3,5% ao mês.

Resolução:
P = R$6.000,00
t = 1 ano = 12 meses
i = 3,5 % a.m. = 0,035
M = ?
Usando a fórmula M=P.(1+i)n, obtemos:
M = 6000.(1+0,035)12 = 6000. (1,035)12 = 6000.1,511 = 9066,41.
Portanto o montante é R$9.066,41
Relação entre juros e progressões
No regime de juros simples:
M( n ) = P + P.i.n ==> P.A. começando por P e razão J = P.i.n

No regime de juros compostos:
M( n ) = P . ( 1 + i ) n ==> P.G. começando por P e razão ( 1 + i ) n
Portanto:
• num regime de capitalização a juros simples o saldo cresce em progressão aritmética
• num regime de capitalização a juros compostos o saldo cresce em progressão geométrica

EXPOSIÇÃO MATEMATICA E LITERATURA -PROJETO RAIZES LITERÁRIAS

Este projeto foi desenvolvido com a disciplina de Literatura, pelas turmas 21 e 22 da Escola Estadual de Ensino Médio 9 de Maio - Imbé - RS - Brasil.
As figuras geométricas, fórmulas trabalhadas em Matematica, deram origem as poesias feitas pelos alunos em Literatura.

MATRIZES ESPECÍFICAS

Uma matriz recebe certo tipo de nome dependendo da quantidade de elementos em suas linhas e colunas ou apenas por características específicas.

►Matriz linhas

Recebe o nome de Matriz linha toda matriz que possui apenas uma linha. O número de colunas é independente. Por exemplo:

[-5 1 2]1 x 3

►Matriz coluna

Recebe o nome de Matriz coluna toda matriz que possuir apenas uma coluna. O número de linhas é independente. Por exemplo:



►Matriz nula

Recebe o nome de Matriz nula toda matriz que independentemente do número de linhas e colunas todos os seus elementos são iguais a zero. Por exemplo:


Podendo ser representada por 3 x 2.
►Matriz quadrada
Matriz quadrada é toda matriz que o número de colunas é o mesmo do número de linhas. Por exemplo:

Quando a matriz é quadrada nela podemos perceber a presença de uma diagonal secundária e uma diagonal principal.


►Matriz diagonal

Será uma matriz diagonal, toda matriz quadrada que os elementos que não pertencem à diagonal principal sejam iguais a zero. Sendo que os elementos da diagonal principal podem ser iguais a zero ou não. Por exemplo:



►Matriz identidade

Para que uma matriz seja matriz identidade ela tem que ser quadrada e os elementos que pertencerem à diagonal principal devem ser iguais a 1 e o restante dos elementos iguais a zero. Veja o exemplo:



►Matriz oposta

Dada uma matriz B, a matriz oposta a ela é - B. Se tivermos uma matriz:


A matriz oposta a ela é:



Concluímos que, para encontrar a matriz oposta de uma matriz qualquer basta trocar os sinais dos elementos.

►Matrizes iguais ou igualdade de matrizes

Dada uma matriz A e uma matriz B, as duas poderão ser iguais se somente seus elementos correspondentes forem iguais.


As matrizes A e B são iguais, pois seus elementos correspondentes são iguais

BHASKARA

O hábito de dar nome de Bhaskara para a fórmula de resolução da equação de 2ºgrau se estabeleceu no Brasil por volta de 1960. Esse costume, aparentemente só brasileiro (não se encontra o nome de Bhaskara para essa fórmula na literatura internacional), não é adequado, pois:
Problemas que recaem numa equação de 2º grau já apareciam, há quase 4.000 anos, em textos escritos pelos babilônicos. Nestes textos o que se tinha era uma receita (escrita em prosa, sem uso de símbolos) que ensinava como proceder para determinar as raízes em exemplos concretos com coeficientes numéricos;
Bhaskara que nasceu na Índia em 1.114 e viveu cerca de 1.185 e foi um dos mais importantes matemáticos do século XII. As duas coleções de seus trabalhos mais conhecidas são Lilavati ("bela") e Vijaganita ("extração de raízes"), que tratam de aritmética e álgebra respectivamente, e contêm numerosos problemas sobre equações de lineares e quadráticas (resolvidas também com receitas em prosa), progressões aritméticas e geométricas, radicais, tríadas pitagóricas e outros.
Até o fim do século XVI não se usava uma fórmula para obter as raízes de uma equação do 2º grau, simplesmente porque não se representavam por letras os coeficientes de uma equação. Isso só começou a ser feito a partir da François Viéte, matemático francês que viveu de 1540 a 1603.
Logo, embora não se deva negar a importância e a riqueza da obra de Bhaskara, não é correto atribuir a ele a conhecida fórmula de resolução da equação de 2º grau.


A FÓRMULA DA EQUAÇÃO DO 2º GRAU
A ideia é completar o trinômio ax2 + bx + c de modo a fatorá-lo num quadrado perfeito:
ax² + bx + c = 0, inicialmente multiplicamos a igualdade por 4a,

4a²x² + 4abx + 4ac = 0, agora somamos b2 aos dois lados da igualdade:

· 4a²x² + 4abx + 4ac + b² = b²


Passamos 4ac para o segundo membro



· 4a²x² + 4abx + b² = b² - 4ac

Fatoramos o trinômio 4a2x2 + 4abx + b2

· (2ax + b) 2 = b2 - 4ac

Utilizamos a operação inversa da potenciação




· 2ax + b =

Passamos o termo b para o segundo membro

· 2ax = - b

Passamos 2a para o segundo termo usando a operação inversa



Obtemos a fórmula para calcularar as raízes de uma equação do 2º grau.


Fontes:

www.sandroatini.sites.uol.com.br/bhaskara.htm
Revista do Professor de Matemática - nº 39

ANO LUZ

SAIBA MAIS:

Um ano luz equivale a cerca de 9,6 trilhões de quilômetros.
Como comparação, o diâmetro da Via Láctea é de aproximadamente 100 mil anos luz.

NÚMEROS COMPLEXOS

1. Definições
Vimos na resolução de uma equação do 2º grau que se o discriminante é negativo, ela não admite raízes reais.
Por exemplo, a equação x² + 9 = 0não admite raízes reais. Se usarmos os métodos que conhecemos para resolvê-la, obtemos x² = -9x = ± -9 mas é inaceitável tal resultado para x; os números negativos não têm raiz quadrada.
Para superar tal impossibilidade e poder, então, resolver todas equações do 2º grau, os matemáticos ampliaram o sistema de números, inventando os números complexos.Primeiro, eles definiram um novo número i = -1 Isso conduz a i² = -1. Um número complexo é então um número da forma a + bi onde a e b são números reais.
Para a equação acima fazemos x = ± x = ± x = ± . x = ± 3 i As raízes da equação x² + 9 = 0 são 3i e - 3i.
Definição: Um número complexo é uma expressão da forma a + bi onde a e b são números reais e i² = -1. No número complexo a + bi, a é a parte real e b é a parte imaginária.Exemplos 2 + 5i parte real 2 parte imaginária 5 i parte real parte imaginária 12i parte real 0 parte imaginária 12-9 parte real -9 parte imaginária 0. Um número como 12i, com parte real 0, chama-se número imaginário puro. Um número real como -9, pode ser considerado como um número complexo com parte imaginária 0.
Um número complexo por exemplo x² +25 =o temos:

Multimplicamos o valor do discriminante por -1 e obteremos raiz positiva, como -1 é=
i², fica x= +- Raiz de 25i² tirando da raiz obtemos +- 5i


Os números complexos são escritos na sua forma algébrica da seguinte forma: a + bi, sabemos que a e b são números reais e que o valor de a é a parte real do número complexo e que o valor de bi é a parte imaginária do número complexo.

Podemos então dizer que um número complexo z será igual a a + bi (z = a + bi).

Com esses números podemos efetuar as operações de adição, subtração e multiplicação, obedecendo à ordem e características da parte real e parte imaginária.

Adição

Dado dois números complexos quaisquer z1 = a + bi e z2 = c + di, ao adicionarmos teremos:

z1 + z2
(a + bi) + (c + di)

a + bi + c + di

a + c + bi + di

a + c + (b + d)i

(a + c) + (b + d)i

Portanto, z1 + z2 = (a + c) + (b + d)i.

Exemplo:
Dado dois números complexos z1 = 6 + 5i e z2 = 2 – i, calcule a sua soma:

(6 + 5i) + (2 – i)
6 + 5i + 2 – i
6 + 2 + 5i – i
8 + (5 – 1)i
8 + 4i

Portanto, z1 + z2 = 8 + 4i.

Subtração

Dado dois números complexos quaisquer z1 = a + bi e z2 = c + di, ao subtraímos teremos:

z1 - z2
(a + bi) - (c + di)

a + bi – c – di

a – c + bi – di

(a – c) + (b – d)i

Portanto, z1 - z2 = (a - c) + (b - d)i.

Exemplo:
Dado dois números complexos z1 = 4 + 5i e z2 = -1 + 3i, calcule a sua subtração:

(4 + 5i) – (-1 + 3i)
4 + 5i + 1 – 3i
4 + 1 + 5i – 3i
5 + (5 – 3)i
5 + 2i

Portanto, z1 - z2 = 5 + 2i.

Multiplicação

Dado dois números complexos quaisquer z1 = a + bi e z2 = c + di, ao multiplicarmos teremos:

z1 . z2
(a + bi) . (c + di)

ac + adi + bci + bdi2
ac + adi + bci + bd (-1)
ac + adi + bci – bd
ac - bd + adi + bci
(ac - bd) + (ad + bc)i

Portanto, z1 . z2 = (ac + bd) + (ad + bc)I.

Exemplo:

Dado dois números complexos z1 = 5 + i e z2 = 2 - i, calcule a sua multiplicação:

(5 + i) . (2 - i)
5 . 2 – 5i + 2i – i2
10 – 5i + 2i + 1
10 + 1 – 5i + 2i
11 – 3i

Portanto, z1 . z2 = 11 – 3i.

Ao dividirmos dois números complexos devemos escrevê-los em forma de fração e multiplicarmos o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador, veja como:

Dado dois números complexos z1 e z2, para efetuarmos a divisão dos dois devemos seguir a seguinte regra:
z1 : z2 = z1 .
z2



De uma forma geral podemos demonstrar a divisão de dois números complexos por:

Dado z1 = a + bi e z2 = c + di a divisão de z1 : z2 será:




Os números complexos são identificados por z = a + bi, onde a é a parte real e b a parte imaginária. A letra i acompanha a parte imaginária e dependo do valor de sua potência ela irá assumir um valor que irá facilitar vários cálculos.

i 0 = 1, pois todo número ou letra elevando à zero é um.
i 1 = i, pois todo número elevado a 1 é ele mesmo.
i 2 = -1, a partir dessa potência que as outras irão derivar, veja:
i 3 = i2 . i = -1 . i = - i
i 4 = i2 . i2 = -1 . (-1) = 1
i 5 = i4 . i = 1 . i = i
i 6 = i4 . i2 = 1 . (-1) = -1.
i 7 = i4 . i3 = 1 . (-i) = - i. E assim por diante.

Para descobrir, por exemplo, qual era o valor da potência i243, basta observar o seguinte: nas potências acima elas repetem-se de 4 em 4, então basta dividirmos 243 por 4, o resto será 3 então i243 será o mesmo que i3, portanto i243 = - i.

Podemos concluir que in = ir, onde r é o resto da divisão.